1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Канонические преобразования Матрицу М, удовлетворяющую соотношениям 13), будем называть обобщенно-симттлектической 1с валентностью с) ). Так как соотношения 112) предыдущего параграфа свелись к ус;човию обобщенной симплектичности якобиевой матрицы М, то критерий каноничности преобразования может быть сформулирован так: Для того чтобь~ некотаорое преобразование д, = д,11, дт, рь), р, = р,т,й ды рь) 1т = 1, ..., и) было каноническим, необходимо и достпвточио, "ттобы соответствующая этому преобразованию якобиева матрица М была обобщенно-симплетаической с постоянной валентностью с.
)В случае уиивалеитного преобразования матрица М является обыкновенной симплектической.) При этом условие симплектичности т3) должно втаполняться тпождественно относительно всех переменных 1, д„р, гт = 1, ..., и). В 3 26 было установлено, что движение любой гамильтоновой системы может рассматриваться как свободное унивалентное каноническое преобразование. Следовательно, его якобиева лтатрица симплектична и ее определитель 1 1см.
с. 125) равен х1. Поскольку в начальный момент 110) = +1, то 1 = +1 во все последующие моменты времени, по именно этот определитель служит подынтегральной функцией в выражении для фазового объема в 2п-ьтерттоьт пространстве (форлтула )3) ~ 23). Это замечание может рассматриваться как отличное от проведенного в 2 23 доказательство теоремы Лиувилля. 3 32. Инвариантность скобок Пуассона при каноническом преобразовании Представим условие каноничности преобразования, записанное н форме равенства 13) предыдущего параграфа, в несколько измененной форме. Умножим обе части этого равенства слева на 1М') ', а справа . на М Получим: )М') 'ЛМ' ' = 1 Л. (1) Возьмем обратные матрицы от обеих частей этого равенства, замечая, что г) Л '= — Л: МЛМ' = сЛ.
12) т) Все обобщенно-симплектические матрицы тпрн всех с ф 0) также образуют группу. Если М вЂ” обобщенно-снмплектическая матрица, то дет М = йс". Мы пользуемся здесь следующим правилом: обратная матрица произведения матриц равна произведению обратных матриц в обратном порядке: тАВС) т — — С 'В тА-Е Кроме того, т.е. Л т = — Л. у 32. Инвариантность скобок Пуассона Равенство МЛМ' = сЛ получается из равенства М ЛМ = сЛ путем замены якобиевой матрицы М транспонированной матрицей М'. Но эта замена [см, формулу (1) ЗЗЦ сводится к замене производных ад„гадь, ад,(арь, ар,(адь, ар,гарг соответственно на производные аде/ад„аря/ад,, адь/ар,, арь/ар„т.е. в каждой производной меняются местами буквы н индексы, стоящие вверху и внизу ) .
Поэтому, если равенство М~ЛМ = сЛ было эквивалентно системе равенств [д дь] = О, [р,рг] = О, [д,рь) = сб,г (г, х = 1, ..., и), (3) то равенство (2) будет эквивалентно системе равенств [д, ду]" = О, [р,рг]* = О, [д, ра]* = б,г (г, й = 1, ..., и), (4) где значок * указывает, что внутри скобки Лагранжа следует произвести указанную выше замену производных.
Но тогда скобки Лагранжа переходят в скобки Пуассона. Действительно, г'ад, аде ад, аде'1 =~ ~ — — — — — )=(ддг), = ~- [,ад, ар, ар, ад,) = где (д, дг) — скобки Пуассона для функций д, и дь относительно независи- мых переменных ды ры ..., д„, р . Совершенно аналогично [у. рг]* = (р* рь), [д* рь]* = (д* рь). Поэтому услов и ханоничности преобразования (4) могугп быть записаны с помощью скобок Пуассона в следующем виде: (д,дь) = О, (р,рь) = О, (д,рг) = сбш (г, й = 1, ..., п), (5) Рассмотрим теперь две функции сои 1У от величин д„р, (1 = 1, ..., п) на Выражая в этих функциях д„р, (г = 1, ..., п) через ды рг (я = 1, ..., п) с помощью обратного канонического преобразования, мы можем рассматривать эти же функции как функции переменных ды ря (х = 1, ..., и).
Соответственно скобки Пуассона от яо, у1 можно вычислить как по отношению к переменным д„р, [обозначение (рф)], так и по отношению к переменным д„р, [обозна гение (гоф) ]. Докажем справедливость тождества (рг() = с(1о1у) (6) Значок по-прежнему остается вверху. 164 Гл. 1У. Канонические преобразования Доказательство этого тождества опирается на известное выражение якобиана от системы сложных функций дЫ,б) С- ~д(р, И дй*,у) дЫ,Ф) д(Р,й)1 д(ум р,) ~-' '1д(у„уь) д(бм р,) д(р„рь) д(дз, рз)) + х д(~о, й д(у„рь) ~~-' д(у., рв) д(дм рг) Просулггаировав почленно эти тождества, получим " ~д(~,б) дОр,б) ) " д(р,15) Х. ~дя„д,.)~"")+ д1р„Рв) ~Р'Рь)~+ ~ д1у„р,) ~'Рь)' Согласно равенствам (5), отсюда находим (р еб) = с ~ ~' = с(р ер) .
д(~: б) , д($, р,) (7) Справедливо и обратное утверждение. Если для любых двух функций р и ф выполняется тождество (7) при одной и той же постоянной с ~ О, то переход от 2п переменных до р, к 2п переменным ан р, осуществляется каноническим преобразованием с валентностью ) с. Для уиивалентного канонического преобразования с = 1,н потому МФ) =(~ ФГ е) Действительно, из равенства (7) вытекает, что (д чь) = с(ц чь) = О, (~.рв) = с(р рв) = О (д,рь) =-сбьрь) = сб,ь. Другими словами, скобки Пуассона инвариантны относитпсльно униеа- лентнъсл канонических преобразований. Это свойство упивалентных кано- нических преобразований выделяет эти преобразования среди всех возмож- ных преобразований фазового пространства.
ГЛАВА Ч УСТОЙх1ИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ 3 33. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия Начнем с определения устойчивого положения равновесия. Предварительно напомним ), что положение системы называется положением равновесия, если система, находящаяся в начальный момент в этом положении прн нулевых скоростях, все время остается в этом положении. Пусть положение голономной системы определяется с помощью независимых координат ум ..., Оо (и число степеней свободы системы). Как было выяснено в й 5, в положении равновесия (и только в этом положении) все обобщенные силы равны нулю: сг, = О (л = .= 1, ..., и) з).
Без нарушения общности можем считать, что рассматриваемое положение системы находится в начале координат вг =... ... = ц„= О. Тогда координаты любого другого положения системы цм ..., дп характеризуют отклонение этого положения от положения равновесия и потому сами называются отклонениями системы. Положение равновесия ут — — ... — — д„= О (или состояние равновесия чг = = чп = О, с)г = ... = Оп = 0) называется устойчивым, если при достаточно малых начальных отклонениях уь и достаточно е малых начальных скоростях ц~ (л = 1, ..., н) система во все время движения не выходит из пределов сколь угодно малой (наперед заданной!) окрестности положения равновесия, имея при этом сколь угодно малые скорости д; (1 = 1, ..., и), т.е.
если длл любого е > О можно укизлть тиков д = д(е) > О, что для всех 1 > 1е вьтолнлютсл нера~я,(8)~ < е, ~ф(1)~ < е (1 = 1, ..., н), (1) ко.ль скоро в ничильпьей момент 1 = 1о )д ) < 6, !д") < д (1= 1, ..., и). См. 44. Если обобщенные силы 0>, зависят не только от координат дь, но и от обобщенных скоростей дв (Ь =- д ..., и), то равенства Сг, =- О должны выполняться тогда, когда входящие в выражение для О, координаты оя залееняются координатами положения равновесия, а обобщенные скорости полагаются равными нулю. Гл.
И Устойчивость равновесия и движения Неравенства (1) и (2) удобно геометрически интерпретировать в 2п-мерном пространстве состояний (д„дг). На рис. 41 (для случая и = 1) в плоскости (в, о) изображены две окрестности начала координат О, соответствующие неравенствам (1) и (2). Если начало координат О устойчивое состояние равновесия и для заданного с > 0 должным образом подобрано 6 > О, то любое движение, начинающееся в момент 8е внутри квадрата с центром в О и стороной 26, будет проходить все время внутри такого же квадрата со стороной 2с. П р и м е р ы.
1. Тяжелый шарик может двигаться по ободу, имеющему форму вкружРис. 41 ности и расположенному в вертим льнвй плоскости, Имеются два положения равновесия: нанннзшая и наивысшая точки окружности. Из них первая представляет собой устойчивое, а вторая . неустойчивое положение равновесия. 2. Линейный всциллятвр. Положение равновесия устойчиво. Действительно, для линейного осциллятора Т = (1г2) ту~., П = (1/2) сд~ (т > > О, с > 0) и дифференциальное уравнение движения ту+ сд = 0 имеет общее решение Я = де соэ ш (С вЂ” се) + — эш ш(1 — Сс) йе ш Поэтому х = е ' ~С1 соэ — (8 — 1е),'- Сг э1п — (1 — 1е)~ — тр — го) ( т т где 1 Сг = — (фхе+ тихо).
д д = ьгтс — фг, С1 = хе, Отсюда при любом значении 1 )х(С)( < )С1 ~+ ~Сг~ < (1+ — „) )хо)+ — „)хо~ < г т . и )х(1)) < — (1+ — ) ()Сг)+ Сг ) < — (1+ — ) хе~+ (1т — ) )хе~ < г, 1 ~й(1И < ~йе~ Ч- — ~де~ < г., 4(1)~ < ~де~ Ч- ~де~ < г, если только (йе! < 6, )йе) < б, где, например, 6 = шш(в/2ш, шг/2).
3. Материальная точка массы т может двигаться вдоль оси х пвд действием двух сил: восстанавливающей силы, пропорциональной отклонению — сх, и силы сопротивления средьи пропорциональной первой степени скорости — 2фх (с > О, 1 > 0). Точка х = 0 будет устойчивым положением равновесия. Рассмотрим сначала случай, когда коэффициент силы сопротивления мал: 0 < ф < ь'тс. В этом случае дифференциальное уравнение движения тх+ 2фх -~- сх = 0 имеет общее решение 167 т ЯЗ. Теорема Лагранжа если )хо~ < б, ~хо! < д, где, например.
110 т,е б = 1ПШ 2га 211(1+ ~/Д)~~ Если же 1' ) т/тс, то общее решение дифференциального уравнения движения тх 0- 2Тх -г сх = О имеет вид — аг 1Ф вЂ” га 1 — г Н -1а ) х=Сге г- Сге где — ггхо + хо „нгхо + хо иг г = >О, Сг=, Сг= гп гг — гч ' ю — иг Отсюда при любом значении 1 )х(1) < (С1(+ )Сг! « — е (11+ Рг)Мо~+ 2Фо~ Яхо~+ тРо~ !гг — р1 ~ ~Я~ — тс и х(1) ~ < г1 ~С1 ~ + иг)Сг < 2гг из~хо~ + (1'1 + 1'г)~хо! 4хо~ + 1РО! — <с, ~иг 1'1~ если )хо( < б, фо) < б, где ~~г — тс ьТУг — тс Дг — тс 2с ' 2т В примерах 2 и 3 устойчивость положения равновесия устанавливалась с нолгощыо конечных уравнений, полученных путем интегрирования дифференциальных уравнений движения системы. Эти кояечные уравнения движения давали нам зависимость отклонений о, и обобщенных скоростей о), от времени 1 и начътьных данных ОР, д~ (г = 1, ..., и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
