1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В первом случае уравнения (2) представляют собой уравнения Лагранжа, записанные в виде системы 2п дифференпиальпых уравнений первого порядка с неизвестными функциями оы ..., д„. Во втором случае уравнениями (2) являются канонические уравнения Гамильтона Ь|, дН др, дН вЂ” — — — — (г = 1, ..., и). Ф) д! др, ' й! дд., Рассмотрим два важных частных случая системы уравнений (2), которые часто встречшотся в приложениях.
1'. Стационарный случай, когда! не входит явно в правые части Х; уравнений (2), т.е. когда дХ,,1д! = 0 (с = 1,..., т). 2'. Периодический случай, когда правые части Х, имеют период т относительно переменной й Х,(хы ..., х,, 1+ т) = Х;(хм ..., хт, 1) (г = 1, ..., т). В этих случаях устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2) определяется с помощью теоремы, являющейся непосредственным обобщением теоремы, приведенной в конце З Зов. 181 136. Усвоен я устойчивость Теорема Ляпунова. Если в стаационарном или в периодическом случае существует, непрерывная вместе с частными производными первого порядка в обласпти (3) функция 1Г(хы ..., хп„1), которая при любом 1, рассматриваемом как параметр, имеет в точке хт = ...
= т„= О старогий экстремум. в то время как в той весе тао ьке снова при любом 1 ее производнаи по времени дЪ' д 1Г Г(хт, ...,х,1) =~ ~—,Х,+ —, дх, 1=1 имеет экстремум ттротивоттолозтсного типа, то нулевое решение системы (2) устойчиво. Если при этом экстремум производной Г такэесе является стпрогим, тпо нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво.
При этом предполагается. что в стационарном случае функц я )т не зависитп явно от 1, а в периодическом эта фувяция периодична относительно 1 с периодом т 1т --период правых частей уравнений (2)). Доказательство этой теоремы достаточно проверить для периодического случая, так как стационарный случай можно рассматривать как частный случай периодического с любым т. Доказательство состоит в повторении рассуждений, приведенных ранее при доказательстве теоремы Лагранжа и теоремы об асимптотической устойчивости со следующими изменениями: вместо Е теперь используется разность 1т(хы ..., х, 1) — $'(О, ...., О, 1), а вместо пространства (д„д,) берется тп-мерное пространство (хы ...
..., х,в). Величину 1, входящую в 1, рассматриваем как параметр. В силу периодичности этот параметр можно изменять в конечном интервале 1в < 1 < 1о + т. Благодаря этому обстоятельству наличие в )т переменной 1 не вызывает каких-либо осложнений при доказательстве теоремы. Заметим, что в общем (нестационарном и непериодическом) случае на функпию Ляпунова нужно наложить более жесткие условият). Отметим один частный случай теоремы Ляпунова, который часто используется в качестве критерия простой (неасимптотической) устойчивости. Пусть функция 1т(хы..., х, 1) является интегралом системы дифференциальных уравнений (2), т.
е. функция 1' при подстановке в нее любого решения системы (2) превращается в постоянную. В этом случае еЛтт'а1 = Г(хт,..., х„„1) = О и можно считать, что функция Г в точке хт — — ... — — х„, = О при любом 1 имеет максимум и минимум (конечно, нестрогий). Поэтому имеет место такое следствие из теоремы Ляпунова: См., ввпример: Четвее Н.Г. Устойчивость движения. — Гл,11. 182 Гл. У. Устойчивость равновесии и дви.женил Следствие. Если систпема дифференциальных уравнений (2) имеет интеграл 1г(хм ..., х„„1) (не зависящий от 1 в стационарном случае и периодический относитпельно 1 с периодом т в периодическом случае) и этот интегр л в точке х1 = ... = х = 0 при любом фиксированном 1 имеет, строгий эксгпремум, то нулевое решение системы (2) устойчиво.
Заметим, что прн доказательстве теоремы Лагранжа для консервативной системы используется интеграл энергии Е. Рассмотрим теперь движения нли более общие процессы, описываемые системой дифференциальных уравнений первого порядка: (10) (1=1, ..., т), где правые части непрерывные функции в некоторой области изменения переменных гг, ..,, г„, при 1 ) 1о, удовлетворяющие условиям существования и единственности решения по заданным начальным данным г (1о) (1 = 1, ..., т). Пусть гг(1) (1 = 1, ..., т) — решение системы уравнений (10), определяющее некоторый процесс. Для выяснения вопроса об устойчивости этого процесса введем вместо неизвестных функций гм ... ..., г новые неизвестные функции «отклонения» х., = г, — г,(1) (1 = 1, ..., т).
Тогда в новых переменных система дифференциальных уравнений (10) запишется в виде системы (2), где Хг = ги(х1+ г1(1),..., х + г (1), 1) — гн(г1(»),..., г„,(»), 1). (12) Решению гг = гг(1) (1 = 1, ..., т) системы дифференциальных уравнений (10) в новых переменных соответствует нулевое решение х1 —— ... — — х„, = 0 системы дифференциальных уравнений (2). Это обстоятельство позволяет свести вопрос об устойчивости процесса г;(1) (1 = 1, ..., т) к изученному нами вопросу об устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравпопнй (2). Другими словами, решение ьч = гг(1) (1 = 1, ..., т) системы (10) называется устойчивым (соответственно асимптотически устойчивым), если устойчиво (соответственно асимптотически устойчиво) нулевое решение х1 —— ...
— — х = 0 системы уравнений в отклонениях (2) при правых частях, определяемых формулами (12). Все это открывает гпирокое поле для применений приведенной в этом параграфе теоремы ,Ляпунова. Это теорема может бьп ь использована не только для определения устойчивости положения равновесия, но и для определения устойчивости движения и вообще любого процесса, определяемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
183 у'Ж Условн я устойчивость Пример. Рассмотрим вращение по инерции твердого гасла, имеющего непвдвихсную точку О. Динамические уравнения Эйлера в этом случае имеют вид А — = ( — С)йг,  — = (С вЂ” А)гр, С вЂ” = (А — В)рФ (13) др Й1 с)г дг сМ дт Здесь р, Ф г -. проекции угловой скорости ы на главные оси инерции тела Об, Оэ1, О~; А, В, С -. моменты инерции относительно этих осей. Уравнения (13) допусказот следующие три частных регпения, определяющих перманентные вращения тела относительно главных осей: 1' в=я=О, р=сопзс=ро,' 2' г=р=О, у=сопзг=до' 3' р=4=0, г=сопзг=ге.
Мы ограничимся выяснением устойчивости вращения 1', поскольку 2' и 3' могут быть записаны в виде 1' при другом обозначении осей. При этом устойчивость решения 1' уравнений Эйлера (13) будет определять условную устойчивость вращения 1' относительно угловой скорости ы '). Составим уравнения в отклонениях, положив хг = р — ро,хз = д,хз = г: дхг  — С хзхз, дг А дхз С вЂ” А — хз1хг 4-ро), 41 В (14) дхз А —  — хг(хг + ро). Ж С Пусть вдоль оси О( исследуемого перманентного вращения расположена болыпая или малая ось эллипсоида инерции. Поскольку величины А, В и С обратно пропорциональны квадратам осей зллипсоида инерции, зто означает, что А < В, С илн А > В, С.
Возьмем в качестве функции Ляпунова функцию )г = (Ахг, + Вхзг + Схз з+ 2Арох,)з ~ )В( — А)хе + С(С вЂ” А)хз), где знак я+э берется в случае А < В, С, а знак с — » в случае А > В, С. Функция Ъ' обращается в нуль при хг = хг = хз = О и положительна в окрестности этой точки, т. е. функция р имеет в этой точке строгий минимум. С другой стороны, как легко проверить, д)'/дг = О в силу уравнений (14), т. е. функция )г является интегралом системы дифференциальных уравнений (14). Поэтому, согласно следствию из теоремы Ляпунова, Устойчивость относительно ы означает, что малое изменение начальной угловой скорости ыо влечет малое изменение вектора ы во все время движения Другими словамя, это устойчивость относительно отклонений хг = р — ро, хз = д, хз = г.
Разумеется, углы Эйлера при этом непрерывно растут. 184 Гл. У. Устойчивость равновесия и деиоюенил перманентное вращение оп«носительно болыиой или малой оси эллинсоида инерции устойчиво. Можно было бы показать, что перманентное вращение относительно средней оси эллипсоида инерции неустойчиво, но для этого следовало бы воспользоваться критерием неустойчивости Четаева ! 2. Рассмотрим в качестве примера задачу об устойчивости вращательного движения снаряда в).
Примем для упрощения задачи, что центр тяжести снаряда С движется прямолинейно вдоль горизонтальной оси х с постоянной скоростью с = = сопев, Пусть Сху — вертикальная плоскость стрельбы. Положение оси снаряда (оси динамической симметрии) Сб определяется двумя углами: углом оц образованным проекцией Сх» оси Сб на плоскость Сху с осью Сх, и углом В между Сх» и Сб (рис.46). у Последовательными поворотами на 1) угол о и па угол В триэдр осей Схув переходит в триэдр Сбпб.
Дополнительный поворот па угол е вокруг оси Сб переводит триэдр Сбпб в триэдр осей, неизменно связанных со снарядом. Поэтому угловая скорость снаряда ш состоит из трех составляющих: .г ш=ш1+шв-вшв, где шг = сц шз = В, ь»в = «о. Проекции угловой скорости па гланные оси инерции Сб, Сг), Сб определяются формулами р = х+ бейл В> д = †(3, г = б сов В. Рис. 46 Обозначая через А аксиальный, а через В экваториальный момент инерции снаряда, получаем для кинетической энергии выражение Т = — (Ар~ + В(д + г )', = — (А(ф + б сйп В) + В(В + б сов (3)). 2 2 Будем считать, что помимо силы тяжести к снаряду приложена в точке Р на оси снаряда (в «центре давления») сила лобового сопротивления воздуха К,постоянная по величингв)и направленная в сторону, противоположпу»о скорости э, т..е. в отрицательяом направлении оси х.
Пусть ( = СР, а 7 — угол между осями Сх н Сб. Тогда мол«ент силы К относительно С равен И вщ 7, а элементарная работа силы К будет дА = Ив1п у 4 7 = — д(Л1 сов 7), ») (29. — С.В7) з) Решение этой задачи было дано КБ Четаевым и опубликовано в «Прикладной математике и механике», т. Х, вып. 1, 1946, ) Величина В есть функция от ьц й = 7(о), поэтому нз ь = савве следует Й = савва 185 у'Ж Условн л устойчивость поэтому в качестве потенциала сил можно принять функцию г П = И соя у = 1<)сояо соя б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
