1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В этих условиях число детерминантных неравенств примерно вдвое меныпе, чем в условиях (5) Рауса — Гурвица. Условия Льенара — Шипара. Для того чтпобы многочлен 1(Л) = ааЛн+ атЛ" +... + а„тЛ+ а„при ае > 0 имел все корни с отприцательными вешесптвенными част ми, необходимо и доппаточно, чтобы 1) все коэффициенты много лена, 7(Л) были положительны (6) ат>0, аг>0, ..., а„)0; Относительно вывода условий Рауса Гурвица см., например: Ганн«матер Ф.Р.
Теория матриц. — Гл. ХЧ. — 5 б; Айверман 54.А. Лекции по теории автоматического регулирования, - 2-е изд. — Гл.ш. — 1 П Так как, согласно неравенствам (2), каждый множитель в последней части равенства (3) имеет положительные коэффициенты, то и в уравнении (1) все коэффициенты положительны. Положительностпь всех коэффициентов -- необходимое (при ав > 0 ), но отнюдь не достаточное условие для итого, чтобы все корни уравнения (1) были расположены слева от мнимой оси. В 1875 г. уже известный читателю английский механик Раус двл алгоритм, с помощью которого по коэффициентам многочлена 1(Л) можно узнать.
является ли он «устойчивым», т.е. имеют ли все его корни отрицательные вещественные части. В 1895 г. немецкий математик Гурвиц независимо от Рауса установил тот же критерий в видоизмененной форме с помощью определителей («определителей Гурвицан) у'Зу. Критерии асимпгпотической устойчивости 197 2) имели место детермиваптнме неравенства (7) Ь„г>О, ~в — 3 > О~ (здесь, как и ранее, дгь обозначает определитель Гурвица И-го порядка )). Теперь мы познакомимся с геометрическим критерием устойчивости. Заменим в равенстве ) У(Л) = ае П (Л вЂ” Лг) ь.=г Л на 1м и будем изменять ю от — оо до +со. Вычислим соответствующее приращение угла 0 = ага 7(»о»): п Ьа,й(сс) = ~ ~Ьа агн(ио — Ль). ь=с Теперь заметим, что з) (рис.
47) сл~ агй(Р» — Ль) = если ВеЛь < О, если ВеЛь > О. Поэтому, обозначая через 1 и г число корней, лежащих слева и соот- ветственно справа от мнимой оси (1 + г = и), будем иметь: Ь О(оэ) = (1 — г)к. (8) Вывод условий Льенара и Шипара, а также некоторые другие варианты этих условий можно найти в цитированной книге еТеория матриц», гл.
ХЛ», г 3. Здесь и корней многочлена ПЛ) обозначены через Лы ..., Л„. з) Мы предполагаем здесь, что ви один из корней Ль не лежит на мнимой оси. Аффиксом комплексного чигла з называют соответствующую точку комплексной з-плоскости. Рассмотрим кривую, описываемую аффиксомл) комплексного числа 7(»со) при изменении е» от — со до +ос. Эта кривая распадается на две ветви: на одной е» > О, на другой ю < О.
Одна ветвь получается из другой зеркальным отображением относительно вещественной оси, поскольку 7(сю) и 7( — 1ю) .—. комплексно сопряженные числа. Поэтому, обозначив через сло приращение при изменении а» от О до сю, получим 198 Гл. К Устойчивость равновесия и движения Отсюда видно, что все корни будут расположены слева от мнимой оси (1 = п, т = 0) тогда и только тогда, когда (9) гЛ~ у(са) = и —. 2 Геометрический критерий устойчивости ) .
Для того чтобы мпогочлен 1(Л) был устойчивым, гп. е. чтобьс все его корни были расположены слева от мнимой оси, необходимо и достаточно: 1) чтобьг годограф 1'(гог) при изменении са от 0 до +ос не проходил через нулевую гпвчкуг) и 2) чгпобы для этого годографа л„в где и —. степень многочлена у'(Л) (см.рис.48 для и = 6). Заметим, что для устойчивого мпогочленаз) аргумент О изменяется монотонно при изменении пг от 0 до со. Это следует из формулы и У(ог) = ~ ~агй(гтв — Лй), й=1 поскольку для такого многочлена каждое слагаемое в правой части является монотонно возрастающей функцией от зг. Пример.
Пусть 1'(Л) = Л'+ 5Л + 10Л + 11Л -г 7Л-г 2. Тогда у(гив) = 17(аэ) + гЪ'(аг), где бс(еэ) = бьэ — 11ы -~- 2, $'(ы) = ьэ(ы — 10ьэ -~- 7). Для построения годографа у" (гид) замечаем, что сг(0) = 2 и У(ы) обращается в нуль при ьэ = 0 и при ы = ыы аг = аэг (О < ач < саг); квадраты ьэ, и ыг г, г определяются из квадратного уравнения: аэ1 — — 5 — Л8 0,76; аэг — — 5+ Л8 9,24. г) Этот критерий вперные был применен А.В. Гдихвйловым для исследования систем автоматического регулирования. Поэтому в технической литературе геометрический критерий устойчивости часто называется критерием Мизайлоеа. ) Условие 1) означает,что у(Л) не имеет чисто мнимых корней. з) Устойчивый многочлеп называют также мпогочленом Гурвича.
у'оу. Критерии асимптотической устойчивости 199 1;В=б-, 2' т. е. 7(Л) — устойчивый многочлен. К этому же выводу можно было бы прийти, исходя из критерия Льенара--ппараа, поскольку в 7(Л) все коэффициенты положительны и 5 11 2 0 1 10 7 0 0 5 11 2 0 1 10 7 Лэ О >О Лэ 5 11 1 10 > О. Нетрудно убедиться в том,что У(ы~) ( О, П(ыэ) > О.Кроме того, Г(0) = = 7 > О.
Таким образом, годограф при ы = 0 начинается на положительной вещественной оси, идет сначала вверх, пересекает положительную мнимую ось и, наконец, снова положительную вещественную ось (при ы = ыэ). При ы > ыэ годограф не пересекает осей координат и уходит в бесконечность в пятом квадранте (у > О, )с > 0), так кан и = 5. При этом 150 = 'г'(со)/у(ы) э +оо при ы — э тсо. Таким образом ГЛАВА У1 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ й 40. Малые колебания консервативной системы Если в начальный момент времени положение склерономной системы выбрано достаточно близким к положению устойчивого равновесия и начальные скорости по абсолютной величине достаточно малы, то на протяжении всего движения будут малыми по абсолютной величине как сами отклонения от положения равновесия, так и обобщенные скорости.
Это обстоятельство позволяет сохранить в дифференциальных уравнениях движения только линейные члены относительно отклонений и скоростей, а члены более высокого порядка малости отбросить. Тогда дифференциальные уравнения движения становятся линейными, т.е. задача «линеаризуетсям В этом параграфе рассматривается линеаризация уравнений движения для случая консервативной системы. Кинетическая и потевциальная энергии консервативной системы с п, степенями свободы выражаются через независимые координаты д, и обобщенные скорости д, (1 = 1,..., н) следующим образом: 1 Т = — ~ а,ь(ды ..., д„)д,дэо П = П(ды ..., д„), (1) ь в=1 Как и в предыдущей главе, примем, что начало координат д1 = ...
= д„= 0 является положением равновесия и что в этом же положении П = О. Разложим коэффициенты а,ь(ды ..., д„) в ряды по степеням координат; а,ь(ды ..., д„) = а,ь +... (1, й = 1, ..., и), (2) где агь =- а1ь(0, ..., 0) (ачь =.- аы; г, к = 1, ..., и) постоянные. Подставляя этв выражения для коэффициентов в формулу (1) для кипетической энергии, получаем 1 Т = — ~~~ а,ьд1дь + (««), 2 (Ж ь /с=1 где через (««) мы обозначили сумму членов третьего и более высоких порядков относительно д, и д,,(1 =- 1,..., и).
201 З40. Колебания консервативной системы Разложим также и потенциальную энергию в ряд по степеням координат: и = п. г у ( — ) г, — у ( ) гег, г ( ) г=! г. й=! По условию Пв = О. Кроме того, в положении равновесия обобщенные силы равны нулю о /дп1 — йс~ = ~ ~— ) = О (! =- 1, ..м в). Поатому, введя обозначения !' дзП с а = ) ) (с!ь = сиб 1, lс = 1, ..., .и), (4) ),дй, дй,), мы и потенциальную энергию представим в виде п П = — У с!ьд!де+ (ее).
2 ~ г, Е=! Отбрасывая в формулах (3) и (5) члены третьего и более высокого порядков малости относительно д! и фн мы представим кинетическую и потенциальную энергии в виде квадратичных форм с постоянными коэффициентами 1 Т = — г асы)!с)ы г,ь=! 1 ~ П = — У с!!дщ, 2 (б) г, Ь=! а !г ! ~. 1ьЫ >О ~.Ч1>0 г, а=1 г=-1 Далее, для того чтобы обеспечить устойчивость данного положения равновесия, потребуем, чтобы (в соответствии с теоремой Лагранжа) в положении равновесия потенциальная энергия имела строгий См. примечание и с. 5!.
ГдЕ ага = ам, СЫ = С1а (1, 1С = 1,..., П). ИЗ ФИЗИЧЕСКОГО СМЫСЛа кинетической энергии ясно, что всегда Т > О. Поскольку мы предполагаем, что положение равновесия не является особой точкой '), то всегда Т > Ог если только не все обобщенные скорости равны одновременно нулю, т.е. квадратичная форма 2,',".! агяс)гг)ь = 2Т является положительно определенной: 202 Гл. 17. Малые колебания минимум. Поскольку Па = О, то это означает, что в некоторой окрест- ности начала координат в ( 1 сь01г)1>0 ~~ г)1 >О 6 й=1 э=1 (8) Будем искать частное регпение этой системы линейных дифференци- альных уравнений в виде 1), = и, з)п(оф + о) (г=1, ..., и), (10) т.е.
в виде гармонических колебаний с одной и той же частотой оэ и с одной н той же постоянной о для всех координат. Подставляя выражения 110) для д; в дифференциальных уравнениях (9) и полагая Л=ы (11) получаем после сокращения на в)п1оэ1 + о) агедуюцгую систему алгебраических уравнений, линейных относительно амплитуд и, з): 1ссь — Лагь)иг. = 0 (г = 1, ..., и). (12) 1=1 Так как все амплитуды и, искомого колебания не должны обращаться в нуль, то определитель системы однородных уравнений 112) должен 1 ) Конечно, возможны случаи, когда функция 1Цдг, ..., д„) до отбрасывания членов Оы) имеет в начале коордипат строгий минимум, а после отбрасынания этих членов имеег в этой же точке нестрогий минимум (гэапример, 11 .= с (дг -1- -~-, .. та„)~ т г1~ (д1 т...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
