1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 36
Текст из файла (страница 36)
П р и м е р. Се ванные маятники. Точки подвеса двух одинаковых математических маятников с массой тп и длиной ) расположены на одной горизонтальной прямой. Точки этих маятников, отстоящие от точек полвеса на расстоянии Ь (О < 6 < )), соединены межпу собой пружиной жесткости у; пружина находится в нерастпнутом состоянии, когда маятники занимают вертикальное положение. Требуется определить колебание системы в вертикальной плоскости. В качестве независимых координат возьмем углы )г1 и рю образованные маятниками с вертикалью (рис.
49). В положении равновесия ~р~ = ~рз = О. 1 ) Для амплитудных векторов и выполняются соотношения А(имия)= ~ агизикл=о 0Ф6;~',ь=б...,и). ,э=1 209 940. Колебания консервативной системы С точностью до малых величин высшего порядка удлинение пружины равно Ь~ еш рг — яп рг ~ гв Ь~рг — рг). Поэтому в данном случае г г г Т = — т1 (р, т эег), 2 П = т91(1 — сов Эгг) + тдЦ1 — сов эгг) + тй 1'рг — р ) 2 г г 1 г г 2 =-тджх +~ в)з--тй (р — р ) ->" 2 Сохраняя в П только квадратичные члены, окончательно будем иметь Т = — а(Рг+ дг ), г 2 г г П = с(Фг + Фг) Ьргэгг 2 где а = т1, с = тд1+ уй, Ь = тб . Напишем уравнение частот с — Ла — Ь Л =0 (Л=-') с — Ла Рис.
49 и одно из двух уравнений для определения амплитуд в главных колебаниях (эти два уравнения зависимы) иг Ь (с — Ла)иг — Ъиг = О, т.е. — = иг с — Ла Из уравнения частот находим с+Ь д у Ьг озг —— Лг = = — + 2 — —. а 1 гп1г' г с-Ь д , =л а Соответственно для первого главного колебания иг = иг = Сг и |рг = Сг в1п(а(г1+ ог), рг = Сг яп0огс+ аг) (<рг = рг), а для второго иг = — иг = Сг и дгг = Сг еш(ыгс+ аг), дгг = — Сг яп0огс-г ог) (|рг = —,гг).
рг = Сг япрог1+ си) — Сг в1прог1+ ог). В первом главном колебании оба маятника все время находятся в одной фазе, пружина нерастянута и маятники не оказывают никакого влияния друг на друга. Во втором главном колебании маятники находятся все время в противоположных фазах. Произвольное колебание получается наложением двух главных колебаний: <рг = Сг егп0ог1+ сц) + Сг яп0ог1+ аг), 210 Гл. И.
Малые колебания 9 41. Нормальные координаты Две квадратичные формы А1гЧг Ч) ~~~ огьЧг1ггь и С1гЧ Ч) ~~' сгяггггь (1) г. 1=1 из которых хотя бы одна, например, А(Ч, Ч) является положительно определенной, всегда можно одними тем же (неособенным) преобразованием переменных г1г = ~~ иоВ (1 = 1, ..., и; де1(игг),".1 ф О) (2) 1=-1 ПРИВЕСТИ К «СУММЕ КВаДРатеаг1 ') и п А(ч, 11) = ~ ~В,", С(ч, с1) = ~ ~Л101.
(3) г'=1 1=1 При этоъ1 все Л ) О, так как (см. 940) форма С(Ч, с1) также является положительно определенной. Поскольку обобщенные скорости 1)г и В связаны между собой такими же соотношениями, какими связаны о, и В ч г)1 = ~~ и1 В (1 = 1, ..., и), 1=1 то в первом из равенств (3) можно заменить дг и В на д1 и В, после чего для кинетической и потенциальной энергий получаем гледуюшие выражения; 2 Т = — ~~ огьдгг)ь = — ~~г В, г. Iг=1 1=1 (4) 1 1 П вЂ” ~~' г с~и~чав г, Ь=.1 =1 Переменные 01,..., В„называются нормальными или главными координатами. Формулы перехода (2) от произвольных координат к нормальным в «векторной» записи могут бьггь представлены так: Ч=- 2 Вгп„ 1=-1 1) См, иапример, цитироааииую иа ел 96 киигу «Теория матриц».
— Гл. Х. 16. 211 у Еб Норм явные координаты где йиП пд = )! ~~и„, (~ = 1... п,). Так как преобразование координат (2) является неособенным, то со- ответствующий определитель отличен от нуля: с)ес(и„),", 1 ф= О, т. е. векторы п1, ..., п„линейно независимы. Используя простые выражения (4) для Т и П в нормальных координатах, составим уравнения Лагранжа в этих координатах: 0,+Л101=9 0=1, ...,и).
(6) Каждое из этих уравнений содержит только одну неизвестную функ- цию. Общие решения уравнений (6), как известно, определяют гармо- нические колебания 0 =С яп(ы с+и ) (у=1, ....,и), (7) где С и егд произвольные постоянные (~ = 1, ..., и). Подставляя эти выражения в формулу (5), получаем общую формулу для колебаний с1 = ~~~ С;и в1п(со;1+ о ).
(8) 1=-1 Таким образом, строго установлено, что эта формула в самом общем случае охватывает все малые колебания консервативной системы ). Полагая в формуле (8) все произвольные постоянные, кроме С и сгы Равными пУлю, полУчим Уье «главное» каноническое колебание с1 = Стпд яп(сод1+ од). (9) 1) В предыдущем параграфе ата формула была установлена лишь для случая, когда вековое уравнение не имеет кратных корней. (В нормальных координатах это колебание осуществляется, когда все 0; = 0 при 1 у. -у и изменяется только координата 0 ..) В предыдущем параграфе было установлено, что квадрат частоты Л = сот удовлетворяет уравнению частот. Так как других гармонических колебаний вида (9), кроме тех, которые входят как слагаемые в обшую формулу (8), для с1 не существует, то Л, = со8 О = 1,..., п) все корни векового уравнения.
Кроме того, если какой-либо корень повторяется 212 Гл. И. Малые колебании и п А(ц, с)) = А~ ~0»и,, ~ ~Вань) = 'у А(и,, и1,)й»йю (10) 1=1 6=1», Ь=1 С другой стороны, А(ч Ч) =Е01 Сопоставляя равенства (10) и 111), получаем для амплитудных векторов и 1»' = 1, ..., и), с помощью которых по формуле (5) осуществляется переход к норътальным координатам, соотношения ): А(и„и ) =би — — ', ' (1,»=1, ...,и).
(12) ) О, т Ф », й 42. Влияние периодических внешних сил на колебания консервативной системы Пусть помимо потенциальных сил — дП/дд1 на систему действуют некоторые силы 1',), = Ц1(1) (1 = 1, ..., п). Перейдем к нормальным координатам с помощью формул 1)1 = ~~~ и11Ц 11 = 1,..., и; с)е11ио)" 1 1 ~ 0). (1) 1=1 Силам Я, в координатах о, (1 = 1, ..., и) соответствуют силы О. в координатах 1) (» = 1,...,п). Установиа1 связь между Я1 и О , исходя из равенства выражений для элементарной работы сил: о и ~ д,50, = ~ О,5В,. 1=1 1'=1 (2) 1)»1ругил1и словами, векторы и П = 1, ..., и) ортонормиронаиы а А-метрике (см.
примечание 1 на с. 20о). здесь р рвз, то ему соответсгвуют р линейно независимых амплитудных векторов и з определяемых из системы линейных уравнений (28) или (29) предыдущего параграфа. Таким образом, мы снова доказали, что все корни Л» векового уравнения вещественны и положительны и установили, что п частотам а1 =,Д соответствуют п, линейно независимых амплитудных векторов и» (» = 1, ..., п).
Подставив в формулу А111, с)) вместо 11 его выражение 15), получим; 213 у4з. Влияние периодических внешних сал Замечая, что в силу формул (1) п бд! = ~~ ин.б01 (1= 1, ..., и,), 1=1 (3) и подставляя эти выражения для бу1 в равенство (2), получаем и и П и1Я! бВ = ~~! О 601. 1=1 1=1 1'=1 Отсюда, приравнивая коэффициенты при независимых приращениях нормальных координат бВ, находим О.= 'у и»Я, О=1,...,п). (5) 1=1 Таким образом, если естарые» координаты ц, выражаются через «новые» О. при помощи матрицы !1 = йи,з'й' д1 = и11В1 + и!20г + .
+ и!пВ»м чг = иг!В1 + и2202+... + иг"0"' (с = 110, с(е!11 ~ и), (б) д„= и„10! + и 2В2 +... + ио„В„ то яновые» обобщенные силы 01 выражаются через естарые» обоб- щенные силы Я1 при помощи транспонированпой лиатрицы 1Г! Й! = и1! су! + игЯ2 +... + и„1Я„, О2 — и12Р! + 1~22"сг + + и~20~ (О 11~б)) (7) О„= и1„(,)! + иг„Ц2 +... + и„„Яа если 1У = 'зп,з~~" — ортогональная матрица, то (1Г) 1 = 11 и силы преобразуются так же,как и координаты. Б общем случае, когда преобразование координат нелинейно, обобщенные силы преобразуются контраварнаптно по отяощеиию к дифференциалам координат. Сопоставляя матричные формулы с1 = 120 и ь4 = (Щ 10, мы видим,что при переходе от координат к силам матрица преобразования 11 заменяется ) матрицей (11') Это обстоя~ельство выражают словами: обобщенные силы преобраеунзтся контраеариангпне по отношению к координатам 2).
214 Гл. И. Малые колебания После того как мы научились определять О, по заданным с,ч, напишем уравнения Лагранжа в нормальных координатах, используя для Т и П выражения (4) из предыдущего параграфа: О, + ее201 = 0,(1) О = 1, ..., и). (8) Обозначим через 0' () = 1, ..., п) произвольное частное решение уравнения (8). Тогда общее решение уравнения (8) будет 01 = С яп(ее 1+ о ) + 0*.
() = 1, ..., и). (9) Пусть т1 (е) периодическая сила и притом синусоида,пьная с частотой й: 0,(1) = А, япйй (10) Тогда, как нетрудно видеть, в качестве д* можно взять 0' = . япйй А, 3 Если ф(1) (е = 1, ..., и), а следовательно, и 0.(1) Ц = 1,..., и)-- произвольные периодические силы с периодом т и частотой й = 2к(т, то О (1) можно разложить в ряд Фурье О,Я = ~ А„вш(тИ+~о ) (у = 1, ..., п). (12) ы=.е Тогда, в силу линейности уравнений (8), д," = ~ ~. ' яп(тй1+ ума) (у =1,..., п). (13) ы=а 3 Если некоторое тй совпадает с ю, и соответствующее Аб ~ О, то для координаты д имеет место явление резонанса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
