1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 40
Текст из файла (страница 40)
й 47. Влияние внешней силы, зависящей от времени, на малые колебания склерономной системы. Амплитудно-фазовая характеристика Общее решение этой неоднородной системы дифференциальных уравнений представляется в виде 2п Ч=~~ С и е ьт+с1*, ь=! (2) где первое слагаемое представляет собой общее решение соответствующей однородной системы, а с1* .. некоторое частное реп!ение системы (1). Мы предполагаем, что положение системы в! = ... = о„= О является асимптотически устойчивым положением равновесия, т.
е. что Верь ( О (Ь = 1, ..., 2п). Тогда первое слагаемое стремится к нулю при 1 — т со ) и при достаточно болыпих ! общее решение с1 неоднородной системы практически совпадает с с!'. Поэтому мы в дальнейшем Если вековое уравнение имеет кратные корни, то и сумме, стоящей з правой части равенства (2), могут появиться вековые члены вида Сь(иь + и',! + и",!г + -~-... )епьц Однако н н этом случае сумма стремится к пулю прн ! — » со, если все Керт, ( О, Пусть дополнительно к тем силам, о которых шла речь в 3 45, на склерономную систему действуют еп1е силы ф(1) (! = 1, ..., и), Тогда уравнения Лагранжа для малых колебаний системы будут отличаться от уравнений (7) на с.
227 только наличием ненулевых правых частей (а!явь+ Ь,яде+ с,поз) = ьст(1) (т = 1, ..., и). (1) ь=! Гл. '«й Малые колебаьил Будем искать вынужденные колебания в виде д»=В»е' (Й=1,...,п). (б) Подставляя эти выражения для дь (Ь = 1,..., и) в дифференциальные уравнении (4) и сокращая на е' ~, получаем для определения величин Вь систему алгебраических уравнений: п [аы(1й) + Ьы(гй)+ с1»)В» = А, (6) [а ь(гй) + Ь ь(1П) + с ь)В» = О(1 = 2, ..., н). »=1 Решая эту систему алгебраических уравнений, находим для Ь = = — 1,..., ьв В» = И'»ь(гй)А, (7) где И'ы(«й) = Ь,ь(НЦ (8) ет(«й) -- правильная дробно-рациопальная функция от 1й с вещественнымн коэффициентами; годограф этой функции в комлексной плоскости, а иногда и сама функция, носит название час»потной или амплитуднофазовой хороктерисшики.
Тогда «отклик» координаты дь на внешнее воздействие «„1 = Асин получается умножением этого воздействия на частотную характеристику И'1»(»й): (9) с1» =- И'ы(«й)Аен ~ будем интересоваться только «вынужденными колебаниями» с1*, ко- торые будем обозначать просто через «1. Поскольку система дифференциальных уравнений (1) лннейна, то общий случай отыскания вынужденных колебаний сводится (за счет линейной супернознцин частных решений) к тому случаю, когда толь- ко одна из обобщенных сил Я,(1) отлична от нуля.
Пусть, например, Я1(1) ~ О, а ф (1) = О Ц = 2, ..., н). Кроме того, допустим сначала, что Яг(1) гармоническая сила, т. е. «„1(1) = Аенн. (3) Тогда дифференциальные уравнения (1) запишутся так: (а~Я» + Ь~»9ь + с»»9») = Аен1', (4) '» (и Яь+Ь1»9»+с,»4») = О (У = 2, ..., и). »=! 137. Влияние внегиней силы, зависящей от времени 235 Полагая Иагь1гй) = — Кц,1Й)е' ага ) )йгь(й) ) 0] (10) ~Вгь(й) — амплитудн я, Фгь(й) — фазовая характеристика], перепигпем формулу (9) следующим образом: с)ь = Яд„.1Й)Ае'г~'+~а" г~)) (и = 1 и) (11) Пусть теперь (12) (~г — — А гйп Й1, т.
е. а айг — айг) А 2г Соответствуюгций отклик будет ') В (й) 1а а)йгти агап)) — агйгч-ггаагй)) ) 1 а)ь = —. 1ь 2г т. е. а)ь = Вгь(й)Ав)п[Й1+ Фгь(й)) (13) Другими словами, при переходе от синусоидальной силы (12) к соотвегпствующему отклику, гп. е.
синусоидальному вынужденному колебанию (13), амплитуда силы гумножаегпся на амплитуднро характеристику Вга(й), а смещение фазы определ.естся фазовой характеристикой Фгь(й), взятой для того же значеьиля Й. На рис. 53 изображена амплитудно- '"ф~ фазовая характеристика Иагь1гй) (О < И'а(гй) < Й < со). Если для данного Й соответствующее Лгь1Й) очень мало, то амплитуда отклика весьма мала по сравнению с амплитудой «возбуждения» Асйпй1 данной частоты й. Наоборот, если при данном Й соответствующее Щь1Й) очень велико, то амплитуда отклика велика по сравнению с амплитудой обобщенной силы ссай Таким образом., подбирая систему с надлежащими амплитудными характеристиками, мы можем гасить колебания на одних диапазонах частот и увеличивать амплитуды этих колебаний на других частотах. Это и есть принцип устройства фильпгров.
Так как Иг(гй) — правильная дробно-рациональная функция и потому И" (гй) — э 0 при й э оо, то любая система практически допускает только конечный диапазон частот. Так как нага(гй) и магг( — гй) — комаалексаао соприжеииые числа, то яга( — й) = Наг(й) и лага( — й) = — арга(й). 236 Гл.
1гГ. Малые колебании Пусть теперь Яг(1) произвольная периодическая функция, задаваемая рядом Фурье Яг(1) = ~~г А яп(гпй1 + грп,). (14) т=о Складывая отклики на отдельные гармоники этого ряда, получаем 9ь =- ~~~„Вгь(тй)А яп(тй1+ у + Ф„ь(тй)] (15) го=-О (Й = 1, ..., и). Пусть теперь г гг (г) произвольная непериодическая функция 1(г) от 1, которую можно представить в виде интеграла Фурье ) тсо тсо г(е) егигсЦ1 г(е)е — тич 1 Г 2и ./ (16) Полагая и'(й) = 1(г)е ' г(1,. будем иметь Яг = 1(г) = — Г(й)е' ггй.
(18) Функция и'(й) называется комплексным спектром функции Щ =Ф) Воздействие 1 — и'(й) г(й е' 27г вызовет отклик — И'гь(1й)Е(й) г(й е' 2и Поэтому, основываясь на принципе линейной суперпозиции откликов, найдем: дь = — Иггь(гй)г'(й)е' 'г1й (й = 1, ..., и), (19) 2и у ) См, например: Фиетеиеолеи Г.М. Основы математического анализа, -- Мс Т.2. — Гл. 24, — 13. т. е.
комплексный спектр Иггь(гй)Р(й) для координаты дь получается умножением комплексного спектра воздействия стг (1) на соответству- югпую частотную характеристику системы И'гь(гй). ул7. Влияние вне1иней силы, вависяиГей от времени 237 в виде г(й)Иг1я(гй) =- С(й) + 1Н(й), (20) согласно формуле (19) будем иметь 1 Г, — / (С(й)+1Н(й)]]созй1+тз1пй1]11Й = 21г .г -~- оо 1 = — / ]С(й) сов й1 — Н(й) в1пй1] г1Й+ 2л,/ + — [С(й) в1п Й1+ Н(й) соз Й1] дй. (20) 2я у' Так как дь(г) — вещественная функция, то второе слагаемое в правой части равно нулю ) и поэтому -1-оо 1 17я = — / (С(й) сов й1 — Н(й) вшИ] гИ. 2л,г (21) Предположим теперь, что 1Р1(1) = О, при 1<0:, оь(1) = 0 (и = 1, ..., п) (22) тогда 0 = — / ]С(й) совй1 — Н(й)в1пй1]гИ (при 1 < О).
1 2л,/ Заменяя здесь 1 на — й 0 = — У ]С(й) совЖ+ Н(й) гйпй1]г1Й (при Е > 0). (23) 1 2л,/ Складьгвая почленно равенства (21) и (23), находим оо 1 Г щ,- =- — / С(й) сов Й1~И (при 1 > О). (24) реальная систелга не может иыеть частотную характеристику, ие удовлетворяюгную этому условию. Пусть при 1 < 0 система находится в покое и движение системы при нулевых начальных условиях вызвано только внешним воздействием гьг(т) и: 0 при 1 > О. представляя комплексный спектр отклика 238 Гл.
Рй Малые колебания Можно показать, что выражение (24) определяет общее решение устойчивой системы для координаты дг при условиях (22) н при нулевых начальных данных '). Функция Итьь(й) строится непосредственно по коэффициентам а,г, ьф и сею содержащимся в уравнениях (1), а функция Е(й) определяется выражением (17). После этого задача об определении движения, описываемого уравнениями (1), сводится с помощью выражения (24) к одной квадратуре.
Для приближенного определения движения пригоден поэтому любой метод приб,пиженного интегрирования. Можно, например, построить график функции С(й), заменить его ломаной линией и через точки излома провести горизонтальные линии до оси ординат. Тогда функция С(й) приближенно заменяется суммой функций д (й), х (й) 6<п) Рис. 54 Рис. 55 график каждой из которых представляет собой трапецию (в частном случае треугольник), как показано на рис.54. Для одной такой функции д. (й) интеграл (24) может быть вычислен ): где й:,р н Ь показаны на рис. 55, а А - - площадь трапеции.
Поэтому 1 ч сйпй р( в(пЬ 1 дь — — у А, йбср где суммирование ведется по всем трапециям, полученным при аппроксимации С(й) ломаной линией. При использовании такой аппроксимации для построения движения могут быть использованы таблицы функции зш з) Это следует из того факта, что выражение (20) определяет преобразование Фурье решения прн нулевых начальных данных, а выражение (24) — обращение преобразования Фурье (см., например: йбзерман М.А. Лекции по теории автоматического регулирования.
— 2-е изд. — Физматгиз. — 1958). з) См, с, 280 — 282 книги, указанной в примечании 1 на с. 238. ГЛАВА ЪгП СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ й 48. Приведенная система. Потенциал Рауса. Скрытые движения Концепция Герца о кинетическом происхождении потенциальной энергии В настоящей главе общие положения, изложенные в г11. П и в гл. Ъг, используются для исследования движения голономной склерономной системы с циклическими координатами о (а =- т+ 1....., и). Кинетическая энергия такой системы имеет вид 1 Т = — У асе(у), ..., д,п)деде. 2 ' (1) с, а=1 Поскольку определисель1) В = )1ес(а Л)" д ф О, то из соотношений (2) находим где ))Ьпд~~", 1 - обратная матрица для матрицы ~)а,„д~" .1., 'ЬЬ з)!" т1 — — (а в)( (4) Полагая Ь„зад) (1=1,...,т; о=т+1,...,п), (5) )3 =~п-~-1 См. примечание 1 к с.
8П Найдем выражение для кинетической энергии в переменных Рауса )11, ))1, р (1 = 1, ..., т; о = )н + 1, ..., п). Для этого выразим все д через р„(о = 1а + 1,..., п), используя исходные соотношения дТ Р„=, = ~ ат,а, + ~~ а )1118 (о =т+1,..., п). (2) е=1 )З=са-~-1 240 Гл. 7П. Системы с ци лическими координатами запишем соотношения (3) в следующем виде: и ги Ча = ~~г б аРб — ~~ УаэЧ, (о = т+1, ..., п). (6) б=ют1 г=1 Здесь баб и эа, функции от нециклических (или, как их иногда называют, позиционных) координат Ч; (1 = 1, ..., т). Подставляя выражения (6) для Ча в формулу (1), получаем выражение Т для кинетической энергии в переменных Рауса: 1 Т = — ~ ~а, Ч,ЧЧ+ 1 га и — аа!1РаРР + ~ ~~~ а*аЧгра. (Г) а, б=юзл г=1 а=юе1 Замечательным является то обстоятельство (на него обратил вниъ1ание еще Раус), что в этой формуле все а,' = О, т.е.
выражение Т есть сумма квадратичной формы относительно позиционных скоростей Ч1, ..., Чга и квадратичной формы относительно обобщенных им- НУЛЬСОВ ) Р т1, ..., Ри. Действительно, дТ д ( " дтдЧР~ д д д д. ~~' д. д = —. ~~', беаром = О, (8) Чг Ра Чг ! чи ! ЧВ Ра Чг „ так как 2 е баярд зависит только от переменных Ч, и рдг которые рассматриваются как независимые по отношению к Ч, (1 =- =1,...,т; д=т+1,...,п). Вычислим теперь коэффициенты а* 11 д'Т д " дТ дЧт д дра дрд дра 1 дчт дрг дра (о,,З=т+1, ..., и). (9) 1) Использоваггггое здесь преобразование переменных, соответствующее переходу от переменных да д к переменным да р, примевяется обычно в теории квадратичных форм для приведения (па методу Лагранжа) квадратичнОй формы к сумме квадратов.
Действительна, применив несколько раз подобные преобразования, мы представиъг квадратичную форму от и переменных в виде суммы и квадратичных форм, каждая из которых зависит только от одной переменной, т. е, равна произведению квадрата этой переменной ва некоторый вещественный коэффипиепт. Аналогично найдем коэффициенты а,', ) Используя равенства (5), 1юлучаем а,*. = а;.— а, В=т-1-1 Но ца основании равенства (4) Ь„в = Ая /Р, где Ав алгебраическое дополнение элемента ал в определителе Р. Используя это обстоятельство, можно вместо формулы (10) написатте а аз ае, тт1 а х1 а х1 аьв а 1 11 Р (1,1=1, ...,т).
а„ ат х1 ... а„„ (10') Таким образом формула (7) имеет вид (11) Здесь коэффициенты а,*, и Ь Р определяются равенствами (4) и (10). Пусть силы, приложенные к склерономной системе, имеют потенциал П = П(1, Ч„). Тогда 7 = Т вЂ” П. Вычислим функцию Рауса (см. з 13): )ьтВ(1,Ч„Че,р )= ~~~ р Ч вЂ” Рт о=тт1 Здесь и в дальнейшем 4 = ... означает, что в выражении, стоящем и квадратных скобках, все Ч„замеиящтся их выражеииями (б), дзТ дЧ1 дЧ1 у 4д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
