1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 38
Текст из файла (страница 38)
50). 11рогибы уг, уг,, у„можно рассматривать как независимые координаты системы, а силы Г1, Гг, ..., Г - как соответствующие обобщенные силы, так как элементарная работа этих сил равна Рис. 50 При исследовании свободных колебаний мы в качестве сил Г1, Гг,, Г берем упругие силы Г,",..., Г„, действующие на массы тг, тг, ..., т„со стороны упругой системы Я при наличии прогибов уг, уг,..., у„, Рассматриваемая система и материальных точек,находящихся под воздействием упругих сил, является консервативной и имеет определенную потенциальную энергию П(уг, уг, ..., у„). Разлагая функцию П(уг, уг, ..., у„) в степенной ряд и сохраняя в этом ряду только квадратичные члены (см.
3 40), получаем для П выражение 1 П = — 7 с,ьу,уь (с,ь = сь„г, й = 1, ..., и). 2 , 2=1 Тогда для упругих сил Г; = — дП/ду, (г = 1, ..., п) находим Г, = — ~ с,ьуь (г = 1, ..., и). (2) Считая положение равновесия уг = ... = уь = 0 устойчивылг, пргпгимаем, что квадратичная форма (1), выражающая потенциальную энергию как функцию прогибов, является полоэюительно определенной: с,ьу,уь>0 ~ ~у, >О *, 2=1 12=1 Кинетическая энергия системы имеет простой вид: Т = — ~~ т,у,. 1 =1 (4) сы — тгЛ сы с21 с22 — т2Л С1„ сг, = 0 (Л = аг ) (5) с„„ — гп Л с„г В поисках гармонического колебания у, = и, сйп(ы1 + о) (как это мы делали в 3 40) приходим к уравнению частот 222 Гл. И.
Малые колебания и алгебраическим уравнениям для определения амплитуд Я(с„ь — Лт,б,ь)иь = 0 (1= 1, ..., и). э=1 (б) Система имеет и частот (7) ач <ыз«...ьэ„ и соответствующие амплитудные столбцы пы пю ..., и„; свободные коле- бания определяются формулой г у = ~ ~С,м, э)п(ы,1+ о,), где С, и оэ (1 = 1, ..., и) — пРоизвольные постоанные, опРеделЯемые из начальных условий. Пусть внешнее силы Рм ...., г'„вызывают статические прогибы ум .,.
..., ун Тогда силы г', уравновешиваются упругими силами и',* (г, = — г,'*; 1 = 1, ..., и), и потому, согласно равенствам (2), г',=~ ~с,ьуь (1=1,...,н). ь=г (0) При исследовании упругих систем большую роль играет матрица С = =Ь* П, обратная ) для матрицы С = ()с,ь() С помощью матрицы С можно разрешить систему соотношений (9) относительно прогибов ум ..., уь и представить ее в виде у, = ~ д ьгь (1= 1, ..., и). (10) ды=ды (г,й=1,...,н), а из положительной определенности формы (3) следует положительная 1) Матрица С не является особенной (аес С ф 0), так как квадратичная форма (3) является положительно определенной. э) Равенство (1Ц выражает так называемый принцип взаимности Максвелла: «прогиб в точке (1) под действием единичной силы, приложенной к точке (в)., равен прогибу в точке (й) под действием единичной силы, приложенной в точке (г)н Величина д„ь равна прогибу в точке (1), вызванному единичной внешней силой, приложенной в точке (к), и называется коэффициентом влияния гочки (й) на точку (1) (г, й = 1, ..., и).
Из матрицы С, составленной из коэффициентов влияния ) 223 уД.Малые колебания упругих систем определенность квадратичной формы С(Р,Р)= ~ д,»ГХц>0 ~~) Р,е>0 , »=1 (12) поскольку квадратичная форма 2 '," преобразовании переменных (10): 1 1 П = — ~ ~с,ь1г,уь = — ~ ,ь=» =1 с,ьу,уь переходит в форму (12) при 1 г у = — ~ ~д ьг гы 2 , ь=! (13) дн»1 д»ь» > 0 д*»ь» (О <»'» « ...
»г < п; 0 < й» « ... 1»г < и; р = 1, ..., п). 2'. д,ь > 0 при ~» — й~ < 1 (г, к = 1, ..., и). 3'. Определитель с1ет С = (д ь)1 > 0 Матрицы, обладающие свойствами 1', 2' и 3', называются осцилляцион ными. Заметим, что для всякой положительно определенной матрицы С выполняются свойство 3', а также неравенства 1' для главных миноров и неравенства 2' для диагональных элементов д„(» = 1, ..., п). Однако неотрицательность неглавных миноров любого порядка р') и положительность элементов д»г,, д„» „представляют собой специфические свойства матрицы коэффициентов влияния линейной упругой системы. Из осцилляционности матрицы коэффициентов влияния вытекают следующие основные еосцилляционные» свойства упругих колебаний линейной системы.
!'. Все частоты различны; гог<ыг«...»гь, 2*. Все амплитуды им, иам ..., и» в первом главном колебании (с частотой»ч) отличны от нуля и имеют одинаковые знаки. 3'. Среди амплитуд игм игн ..., и, в узм главном колебании (с частотой аг ) имеется ровно у — 1 перемен знака (~ = 1, 2, ..., и), (рис.
51). Исследование осцилляционных матриц и обоснование осцилляционных свойств упругих колебаний выходит за рамки настоящей книги ). Пример. Рассмотрим классическую задачу о колебании струны конечной длины 1 с закрепленными концами в случае, когда вся масса стру- ) В частности, неотрицатечьность недиаговальных элементов матрицы С (д,ь > 0 при» б й). ) Читатель найдет этот материал в книге (7). Рассмотрим линейную упругую систему Я вЂ” струну или стержень при обычных закреплениях концов. Можно показать, что в этом случае матрица коэффициентов влияния С обладает следующими свойствами. 1'.
Все лп» поры (не только главные! ) любого порядка матрицы С неотрицательпы: 224 Гл. И. Малые колебания ны сосредоточена в и равноудвленных (между собой и от концов) точках, причем сосредоточенные массы равны между собой (и равны т) (рис. 52). Удлинение 1-го участка (между точками с прогибами у, и уоы) выразится (с точностью до малых четвертого порядка) следующим образом: Считая натяжение струны сс постоянным ), получаем выражение для потенциальной энергии: с ч о / о(п + 1) 1 П= — 2 (Угы — Уе) (Ус=У 4Е=О; С= 2~ (14) *.=о т = — ~ ~у,'. 2 (15) Для нахождения главных частот и соответствующих амплитудных векторов изберем косвенный путь ) .
Напишем уравнения (6) для амплитуд 11) (2) 1п) 1=2 Рпс. 52 Рис. 51 используя выражения (14) и (15) для П и Т. Каждое из полученных урав- нений (6)разделим почленно на с и введем сокращенное обозначение: гл 2 1 — — ы = созб, 2с (16) где  — вспомогательная величина. Тогда уравнения (6) для амплитуд при- Это предположение опраедапо тем, что рассматриваются только малые прогибы ум ую .... у„. См. Крейн Млн // Метем.
сб. 1933. Т. 40. С. 455 — 466. Кинетическая энергия имеет простой вид: .+ 2 / 2/ 225 ВД.Малые колебания упругих систем мут следующий вид: иь г — 2иьсовВ+иьл, =0 (Й = 1,..., и), (17) где (18) ио = и тг = О. Алгебраическим уравнениям (6) можно удовлетворить, положив ') иь = япйй (й = О, 1, ..., п+ Ц. (19) При этом первое из вграничныхэ условий (18) удовлетворяется автомати- чески, а второе дает условие для определения искомых частот; вш(п+ 1)В = О. Отсюда В, = 1'яггп+ 1 (1 = 1, ..., и) и, следовательно, согласно равенству (16), 2с го = — (1 — сов В,), т, е. (с В, )с ук аг, = 2~) — яп — ' = 2~) — яп '7' т 2 1' гп 2(п+ 1) (21) Для нахождения амплитуд узго главного колебания игм ивю ..., иго полагаем в равенствах (19) В = В,: иг„= явЙВ, = яп (Й, 1' = 1, ..., п).
Йук (22) и+1 Произвольное свободное колебание системы определяется формулой уь = ~~ С,иь, в1п(ьг;1 т ог) = г=г С, яп — в!п (2 в|и )1 — 1+ о,) . (23) Йу'я, гг уя ) с и+1 (, 2(п+1)у'т ,=г Из формул (21) и (22) сразу видно, что полученные главные колебания обладают осцилляционными свойствами 1' — 3'. Лагранж показал, как из найденных формул предельным переходом можно получить свободные колебания однородной струны (с закрепленными концами), масса которой уже не сконцентрирована в и точках, а распределена равномерно вдоль струны, имеющей плотность р. 11ри подстановке выражения (19) в уравнения (17) получаем тригояометрические тождества яп(й — 1) — 2яв йВ сов В -~- яп(й -~- 1)В = 0 (й = О, 1, ..., и). 226 Гл.
Г'1'. Малые колебания Полагая в рассмотренной задаче т = р1) 1, находим дискретный аналог для однородной струны с главными частотами — — п1п+ Ц зш 2 з 77 р 27п -~- 1) о = 1, ..., и). 124) В пределе при и — 1 оо получим для частот ю, однородной закрепленной струны известные выражения: 125) ь1, = 7 —,1 — 1у = 1, ..., и).
1ур Эти формулы выражают закон Мерселна, согласно которому все частоты являются целыми кратными частоты основного тона ю1 = (к771),Яр и каждая из частот прямо пропорциональна корню квадратному из нагпяжения и обратно пропорциональна длине и корню квадратному из плотности. Представим 7ье гармоническое колебание однородной струны в виде у71х, 1) = из1х) з1п11о71+ ог) 10 ( х ( 1), Г26) где и,1х) .
амплитудный прогиб в этом колебании. Считая, что амплитудный прогиб и, 1х) может быть получен из величин (22) предельным переходом и,1х) = 1пп иго при и -э со и и,71п+ 1) — 7 х, мы из формулы 122) найдем: и,1х) = сбп Ц = 1, 2,... ). 7КХ Тогда свободное колебание однородной струны, которое получается линейной суперпозипией главных колебаний 126), выразится формулой У7ГХ у1х, 1) = ~ С, сдп — згп17с 1+ оз), ;=1 где С, и ог О = 1, 2,... ) произвольные постоянные. й 45. Малые колебания склерономной системы под действием сил, не зависящих явно от времени Напишем уравнения Лагранжа для склеропомной системы в случае, когда обобщенные силы 07 зависят только от координат и скоростей: 6дТ дТ вЂ” — — — = 6„7,1дь, уь) 11 = 1, ..., и).
(1) Пусть начало координат является положением равновесия. Тогда 1сы. 640) кинетическая энергия с точностью для членов третьего 227 уеб. Силы, не зависящие явно от времени порядка малости относительно д; и д, (к = 1, ..., и) может быть представлена квадратичной формой с постоянными коэффициентами 1 Т =- — ~ ~а,ьд,дк, (2) н 1=.1 где а,ь =ам (1, Й=1, ...., и). Разложим теперь обобщенные силы Як(17ы дь) в степенные ряды о~носительно да и е)к: о,=Ос .~~~( ') е'-( .') а~ +о К (3) Так как начало координат является положением равновесия, то при нулевых координатах и скоростях все обобщенные силы должны равняться нулю, т.е. дк =О ('=1,..., ).
Введем следующие обозначения: б,к= — (,'~, с,к= — 1 ') (к н=1......,п). (5) Г дЦ, 'к ке доз, 'к дк)к о дккк о После этого, отбрасывая в разложении (3) все члены второго и более высокого порядков малости, будем иметь; ь7, = —;у (б,ке)ь + с,ьк1к) (1 = 1, ..., п). (6) к=1 Подставляя в уравнения Лагранжа (1) выражения (2) и (6) для кинетической энергии и для обобщенных сил, получим линейные дифференциальные уравнения движения для малых колебаний склерономной системы п ~) (акьдь + ЬкьК)ь + скьк7ь) = О (к = 1, ..., п). (7) К вЂ” 1 Обозначим через А, В, С квадратные матрицы ') А = ))акк))1,, В = )(Ькь)!", С = ! скьбк, а через ц — столбец из дк, ..., К1„. Тогда система дифференциальных уравнений (7) в матричной записи будет выглядеть так: Аск + Век + Сс1 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
