1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 35
Текст из файла (страница 35)
таз), с > О, г1 > О). Но такие случаи мы будем считать особыми и исключим из рассмотрения. В этих особых случаях отбрасывание членов в выражении для И не оправдано. Оно может резко исказить картину движения. З) Величину о, мы называем амплитудой гармонического колебания 110) координаты йо хотя фактическн амплитудой является абсолютная величина и,; начальной фазой (при 1 = О) гармонических колебаний (10) является либо вели- чипа о (ггрн и, > 0),либо величина — а (при и, < О). 11о квадратичная форма (8) представляет собой однородную функцию второй степени относительно координат. Поэтому неравенство (8) имеет место во всем пространстве, за исключением начала координат, где эта форма обращается в пуль. Другими словами, потенциальная энергия также представлена в виде положительно определенной квадратичной формы относительно координат ).
Составньг уравнения Лагранжа, исходя из выражений 16) для Т иП; '1агьг)1- + Стяг)ь) = 0 1г = 1, ..., и). (9) Ь.=1 203 г 40. Колебания консервативной системы быть равен нулю: сы — Лаы сгд — Лаю сдг — Ладг ... сд„— Лад„ сгг — Лагг ... сг„— Лага = О. (13) с„д — Лавд с г — Ла с„о — Ла„„ аы ... аь одд ... сд, А = ))ада)! = .............. „С = 1)с,у„.)! = ..............
(14) аш ... а„„ с„д ... с„в и векторы-столбцы ид чд (15) ив (и -- амплитудный вектор). Тогда система дифференциальных урав- нений (9) запишется в виде (16) Ас) + Сс1 = О. Частное решение (10) будет выглядеть так: с1 = пв1п(одб+ о), (17) а результат подстановки решения (17) в уравнение (16), т.е. система алгебраических уравнений (12)., имеет вид (С вЂ” ЛА)п = 0 (Л адг) (18) Симметрическая матрица А = Ца,в'г называется положительно определенной, если соответствующая еи квадратичная форма г, Ь д о;Ьтдв является положительно определенной. Восле раскрытия определителя мы получим в левой части мпогочлен п-й степени относительно Л. Таким образом, квадрат частоты Л = ад~ искомого гармонического решения (10) должен удовлетворять алгебраическому уравнению н-й степени (13).
Уравнение (13) называется вековым уравнением или уравнением частот. Каждому корню Л уравнения (13) соответствует частное решение (10) (при произвольном постоянном о) систеъды дифференциальных уравнений (9). В этом решении ю = д/Л. Запишем приведенные выше формулы в матричной форме. Введем в рассмотрение две симметрические положительно определенные матрицы ) 204 Гл. И.
Малые колебания Уравнение частот запишется так: с)ес(С вЂ” ЛА) = 0 (Л = ша). (19) Для того чтобы выяснитгч что корни Л векового уравнения (19) всегда вещественны и положительны, рассмотрим предварительно некоторые свойства квадратичных форм с вещественными коэффициентами. Каждой квадратичной форме 2, „алли;иь соответствует некоторая билинейная форма ~," „атьисиы для которой введем сокращенное обозначение А(п, ч) = ~~ а,йи,иь; й й=1 тогда квадратичная форма запишется так; и А(п, и) = ~ ~асан,ий.
ь й=-1 Легко проверяются следующие свойства билинейной формы: 1 . А(пг + пя, и) = А(пг, ч) + А(пз, ч). 2'. А(Лп, ч) = ЛА(п, ч) (Л -" скаляр). 3'. А(п, ч) = А(ч, и) '). Покажем еще, что для любого комплексного вектора и 4'. А(п, й) " вещественное число~). Действительно, полагая и = ч -1- лч (ч и чч вещественные векторы-столбцы), в силу 1'-3', найдем: А(п, й) = А(ч + тьч, ч — тзч) = А(.ч, ч') — гА(.ч, тч) + +1А(и, ч) + А(тч, тч) = А(ч, ч) + А(вч, чи). (20) Последнее выражение явно вещественно. Из равенства (20) следует также 5'.
Если А(п, и) — положительно определенная квадратичная форма, а и ф 0 произвольный комплексный вектор, то (21) А(п,й) >0 (п~О). В самом деле, полагая и = ч+ лч, имеем А(ч, и) > О, А(чя, ис) > О. В одном из этих соотношений имеет место знак >, так как из и ~ 0 следует,по крайней мере, одно из неравенств ч ~ О, ьч у: О. Тогда из равенства (20) спедует равенство (21).
1) В отличие от равенств 1ь и йь равенство Зь справедливо только для билинейной формы с симметричеекой матрицей коэффипиентов. т!ертой мы отмечаем переход к комплексно сопряженным величинам. Свойство Л' справедливо только для симметрической матрицы с вепСественпылси элемевтами. 205 440. Колебания консервативной системы Докажем теперь 6'. Ее!!и Л корень векового уравнения с)ей(С вЂ” ЛА) = О, а и соответствующий ему амплитудный вектор [см.
(18)[ Сп = ЛАп (и у': О), (22) то при любом векторе ч С(п, ч) = ЛА(п, ч). (23) Действительно, в скалярной записи равенство (22) принимает вид п и сгйий = Л~ а«йий (г = 1, ..., и). й=1 й — -1 (22') Умножив обе части г-го уравнения (22') на гг и просуммировав по г, получим: и п Ег г,йи;ий = Л ~~ а,йигий, г, й=1 г, й=1 Действительно, согласно 6', имеют место два равенства: С(п, и') = ЛА(п, и'), С(п, и') = Л'А(п, и'). (25) Но Л ф Л'. Поэтому из равенств (25) следует соотношение (24) 1).
Докажем теперь, что из симметричности матриц А и С и из положительной определенносгаи матрицы А следует, что вековое уравнение (13) [или (19)[ имеет, только вещественна»е корни. А(п, и') = О. (24) Еслн ввести в п-мерном пространстве А-метрнку, т. е. под квадратом длины вектора П понимать величину квадратичной формы А(о, и) = 2 о,йи,пй, ,й=1 то А(п, п') — «скалярное произведение» векторов и н и' в этой ыетрнке.
Поэтому равенство (3) выражает собой следующее свойство амплитудных векторов: омплнгиудные векторы, соответствующие различным корням векового ураененвл, всегда ортогонольиы между собой е А-метрике. В силу равенств (25) одновременно с равенством А(и, и') = О имеет место н раненство С(и, и') = О. т.е. равенство (23).
Покажем теперь, что для любых двух амплитудных векторов и и, и', соответствующих различньм корням векового уравнения Л и Л' (Л ~ Л'), выполняется соотно!пение ) А(п, и') = О. (24) 206 Гл. И. Малые колебания Действительно, пусть Л вЂ” комплексный корень векового уравнения (Л у. -Л) и ему соответствует комплексный вектор и ~ О.
Тогда Л также корень векового уравнения с амплитудным вектором й. Поскольку Л ф Л,то, по доказанному, А(п, и') = О, что противоречит неравенству (21). Если Л вещественно, то и соответствующий ему амплитудный вектор и ф 0 может быть выбран вещественным. Тогда, полагая в (23) и = и и замечая, что А(п, и) > О, находим С(п, и) А(п, и)' (26) Но в нашем случае квадратичная форма С(п, и) = 2 „, с,ьи,иь также является положительно определенной. Тогда не только А(п,п) > > О,но и С(п,п) > О. Следовательно, Л > О. Таким образом, вековое уравнение (13) имеет и положительных корней Л з которым соответствуют вещественные положительные частоты иу =, уЛу уи вещественные амплитудные векторы п1 О = .=1, ..., и).
Рассмотрим сначала случай, когда все корни векового уравнения различны. Каждому Лз соответствует частное решение с1 = пу вш(а01+ пз) (хз = ~(Л,) (27) с амплитудньп| вектором п„координаты которого итм ..., и, долж- ны удовлетворять системе линейных уравнений (ось — Ла,ь)илу = 0 (г = 1, ..., и), ь=1 (28) или в матричной записи (29) (С вЂ” ЛзА)п, =- О. Так как система дифференциальных уравнений (9) )или (16)) линейна, то линейная комбинация с постоянными коэффициентами решений (27) есть снова решение этой системы.
Поэтому п г1 =" С,п,в1п(х,1+и,) (~, =;~Лл; у =1, ..., и) (30) з=л при произвольных постоянных С, о, Ц = 1, ..., и) является решени- ем системы (9) или (16). Мы покажем, что формула (30) охватывает все движения системы. у вО. Колебания консервативной системы 207 Докажем предварительно, что и амплитудных векторов п. = 1, ...,и) линейно независимы ). Действительно, пусть оп =О. 1=1 Тогда при любом фиксированном й (1 < й < и) г-А(., Х,.ес) = ~ЧЦ.ч .,!. 1=! з=! (31) Но А(пы п ) = 0 при )с у': у и А(пы п ) > 0 при й = ~.
Поэтому из равенств (ЗЦ следует: с1. =0 (/с=1г ...,и), т.е. между векторами п1, ..., п„не может быть линейной зависимости. Подберем теперь в формуле (30) значения произвольных постоянных С, а так, чтобы удовлетворялись произвольные наперед заданные начальные условия Чг(0) = Чгог Чг(0) = Чго (1 = — 1г °, и), (32) или в матричной записи с1(0) = с)о, с1(0) = с)о. (33) Из формул (ЗО) находим с)о = ~ ~Су гйпа, п), (34) с)о =,'у ог С, сов а, пан 1=! 1) Для частного случая, когда А — единичная матрица, ото предложение было доказано и 137.
о определяются с точностью до слагаемого, кратного зя. В силу линейной независимости векторов п (у = 1, ..., и) отсюда однозначно определяются произведения С. в!рва и о!С! сова и, следовательно, поскольку иг ~ О, однозначно определяются значения произвольных постоянных С, и а, (у .= 1, ..., и) ). Гл. И. Малые колебани 208 Таким образом, при отсутствии у векового уравнения кратных корней формула (30) охватывает все колебания системы ').
Если же уравнение частот имеет кратные корни, то можно утверждать, что решений вида пэ|п(ьЛ + сг) будет во всяком случае т, где т -- число различных корней Л векового уравнения. Лагранж считал, что в случае кратных частот общее решение системы (9) уже не представляется в форме (30) и что в правой части (30) появляются так называемые вековые члены вида (и + и'г + пи1 +...
) э1п, (ьЛ + а). Однако Лагранж ошибся. Как доказал позже Вейерштрасс, каждому корню Л р-й кратности соответствует ровно р линейно независимых решений системы линейных уравнений (12), т. е. для каждого корня Л р-й кратности можно найти р линейно независимых амплитудных векторов. Таким образом, и в случае кратных частот существует и линейно независимых амплитудных векторов и составленная с их помощью формула (30) дает общее решение и в этом случае.
Колебания г).= С,пузш(»,)+о,) 0 =1, ..., и), (35) из которых складывается произвольное колебание системы, называются главнъмии колебаниями системы. Строгий вывод формулы (30) в общем случае (т.е. и при наличии кратных частот) с помощью так называемых «нормальныхв координат будет дан в следующем параграфе. При этом выводе случай кратных корней векового уравнения не выделяется особо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
