1611688888-de7ed84b548edc7ea883f74f256231f1 (826650)
Текст из файла
УДК 519.85+519.688+521ББК В185.121В 752Рецензент:д-р физ.-мат. наук С. Г. ЧерныйИздание подготовлено в рамках реализации Программы развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет» на 2009–2018годы.Воронина, П. В.В 752 Численные методы в задачах : учеб. пособие / П. В.
Воронина,А. С. Лебедев ; Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск :РИЦ НГУ, 2015. — 122 с.ISBN 978-5-4437-0441-8В пособие включены задачи по полиномиальному интерполированию,квадратичному приближению функций, численному дифференцированию,численному интегрированию и решению нелинейных уравнений. Эти темы входят в курс вычислительных методов анализа, который читается намеханико-математическом факультете НГУ в 3-м семестре.Необходимые для решения задач понятия и теория кратко даются спомощью нескольких вводных задач по каждой теме, поэтому начинатьрешение рекомендуется с них.
Многие задачи снабжены ответами и указаниями. Список литературы, использованной при составлении задач, приводится в конце пособия.Пособие будет полезно студентам, изучающим вычислительные методысамостоятельно или под руководством преподавателей, а также преподавателям, проводящим семинарские и практические занятия.ББК В185.121УДК 519.85+519.688+521ISBN 978-5-4437-0441-8c Новосибирский государственный⃝университет, 2015c П.
В. Воронина, А. С. Лебедев,⃝2015ОглавлениеГлава 1. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯПолином Лагранжа. Погрешность интерполяции . . . . .Полином Ньютона. Разделенные разности . . . . . . . . .Полином Эрмита. Интерполирование с кратными узламиПолином Чебышева. Оптимальное расположение узлов .................44172629Глава 2. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ35Глава 3. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ46Глава 4.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕКвадратурные формулы интерполяционного типа . . . . . . . . .Квадратурные формулы Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .555571Глава 5. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ79Ответы и указания93Библиографический список121Глава 1.ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯПолином Лагранжа.Погрешность интерполяции1.1. Пусть x0 , x1 , .
. . , xn — набор различных точек (узлов) из отрезка [a, b],в которых определена функция f (x).(а) Показать, что для полинома li (x) =n∏k=0, k̸=iняются равенстваli (xj ) =x − xkстепени n выполxi − xk{1, если j = i;0, если j ̸= i.Полиномы li (x) называются базисными полиномами Лагранжа.(б) Показать, что для полинома степени n, заданного какPn (x) =n∑f (xi ) li (x),i=0выполняются равенстваPn (xi ) = f (xi ),i = 0, . . .
, n.Полином Pn (x) называется интерполяционным полиномом в форме Лагранжа.(в) Доказать, чтоn∑i=0li (x) = 1.5Полином Лагранжа. Погрешность интерполяции(г) Доказать, что для любой монотонной положительной функции f (x)полиномn∑Pn (x) =f (xi )li (x)i=0,i̸=kимеет по крайней мере один действительный корень при 0 ≤ k ≤ n.1.2. Пусть x0 , x1 , . . .
, xn — набор различных узлов из отрезка [a, b], в которых определена достаточно гладкая функция f (x), и пусть для полиномаPn (x) степени n выполняются равенстваPn (xi ) = f (xi ),i = 0, . . . , n.(а) Для заданного x ∈ [a, b], x ̸= xi найти константу K такую, что функцияF (t), заданная какF (t) = f (t) − Pn (t) − K(t − x0 ) . . . (t − xn ),обращается в нуль при t = x.(б) Показать, что существует θ ∈ [a, b] такое, что имеет место равенствоF (n+1) (θ) = 0.(в) Используя пункты (а) и (б), получить выражение для погрешностиинтерполяции в точке x, т. е. вывести формулуf (x) − Pn (x) =1.3.Обозначим ψn (x) =n∏f (n+1) (θ)(x − x0 ) . . . (x − xn ).(n + 1)!(x − xi ), где xi = a +i=0b−ai, i = 0, . .
. , n. Выnчислить ∥ψn (x)∥ = max |ψn (x)| при n = 1, 2, 3.x∈[a,b]1.4. Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов из отрезка [a, b]. Функция Лебега λn (x) для этих узлов определяется какλn (x) =n∑i=0|li (x)|,6Глава 1. Полиномиальная интерполяциягде li (x) — базисные полиномы Лагранжа.(а) Показать, что для интерполяционных полиномов Ln (x) и L∗n (x) степениn, построенных так, чтоLn (xi ) = fi ,L∗n (xi ) = fi∗ ,|fi − fi∗ | ≤ ε,i = 0, . . . , n,выполняется неравенство|Ln (x) − L∗n (x)| ≤ ελn (x).(б) Показать, что при квадратичной интерполяции по трем равноотстоя5щим узлам для функции Лебега верно неравенство λ2 (x) ≤ для любого4x между узлами.1.5. Пусть x0 , x1 , . .
. , xn — набор различных узлов, в которых определена функция f (x), и пусть f (xn−i ) = f (xi ) при i = 0, 1, . . . , n. Верно ли,что интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по этим узлам,является четной функцией?1.6. Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов, в которых определенафункция f (x), и пусть xn−i = −xi , f (xn−i ) = f (xi ) при i = 0, 1, . . . , n.Верно ли, что интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный поэтим узлам, является четной функцией?1.7. Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов, в которых определенафункция f (x), и пусть xn−i = −xi , f (xn−i ) = −f (xi ) при i = 0, 1, .
. . , n.Верно ли, что интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный поэтим узлам, является нечетной функцией?1.8. Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов, в которых определенафункция f (x), и пусть xn−i ̸= −xi , f (xn−i ) ̸= f (xi ) при i = 0, 1, . . . , n.Верно ли, что интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный поэтим узлам, не является четной функцией?1.9.
Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов, в которых определена функция f (x). Верно ли, что интерполяционный многочлен Лагранжа,7Полином Лагранжа. Погрешность интерполяциипостроенный по этим узлам, является полиномом степени n?1.10. Построить интерполяционный полином для функции f (x) = |x| поузлам −1, 0, 1.1.11. Построить интерполяционный полином для функции f (x) = x2 поузлам 0, 1, 2, 3.1.12. Построить многочлен P3 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 , удовлетворяющий условиямP3 (−1) = 0,P3 (1) = 1,P3 (2) = 2,a3 = 1.1.13. Построить многочлен P3 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 , удовлетворяющий условиямP3 (−1) = 0,P3 (1) = 1,P3 (2) = 2,a1 = 1.1.14.
Построить многочлен P4 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 , удовлетворяющий условиям4∑ai = 0,P4 (0) = 0,P4 (−1) = 1,P4 (2) = 2,P4 (3) = 3.i=01.15. Построить многочлен P3 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 , удовлетворяющий условиямP3 (0) = P3 (1) = P3 (2) = 0,a2 = 1.1.16. Построить многочлен P3 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 , удовлетворяющий условиямP3 (0) = P3 (1) = P3 (−2) = 5,a1 = 2.1.17. Построить многочлен P3 (x) третьей степени, удовлетворяющий условиямP3 (k − 2) = 3k 3 + 2k 2 + k + 1, k = 1, 2, 3, 4.81.18.Глава 1. Полиномиальная интерполяцияФункция f (x) задана таблицейxf (x)10315717112017.В предположении, что значение функции в произвольной точке x восстанавливается по табличным значениям линейной интерполяцией, найти значение x, для которого f (x) = 10.1.19.Функция f (x) задана таблицейxf (x)1−62−12.55.25316.В предположении, что значение функции в произвольной точке x восстанавливается по табличным значениям линейной интерполяцией, найти значение x, для которого f (x) = 0.1.20.Функция f (x) задана таблицейxf (x)4116278501083.В предположении, что значение функции в произвольной точке x восстанавливается по табличным значениям линейной интерполяцией, найти значение x, для которого f (x) = 20.1.21.Функция f (x) = x3 задана таблицейx0 = 0f (x0 ) = 0x1 = 1f (x1 ) = 1x2 = 3f (x2 ) = 27x3 = 4f (x3 ) = 64.Найти f (2) как значение интерполяционного полинома, заданного различными способами.(а) Полином P1 (x) построить по двум ближайшим узлам.(б) Полином L2 (x) построить по узлам x0 , x1 , x2 .(в) Полином R2 (x) построить по узлам x1 , x2 , x3 .9Полином Лагранжа.
Погрешность интерполяции(г) Полином P3 (x) построить по всем четырем узлам какP3 (x) =x − x3x − x0L2 (x) +R2 (x).x0 − x3x3 − x01.22. Значения полинома p(x) = x4 − x3 + x2 − x + 1 в нескольких узлахпоказаны в таблицеxp(x)-231-150111211361.Построить полином q(x) наименьшей степени, значения которого задаютсятаблицейxq(x)-231-150111211330.1.23.Функция f (x) приближается на отрезке [a, b] по равноотстоящим узb−aлам xi = a +i, i = 0, . .
. , n. Оценить погрешность интерполяции дляnследующих случаев:∫π1cos(x sin t)dt,[0, 1],n = 2;(a) f (x) =π0(б) f (x) = ln x,[1, 2],n = 3.[ π]Функция sin x приближается на отрезке 0,интерполяционным4π πмногочленом по значениям в точках 0, , . Оценить погрешность интер8 4поляции на этом отрезке.1.24.1.25.Функция ln x приближается на отрезке [1, 2] интерполяционным4 5многочленом по значениям в точках 1, , , 2. Доказать, что погрешность3 31интерполяции в равномерной норме не превосходит.300[]1 11.26. Функция e приближается на отрезке − ,интерполяционным2 211многочленом по значениям в точках − , 0, . Доказать, что погрешность222x10Глава 1.
Полиномиальная интерполяция√интерполяции в равномерной норме не превосходит93.1.27. Приближенное значение функции ln(x) при x = 15.2 найдено линейной интерполяцией. Показать, что справедлива оценка 0 < ln(15.2) −P1 (15.2) < 4 · 10−4 , где P1 (x) — интерполяционный полином, построенныйпо узлам x0 = 15 и x1 = 16.1приближается на отрезке [3, 5] ин(A2 + 6 − x)4терполяционным многочленом первой степени, построенным по значениямфункции в узлах x0 = 3 и x1 = 5. При каком A погрешность интерполяциив равномерной норме не превышает 10−5 ?1.28. Функция f (x) =√1.29.
Функция f (x) = 5 eA2 x приближается на отрезке [−1, 0] интерполяционным многочленом первой степени, построенным по значениям функции в узлах x0 = −1 и x1 = 0. При каком A погрешность интерполяции вравномерной норме не превышает 5 · 10−7 ?1.30. C каким шагом следует составлять таблицу функции ex на отрезке[0, 1], чтобы погрешность кусочно-линейной интерполяции не превосходила10−6 ?1.31. Дана таблица натуральных логарифмов чисел от 1000 до 10000 сшагом 1. Какова наибольшая погрешность кусочно-линейной интерполяции?1.32. Какова наибольшаяпогрешность кусочно-линейной интерполяции√для функции f (x) = 3 x в интервале 1 ≤ x ≤ 1000 с шагом 1?1.33.цииКакова наибольшая погрешность линейной интерполяции для функ2f (x) =π∫x0в интервале 0 ≤ x ≤ 3 с шагом 0.001?e−z dz211Полином Лагранжа.
Погрешность интерполяции1.34. Дана таблица синусов с шагом 1◦ . Какова наибольшая погрешностьлинейной интерполяции?1.35. Пусть требуется составить таблицу функции f (x) = sin x. Какойдолжен быть шаг таблицы h, чтобы погрешность интерполяции была меньше 5 · 10−4 при(а) линейной интерполяции;(б) квадратичной интерполяции?1.36. Функция ln x интерполируется полиномом по точкам x = 0.4; 0.5;0.7; 0.8. Оценить ошибку интерполяции в точке x = 0.6.1.37.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
