1611688888-de7ed84b548edc7ea883f74f256231f1 (826650), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Корень будет отыскиваться методом простой итерации вида xn+1 = φ(xn ), гдеφ(x) = x − τ f (x), τ ̸= 0. Скорость сходимости (знаменатель) этого так называемого метода релаксации зависит от τ . Найти оптимальный параметрτ , т. е. такой, что величинаq = max |φ′ (x)|x∈[a,b]принимает наименьшее значение. Обеспечить выполнение условия q < 0.2(для чего может потребоваться более точная локализация корня).(а) f (x) = x2 − 17;√(б) f (x) = x − x + 3;(в) f (x) = sin x − 2 ln x;(г) f (x) =5− ln x.2x845.14.Глава 5.
Решение нелинейных уравненийПустьxn+1 = φ(xn ) + ξn ,x0 = 100,lim ξn = 0n→∞где|φ′ (x)| ≤ q < 1,−∞ < x < ∞.Доказать, что lim xn = x∗ , где x∗ = φ(x∗ ).n→∞5.15. Пусть t1 , t2 — действительные корни уравнения x2 + bx + c = 0,причем |t1 | < |t2 |. Образуем две последовательности:xn+1 = φ(xn ),φ(x) = −c,b+xbx0 = − ;2yn+1 = ψ(yn ),cψ(y) = − b − ,yby0 = − .2(а) Доказать, что b + xn ̸= 0, yn ̸= 0, n = 0, 1, 2, . . .
.(б) Доказать, чтоlim xn = t1 ,n→∞5.16.lim yn = t2 .n→∞(а) Показать, чтоxn+1 =xn (x2n + 3a)3x2n + aпредставляет собой метод для вычисленияпорядок сходимости.√a, a > 0, имеющий третий(б) Показать, чтоm[∑2 ]xn+1 =2i i m−2ia xnCmi=0[ m−12 ]∑,m≥22i+1 i m−2i−1Cma xni=0представляет собой метод для вычислениясходимости m.√a, a > 0, имеющий порядок855.17.тона(а) Положим f (x) = x2 − a.
Показать, что итерации метода Нью-f (xn )x2 − a= xn − n, a>0′f (xn )2xn√для вычисления квадратного корня a удовлетворяют соотношениюxn+1 = xn −√xn+1 − a1(√ )2 = 2xn .xn − a(б) Получить аналогичную формулу для кубического корня.5.18. (а) Пусть φ(x) ∈ C m . Доказать, что метод простой итерацииxn+1 = φ(xn ) для отыскания корня x∗ имеет порядок сходимости m, еслиφ(1) (x∗ ) = φ(2) (x∗ ) = · · · = φ(m−1) (x∗ ) = 0,φ(m) (x∗ ) ̸= 0.(б) Пусть коэффициенты полинома P (x) = xm+1 − uxm + vx − w таковы,что выполняются условияP (1) = P ′ (1) = P ′′ (1) = 0.Доказать, что итерационный метод для вычисленияxn+1 = φ(xn ),φ(x) =√a, a > 0mxm+1 + vaxuxm + waимеет третий порядок сходимости.5.19.
При каком начальном приближении, с каким порядком и к какомукорню уравнения x = φ(x) сходится метод простой итерации:(а) xn+1 = φ(xn ),φ(x) =1 − (1 − ax)m,a(б) xn+1 = φ(xn ),φ(x) =1 − (1 − ax)(1 − aAx),aa > 0,m = 2, 3, . . . ;a, A > 0.86Глава 5. Решение нелинейных уравнений5.20. Пусть x∗ — простой корень уравнения x = φ(x). Для нахожденияx∗ используется итерационный метод, в котором очередное приближениеxn+1 определяется равенствомxn+1 = φ(xn ) + φ∠ (xn , φ(xn ))(xn+1 − xn ).(а) Доказать соотношение для погрешности методаxn+1 − x∗ =φ∠ (xn , φ(xn ), x∗ )(xn − x∗ )(φ(xn ) − x∗ ).φ∠ (xn , φ(xn )) − 1(б) Доказать, что при φ′ (x∗ ) ̸= 1 метод имеет по крайней мере второйпорядок сходимости.5.21.
Записать итерационный метод Ньютона для вычисленияa > 0, где m ̸= 0 — вещественное число.√a,m5.22. (а) Показать, что метод Ньютона для нахождения простого корняx∗ уравнения f (x) = 0, f (x) ∈ C 2 имеет второй порядок сходимости, дажеесли первая производная оценена с первым порядком, т. е. для методаxn+1 = xn −гдеf (xn ),fe′ (xn )′′fe (xn ) = f (xn ) + O(δn ),δn = |xn − x∗ |,имеет место оценка δn+1 = O(δ 2n ).(б) Для решения уравнения f (x) = 0 применяется итерационный методxn+1 = xn −f 2 (xn ).f (xn + f (xn )) − f (xn )Объяснить его связь с методом Ньютона и показать, что в случае простогокорня скорость сходимости квадратичная.875.23.
На отрезке [a, b] имеется простой корень x∗ уравнения f (x) = 0, который отыскивается методом Ньютона, начиная с x0 = b. Известно, чтоf (a) < 0,0 < m1 ≤ f ′ (x),f (b) > 0,0 < f ′′ (x) ≤ M2 ,если x ∈ [a, b].Доказать, что достигнутую точность можно оценить следующим образом|xn+1 − x∗ | ≤5.24.Для вычисленияM2|xn+1 − xn |2 .2m1√a, a > 0, используется метод Ньютона()1axn+1 =xn +.2xnПусть dn = xn+1 − xn .(а) Показать, что2xn dn = a − x2n = −d2n−1 .(б) С помощью пункта (а) показать, чтоd2.|dn | = √ n−12 d2n−1 + a√5.25. Квадратный корень a, a > 0, находится итерационным методомНьютона как решение уравнения f (x) = 0, где(а) f (x) = x2 − a;a(б) f (x) = 2 − 1.xДля каждого варианта указать область сходимости (все начальные приближения, при которых метод сходится).5.26.Рассмотрим два эквивалентных уравненияx ln x − 1 = 0,ln x −1= 0.x88Глава 5.
Решение нелинейных уравнений(а) Показать, что уравнение имеет единственный положительный кореньи локализовать его.(б) Для каждого уравнения найти интервал, выбор начального приближения из которого гарантирует сходимость метода Ньютона.(в) Для какого уравнения скорость сходимости метода Ньютона асимптотически выше?5.27. Выяснить, есть ли у уравнения ex = 3+ln x действительные корни.Если есть, то для каждого корня указать начальное приближение, прикотором метод Ньютона сойдется к корню.5.28. Определить порядок сходимости метода Ньютона к корню уравнения x4 − 4x3 + 6x2 − 5x + 2 = 0, если в качестве начального приближениявзято(а) x0 = 1.5,(б) x0 = 1.7.5.29.тонаОпределить порядок сходимости модифицированного метода Ньюxn+1 = xn −f (xn ).f ′ (x0 )5.30. Пусть f (x) — достаточно гладкая функция, определенная наU = [x∗ − ε, x∗ + ε], ε > 0, и пусть f (x∗ ) = f ′ (x∗ ) = 0, 0 < m2 <|f ′′ (x)| < M2 < 2m2 д̇ля всех x ∈ U .(а) Показать, что метод Ньютонаxn+1 = xn −f (xn )f ′ (xn )сходится линейно к x∗ (корню кратности 2), начиная с любого x0 ∈ U .(б) Показать, что метод Ньютона с параметромxn+1 = xn − 2f (xn )f ′ (xn )89сходится к x∗ по крайней мере квадратично.5.31.
Пусть f (x) = g(x)(x − x∗ )ω , ω > 1,итерационный метод xn+1 = φ(xn ), гдеφ(x) = x −g(x∗ ) ̸= 0.f (x)f ′ (x) − f (x)f ′′ (x)f ′ (x)Показать, что,(локально) сходится со вторым порядком к корню x∗ кратности ω уравнения f (x) = 0.5.32. (а) Показать, что уравнение ex − x − 2 = 0 имеет один отрицательный (t1 ) и один положительный (t2 ) корень.(б) Итерационный метод для решения уравнения g(x) = h(x) получим следующим образом.
При известном приближении xn функции в левой и правой части уравнения заменим линейными функциями, общее значение которых даст очередное приближение xn+1 :g(xn ) + g ′ (xn )(xn+1 − xn ) = h(xn ) + h′ (xn )(xn+1 − xn ).Объяснить связь этого метода с методом Ньютона.(в) Показать, что метод Ньютона для решения уравнения ex −x−2 = 0 приположительном начальном приближении x0 сходится к положительномукорню, а при отрицательном начальном приближении — к отрицательному.Верно ли, что величина |xn − t2 | монотонно убывает при x0 > 0?5.33.ненияПоказать, что на интервале [0, π] существует ровно два корня уравx sin x − 1 = 0.Для каждого корня указать начальное приближение, обеспечивающее сходимость метода Ньютона к этому корню.5.34.(а) Доказать, что полином P (x) степени n ≥ 1 видаP (x) = xn+1 − bn x + abn ,a > 0,b>090Глава 5. Решение нелинейных уравненийимеет два различных положительных корня тогда и только тогда, когдаa<n1(n + 1)1+ nb.(б) Пусть P (x) имеет два положительных корня (условие из (а) выполнено).
Показать, что метод Ньютона сходится к меньшему положительномукорню, если начальное приближение x0 = a, и к большему, если x0 = b.(в) Указать отрезок, на котором находится меньший (больший) положительный корень, причем на этом отрезке P ′ (x) ̸= 0.(г) Пусть n — четное. Указать все возможные начальные приближенияx0 , при которых метод Ньютона сходится к меньшему корню; к большемукорню; не сходится.5.35.
При каком выборе начального приближения x0 сходится метод Ньютона для решения уравнения f (x) = 0, где f (x) = ex −1−x ?Определить порядок сходимости.5.36. Простой корень x∗ уравнения f (x) = 0, f (x) ∈ C 3 отыскивается итерационным методом.(а) Доказать, что метод имеет четвертый порядок сходимости, еслиxn+1 = φ1 (xn ),φ1 (x) = h(x) −f (h(x)),f ′ (h(x))h(x) = x −f (x).f ′ (x)(б) Доказать, что метод имеет третий порядок сходимости, еслиxn+1 = φ2 (xn ),φ2 (x) = h(x) −f (h(x)),f ′ (x)h(x) = x −f (x).f ′ (x)√5.37. Уравнение x3 −5x = 0, имеющее корни t0 = 0, t± = ± 5, решаетсяметодом Ньютона.(а) Указать все возможные начальные приближения x0 , при которых итерации сходятся к корню t0 .(б) Показать, что при δ > 0 начальное приближение x0 можно выбрать91из интервала [1 − δ, 1 + δ] так, что реализуется любой из пяти возможныхсценариев: итерации сходятся к любому из трех корней уравнения, зацикливаются, прекращаются из-за f ′ (xN ) = 0 при некотором N .5.38.
Записатьитерационный метод секущих для вычисления квадратно√го корня a, a > 0, положив f (x) = x2 − a.5.39. Показать, что погрешность очередного приближения в методе секущих для поиска корня x∗ уравнения f (x) = 0 может быть выражена спомощью разделенных разностей следующим образомxn+1 − x∗ =f ∠ (xn−1 , xn , x∗ )(xn−1 − x∗ )(xn − x∗ ).f ∠ (xn−1 , xn )5.40. (а) Пусть x∗ — корень уравнения f (x) = 0, к которому сходитсяпоследовательность, задаваемая методом секущихxn+1 = xn − f (xn )xn − xn−1,f (xn ) − f (xn−1 )причем f ′ (x∗ ) ̸= 0.
Показать, чтоδn+1= 1 + ξn ,δn δn−1 ′′ f (x∗ ) , lim ξn = 0.где δn = K |xn − x∗ |, K = ′2f (x∗ ) n→∞τn(б) Пусть числа τn определены равенствами δn = δn−1, так что соотношениеиз пункта (а) переписывается какτn+1 −1− τ1nδnПоказать, что lim τn = p,n→∞5.41.= 1 + ξn .√1+ 51где p =, p − 1 − = 0.2pОпределить порядок сходимости методаf (xn )f ′′ (xn ) (f (xn ))−.3f ′ (xn )2 (f ′ (xn ))2xn+1 = xn −92Глава 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
