1611688888-de7ed84b548edc7ea883f74f256231f1 (826650), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть f (x) — достаточно гладкая функция, для которой строится квадратурная формула на равномерно расположенных узлахxk = k · h, k = 0, . . . , n. Обозначим fk = f (xk ).(а) Доказать равенство∫xn2f (x) dx =x0∫x1=∫xnf (x) dx +x0f (x) dx +n−1∑k=1xn−1h(fk−1 + 4fk + fk+1 ) + O(h4 ).3∫h(б) Для вычисления интегралаf (x) dx построить квадратурную фор0мулу вида A1 f (0) + A2 f (h) + A3 f (2h), которая является точной для всехмногочленов степени не больше 2.(в) Доказать равенства(∫xnf (x) dx = h11f0 + f1 + · · · + fn−1 + fn22)+ O(h2 ) =x0(=h(=h513135f0 + f1 + f2 + · · · + fn−2 + fn−1 + fn12121212)+ O(h3 ) =)37232373f0 + f1 + f2 + f3 + · · · + fn−3 + fn−2 + fn−1 + fn +86242468+ O(h4 ).71Квадратурные формулы ГауссаКвадратурные формулы Гаусса4.31.Пусть квадратурная формулаAk f (xk ) для вычисления интег-k=0∫1ралаn∑f (x) dx является точной для всех многочленов степени не больше−12n, т.
е. выполняются равенстваn∑∫1Ak xsk= Is ,s = 0, . . . , 2n,xs dx.где Is =k=0−1(а) Показать, что существуют коэффициенты β0 , . . . , βn , при которых верны равенстваIn+1 =n∑βs Is ,s=0xn+1=kn∑βs xsk ,k = 0, . . . , n.s=0(б) Показать, что коэффициенты βk удовлетворяют системе уравненийIn+j =n∑βk Ik+j−1 ,j = 1, . . .
, n.k=0(в) Показать, что система уравнений для коэффициентов βk из пункта (б)может быть записана в виде∫1xj−1 Pn+1 (x) dx = 0,j = 1, . . . , n,−1где Pn+1 (x) = xn+1 −n∑βk xk . Показать, что узлы x0 , . . . , xn являютсяk=0корнями полинома Pn+1 (x).(г) Пусть x0 = −1. Показать, что узлы x1 , . . . , xn являются корнями полинома Pn (x) степени n, который ортогонален на отрезке [−1, 1] с весом72Глава 4. Численное интегрированиеρ(x) = x + 1 всем полиномам меньшей степени, т. е.∫1(x + 1) xj−1 Pn (x) dx = 0,j = 1, .
. . , n.−1(д) Построить систему полиномов степени 0, 1, 2 со старшим коэффициентом 1, которые попарно ортогональны с весом ρ(x) = x + 1 на отрезке[−1, 1].∫1(е) Для вычисления интегралаf (x) dx построить квадратурную форму−1лу вида A0 f (−1)+A1 f (x1 ), которая является точной для всех многочленовстепени не больше 2.∫1(ж) Для вычисления интегралаf (x) dx построить квадратурную фор−1мулу вида A0 f (−1) + A1 f (x1 ) + A2 f (x2 ), которая является точной для всехмногочленов степени не больше 4.4.32. Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя, тремя и четырьмя узлами для вычисления интеграла∫1f (x) dx.−14.33.
Построить квадратурную формулу Гаусса с одним и двумя узламидля вычисления интеграла вида∫∞0e−x f (x) dx.73Квадратурные формулы Гаусса4.34. Построить квадратурную формулу Гаусса с одним узлом для вычисления интеграла вида∫∞2e−x f (x) dx.04.35. Построить квадратурные формулы Гаусса с одним узлом для вычисления интеграла∫1ρ(x)f (x) dx0для следующих весовых функций ρ(x):(а) ρ(x) = ex ;(б) ρ(x) = e−x ;(в) ρ(x) = ln (1 + x);(г) ρ(x) = sin πx.4.36. Построить квадратурные формулы Гаусса с одним и двумя узламидля вычисления интеграла∫1ρ(x)f (x) dx0для следующих весовых функций ρ(x):(а) ρ(x) = x;(б) ρ(x) = 1 − x;(в) ρ(x) = x2 ;(г) ρ(x) = x6 ;2(д) ρ(x) = (2x − 1) .74Глава 4. Численное интегрирование4.37.
Построить квадратурные формулы Гаусса с одним и двумя узламидля вычисления интеграла∫1ρ(x)f (x) dx−1для следующих весовых функций ρ(x):(а) ρ(x) = x2 ;(б) ρ(x) = x4 ;(в) ρ(x) = |x|;(г) ρ(x) = cos4.38.вида( πx )2.Построить квадратурную формулу с одним фиксированным узломA1 f (0) + A2 f (x2 ),точную для многочленов максимально высокой степени, для вычисленияследующих интегралов. Для нахождения узла x2 предварительно найтисоответствующий ортогональный полином первой степени.∫1(а)xf (x) dx;0∫1x2 f (x) dx;(б)0∫0x2 f (x) dx;(в)−2∫π/2(г)cos xf (x) dx;075Квадратурные формулы Гаусса∫2(д)(x + 1) f (x) dx;0∫2(е)(x + 2)f (x) dx.04.39.Построить квадратурную формулу вида∫bf (x) dx ≈ A1 f (x1 ) + A2 f (b),aточную для многочленов максимально высокой степени.4.40.
Пусть x1 , . . . , xn — различные корни полинома Pn (x) степени n, который ортогонален с весом ρ(x) на отрезке [−1, 1] всем полиномам степениn∑меньше n. Доказать, что веса Ak квадратурной формулы ГауссаAk f (xk )k=1∫1для вычисления интегралаρ(x)f (x) dx могут быть найдены как−1∫1ρ(x) lk2 (x) dx,Ak =где lk (x) =n∏i=1, i̸=k−1x − xi.xk − xi(Из этой формулы следует положительность Ak .)4.41. (а) Построить систему полиномов степени 0, 1, 2 со старшим коэффициентом 1, которые попарно ортогональны с весом ρ(x) = 1 − x2 наотрезке [−1, 1].(б) Построить квадратурную формулу видаA0 f (−1) + A1 f (x1 ) + A2 f (1)76Глава 4.
Численное интегрирование∫1для вычисления интегралаf (x) dx, которая является точной для всех−1многочленов степени не больше 3.(в) Построить квадратурную формулу видаA0 f (−1) + A1 f (x1 ) + A2 f (x2 ) + A3 f (1)∫1для вычисления интегралаf (x) dx, которая является точной для всех−1многочленов степени не больше 5.4.42. (а) Построить систему полиномов степени 0, 1, 2, 3 со старшим2коэффициентом 1, которые попарно ортогональны с весом ρ(x) = e−x наинтервале (−∞, ∞).(б) Построить квадратурную формулу видаA1 f (x1 ) + A2 f (x2 )∫∞для вычисления интегралаe−x f (x) dx, которая является точной для2−∞всех многочленов степени не больше 3.(в) Построить квадратурную формулу видаA1 f (x1 ) + A2 f (x2 ) + A3 f (x3 )∫∞для вычисления интегралаe−x f (x) dx, которая является точной для2−∞всех многочленов степени не больше 5.77Квадратурные формулы Гаусса4.43.Пусть последовательность полиномов задана следующим образом:P0 (x) = 1,P1 (x) = x,Pk (x) =2k − 1k−1xPk−1 (x) −Pk−2 (x),kkk = 2, 3, .
. . .(а) Показать, что для произвольного x∗ верно равенство∫1Ik = k−1Pk (x)Pk−1 (x∗ ) − Pk (x∗ )Pk−1 (x)dx = 2.x − x∗(б) Пусть xk — корень полинома Pn (x). Показать, чтоPn′ (xk ) =nPn−1 (xk ).1 − x2k(в) Пусть x1 , . . . , xn — корни полинома Pn (x). Показать, что коэффициентыквадратурной формулы∫1f (x) dx ≈−1n∑Ak f (xk ),k=1которая точна для любого многочлена степени меньше 2n, могут быть найдены как2(1 − x2 )Ak = 2 2 k .n Pn−1 (xk )(Из этой формулы следует положительность Ak .)4.44.(а) Показать, что квадратурная формула∫1−1f (x)π√dx ≈31 − x2( ( √ )( √ ))− 33f+ f (0) + f2278Глава 4.
Численное интегрированиеточна для всех многочленов степени не больше 5.(б) Показать, что для всех многочленов Q(x) степени не более 2n − 1 верноравенство∫1−1n−1Q(x)π∑√dx =Q(xk ),n1 − x2k=0xk = cos2k + 1π.2n4.45. (а) Построить систему полиномов степени 0, 1, 2 со старшим√ коэффициентом 1, которые попарно ортогональны с весом ρ(x) = 1 − x2на отрезке [−1, 1].(б) Построить квадратурную формулу видаA0 f (−1) + A1 f (x1 ) + A2 f (x2 ) + A3 f (1)∫1для вычисления интеграла−1f (x)√dx, которая является точной для1 − x2всех многочленов степени не больше 5.Глава 5.РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ5.1. Пусть |f (x∗ )| < εm1 , где функция f (x) непрерывно дифференцируема на U = [x∗ − ε, x∗ + ε], ε > 0, m1 = min |f ′ (x)|.
Доказать, что уравнениеx∈Uf (x) = 0 имеет ровно один корень на U .5.2.Локализовать корни уравнения x2 = 17 с точностью 0.2.5.3. Пусть корень уравнения f (x) = 0 локализован, т. е. найден отрезок[a, b] такой, чтоf (a) < 0, f (b) > 0,причемf ′ (a) = 0,f ′′ (x) > 0,если x ∈ [a, b].Указать отрезок, содержащий корень, на котором f ′ (x) ̸= 0.5.4.Отделить корни следующих уравнений.(а) 4 sin x + 1 − x = 0;(б) 1 − x + e−2x = 0;(в) (x + 1)ex−1 − 1 = 0;(г)x4 − 4x3 + 2x2 − 8 = 0;(д) ex + x2 + x = 0;(е)ex − x2 − 2x − 2 = 0;(ж) ex (x − 1) − e−x (x + 1) = 0;(з)x4 − 4x − 1 = 0;80Глава 5. Решение нелинейных уравнений(и) e−x + 4(x2 − 1) = 0.5.5.
Не прибегая к перебору, выяснить, имеет ли уравнение f (x) = 0 действительные корни и сколько их. Для каждого корня указать отрезок [a, b],на котором находится корень, причем f (a) и f (b) конечны и имеют разныезнаки. Кроме того, обеспечить выполнение условия f ′ (x) ̸= 0 при x ∈ [a, b].(а) f (x) =xk − 1− A,x−1A > 0,0 < k < 1;(б) f (x) =xk − 1− A,x−1A > 0,1 < k < ∞;(в) f (x) =ex − 1− A,xA > 1;(г)ex − 1− A,xA < 1;f (x) =(д) f (x) =ln x − 1− A,xA > 0;(е)ln x − 1− A,xA < 0;f (x) =(ж) f (x) = xe−x − A;(з)f (x) = Ax + B − sin x,A, B > 0,(и) f (x) = −A(x − π) + B − sin2 x,0 < x < π;A, B > 0,x2− A,cos xA > 0,0<x<π;2(л) f (x) = x tg x − A,A > 0,0<x<π.2(к) f (x) =0 < x < π;5.6.
Пусть отображение φ(x) имеет на U = [c − ε, c + ε], ε > 0, неподвижную точку x∗ и пусть для всех x1 , x2 ∈ U выполняется неравенство|φ(x1 ) − φ(x2 )| ≤ q|x1 − x2 |,q < 1.81Рассмотрим два итерационных процесса (которые отличаются начальнымприближением):xn+1 = φ(xn ), x0 = c − ε,xn+1 = φ(xn ), x0 = c + ε.Какое из следующих утверждений является верным?(а) Оба итерационных процесса сходятся к x∗ .(б) Хотя бы один итерационный процесс сходится к x∗ .(в) Хотя бы один итерационный процесс расходится.(г) Если x1 ∈ U , то итерационный процесс сходится.(д) Если итерационный процесс сходится, то сходится к x∗ .(е) Если x∗ = c, то оба итерационных процесса сходятся к x∗ .5.7.
Пусть отображение φ(x) является сжимающим на U = [c − ε, c + ε],ε > 0, с константой q < 1, т. е. для всех x1 , x2 ∈ U выполняется неравенство|φ(x1 ) − φ(x2 )| ≤ q|x1 − x2 |.Найти наибольшее Q, для которого из выполнения неравенства|φ(c) − c| ≤ Q · ε следует выполнение неравенства |φ(x) − c| ≤ ε длялюбого x ∈ U .1 2(x + c),22c ∈ (0, 1), применяется для решения уравнения x − 2x + c = 0.
Указать всезначения начального приближения x0 ≥ 0, при которых итерации сходятсяк меньшему (большему) корню, расходятся.5.8.Метод простой итерации xn+1 = φ (xn ), где φ (x) =5.9.Пусть x∗ — корень уравнения x =√1 + x.(а) Доказать, что итерационный процессxn+1 =сходится к x∗ .√1 + xn ,x0 = 100082Глава 5. Решение нелинейных уравнений(б) Оценить количество итераций, гарантирующее достижение точности|xn − x∗ | < 10−3 .(в) Показать, что достигнутую точность можно оценить с помощью неравенства|xn − x∗ | < |xn − xn−1 |.5.10.Пусть x∗ — корень уравнения 4x = 1 + ln(1 + x2 ).(а) Доказать, что итерационный процессxn+1 =1 + ln(1 + x2n ), x0 = 10004сходится к x∗ .(б) Оценить количество итераций, гарантирующее достижение точности|xn − x∗ | < 10−9 .(в) Показать, что достигнутую точность можно оценить с помощью неравенства1|xn − x∗ | < |xn − xn−1 |.3(г) Исследовать сходимость к x∗ следующего итерационного процессаxn+1 =2 − xn + ln(1 + 2x2n + x4n ),7x0 = 1000.5.11.
Показать, что уравнение x3 + 2x2 + 3x − 1 = 0 имеет единственныйдействительный корень и локализовать его. Выяснить, можно ли найтиэтот корень методом простой итерации xn+1 = φ(xn ), если в качестве φ(x)взять√(а) 3 x2 + 2 − 1;(б)1;x2 + 2x + 383(в)2 + 7x − 4x2 − 2x3;13(г)x+1.x2 + 2x + 4Какой из вариантов предпочтительнее по скорости сходимости?5.12. Локализовать корни уравнения f (x) = 0. Для каждого корня указать начальное приближение x0 и эквивалентное уравнение вида x = φ(x)такие, что итерационный процесс xn+1 = φ(xn ) сойдется к данному корню.(а) f (x) = x3 − x − 1;(б) f (x) = ex − 4x2 ;(в) f (x) = x2 − 2x − ln(2x);(г) f (x) = (ln x)2 − x − 1.5.13. Найти отрезок [a, b], содержащий корень уравнения f (x) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
