1611688888-de7ed84b548edc7ea883f74f256231f1 (826650), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . , c∗m единственным образом находятся из системы уравненийm∑⟨φs , φk ⟩ c∗s = ⟨f, φk ⟩ , k = 1, 2, . . . , m.s=1(д) Показать, что существует коэффициент ts , s = 1, 2, . . . , m (и найти ts )такой, что имеет место равенство2⟨f − g − ts φs , f − g − ts φs ⟩ = ⟨f − g, f − g⟩ −где g =m∑⟨f − g, φs ⟩,⟨φs , φs ⟩ck φk .k=1(е) Показать, что если коэффициенты c1 , c2 , . . . , cm таковы, что величина⟨⟩mm∑∑f−ck φk , f −ck φkk=1k=1m∑принимает наименьшее возможное значение, то элементы f −ck φk иk=1⟨⟩m∑φs , s = 1, 2, . . . m ортогональны, т.
е. f −ck φk , φs = 0.k=12.2.Пусть последовательность полиномов задана следующим образом:P0 (x) = 1,P1 (x) = x,Pk (x) =2k − 1k−1xPk−1 (x) −Pk−2 (x),kk(а) Доказать, чтоPk (1) = 1,Pk (−1) = (−1)k .k = 2, 3, . . . .37(б) Доказать, что при четном k функция Pk (x) является четной, а принечетном k — нечетной.(в) Доказать, что∫1xPk2 (x) dx = 0.−1(г) Доказать, что0,∫1Pk (x)Ps (x) dx =−1если k ̸= s,2, если k = s.2k + 1(д) Пусть F (x) = (x2 − 1)Pn′ (x) − nxPn (x) + nPn−1 (x).Доказать, что∫1F (x)Pk (x) dx = 0,k = 0, 1, .
. . .−1(е) Пусть Qn (x) — полином степени n, заданный в виде Qn (x) =n∑ck Pk (x),k=0причем коэффициенты c0 , c1 , . . . , cn таковы, что для заданной функцииf (x) величина ⟨f (x) − Qn (x), f (x) − Qn (x)⟩ принимает наименьшее возможное значение. Здесь обозначено∫1⟨f (x), g(x)⟩ =f (x)g(x) dx.−1Показать, что среди полиномов Qn+1 (x) степени n+1 наименьшее возможное значение для ⟨f (x) − Qn+1 (x), f (x) − Qn+1 (x)⟩ получается, еслиQn+1 (x) = Qn (x) + cn+1 Pn+1 (x),гдеcn+1 =⟨f (x) − Qn (x), Pn+1 (x)⟩.⟨Pn+1 (x), Pn+1 (x)⟩38Глава 2. Среднеквадратичное приближение функций(ж) Пусть Qn (x) — произвольный (но отличный от Pn (x)) полином степениn, у которого коэффициент при xn совпадает с соответствующим коэффициентом полинома Pn (x). Доказать, что∫1∫1Q2n (x) dxPn2 (x) dx.>−1−1(з) Пусть f (x) — заданная непрерывная функция (не полином), а полиномQn (x) степени n такой, что интеграл∫1(f (x) − Qn (x))2 dx−1принимает наименьшее возможное значение.Доказать, что функция f (x) − Qn (x) меняет знак на отрезке [−1, 1] покрайней мере n + 1 раз.(и) Показать, что при заданных коэффициентах ck значение полиномаn∑Qn (x) =ck Pk (x) может быть найдено следующим образомk=0tn = cn ,tn−1 = cn−1 +tk = ck +2n − 1xcn ,n2k + 1k+1xtk+1 −tk+2 ,k+1k+2k = n − 2, n − 3, .
. . , 1, 0,Qn (x) = t0 .2.3. Пусть линейная функция f (x) = ax + b имеет наименьшее (средивсех линейных функций) квадратичное отклонение от данных (xk , yk ), k =1, . . . , n, т. е. суммаn∑F (a, b) =(yk − f (xk ))2k=1принимает наименьшее возможное значение. Показать, что f (x∗ ) = y ∗ , гдеx∗ и y ∗ являются средними арифметическими множеств чисел {xk } и {yk }39соответственно.2.4. Пусть линейная функция f (x) = ax + b имеет наименьшее (средивсех линейных функций) квадратичное отклонение от данных (k, yk ), k =1, . .
. , n. Показать, что( n)n∑∑6a=2kyk − (n + 1)yk ,n(n2 − 1)k=1k=1)(nn∑∑2kyk .(2n + 1)yk − 3b=n(n − 1)k=1k=12.5. Среди всех полиномов вида Q(x) = a найти полином с наименьшимквадратичным отклонением от следующих данныхxy-1542433512.2.6. Среди всех полиномов вида Q(x) = a+bx найти полином с наименьшим квадратичным отклонением от следующих данныхxy051−62.72.7.
Среди всех полиномов вида Q(x) = a+bx найти полином с наименьшим квадратичным отклонением от следующих данныхxy1021314.22.8. Среди всех полиномов вида Q(x) = a + bx2 найти полином с наименьшим квадратичным отклонением от следующих данныхxy-13.100.91.2.940Глава 2. Среднеквадратичное приближение функций2.9. Среди всех полиномов вида Q(x) = a + bx + cx2 найти полином снаименьшим квадратичным отклонением от следующих данных-22xy-1101112.22.10. Среди всех функций вида Q(x) = a sin πx+b cos πx найти функциюс наименьшим квадратичным отклонением от следующих данных2.11.x−1y−1Пустьf (x) ={−1,1,120−011221.1если − 1 ≤ x < 0;если0 ≤ x ≤ 1.Среди всех полиномов (а) нулевой, (б) первой, (в) второй степени найтиполином Q(x), для которого величина∫1(f (x) − Q(x))2 dx−1принимает наименьшее значение.2.12.
Среди всех полиномов второй степени найти полином Q(x), для которого величина∫1(ex − Q(x))2 dx−1принимает наименьшее значение.(а) Полином искать в виде Q(x) = a0 + a1 x + a2 x2 .(б) Полином искать в видеQ(x) = c0 P0 (x) + c1 P1 (x) + c2 P2 (x),где P0 (x) = 1,P1 (x) = x,P2 (x) =3x2 − 1.2412.13. Пусть f (x) = π 2 −x2 . Среди всех функций вида Q(x) = c0 +c1 cos x+c2 cos 2x найти функцию, для которой величина∫π(f (x) − Q(x))2 dx−πпринимает наименьшее значение.2.14. Построить полиномы степени 0, 1 и 2 со старшим коэффициентом1, которые ортогональны на интервале (0, 1) с весом ρ(x) = − ln(x).2.15.
Пусть P0 (x), P1 (x), . . . , Pk (x), . . . — последовательность ортогональных полиномов, Pk (x) имеет степень k. Пусть x0 , x1 , . . . , xn — различныекорни полинома Pn+1 (x). Доказать, что элементарные полиномы Лагранжаn∏x − xkli (x) =.xi − xkk=0, k̸=iпопарно ортогональны.2.16.Пусть(а) f (x) = 1,(б) f (x) = x,3(9 + x).7√Среди функций вида Q(x) = c1 x + c2 x2 найти функцию, для которойвеличина∫1(f (x) − Q(x))2 dx(в) f (x) =0принимает наименьшее значение.42Глава 2. Среднеквадратичное приближение функций2.17.
Среди функций вида f (x) = 1 − c0 x найти функцию, для которойнаименьшее возможное значение величины∫1(f (x) − Q(x))2 dx0на функциях вида Q(x) = c1√x + c2 x2 принимает наименьшее значение.2.18. Пусть f (x) = x2 . Среди полиномов вида Q(x) = c0 + c1 x найти полином, для которого величина∫1(а) (f (x) − Q(x))2 dx,0(б)3∑(f (xi ) − Q(xi ))2 ,x1 = 0,x2 =i=11,2x3 = 1принимает наименьшее значение.√2.19. Пусть f (x) = x. Среди полиномов вида Q(x) = c0 + c1 x найтиполином, для которого величина∫1(а) (f (x) − Q(x))2 dx,03∑(б)(f (xi ) − Q(xi ))2 ,x1 = 0,x2 =i=11,2x3 = 1принимает наименьшее значение.2.20. Доказать ортогональность тригонометрических функций на равномерной сетке, а именноm∑i=0m∑i=0m∑i=0sin(kxi ) sin(sxi ) = 0,0 ≤ k < s ≤ m,cos(kxi ) cos(sxi ) = 0,0 ≤ k < s ≤ m,sin(kxi ) cos(sxi ) = 0,0 ≤ k, s ≤ m,43где xi =2πi.m+12.21. Пусть x1 , .
. . , xn — набор различных узлов, w1 , . . . , wn — набор положительных чисел (весов). Построить последовательность полиномовP0 (x), . . . , Pn (x), для которых выполнено условиеn∑wi Pk (xi )Ps (xi ) = 0,k ̸= s.i=1Полиномы искать в видеP0 (x) = 1,P1 (x) = x − α1 ,Pn+1 (x) = (x − αn+1 )Pn (x) − βn+1 Pn−1 (x).Указать αk , βk .2.22. Построить систему полиномов степени 0, 1, 2, 3 со старшим коэффициентом 1, которые попарно ортогональны с весом ρ(x) = 1 на множестве узлов −2, −1, 0, 1, 2.2.23. Построить систему полиномов степени 0, 1, 2, 3 со старшим коэффициентом 1, которые попарно ортогональны с весом ρ(x) = 1 + |x| намножестве узлов −2, −1, 0, 1, 2.2.24.
(а) Коэффициенты c0 , c1 , c2 таковы, что среди всех полиномов второй степени для полинома Q2 (x) = c0 + c1 x + c2 x2 величина∫1(x3 − Q2 (x))2 dxF =−1принимает наименьшее значение. Найти это наименьшее значение.44Глава 2. Среднеквадратичное приближение функций(б) Пусть Q(x)n−1 — произвольный полином степени n − 1. Доказать, что(∫1(x − Qn−1 (x)) dx ≥n2−1n!(2n − 1)!!)2·2.2n + 1(в) Пусть Dn+1 — определитель матрицы (n+1)×(n+1), элементы которойравны∫1aij = xi+j dx, i, j = 0, 1, . . . , n.−1Доказать, чтоDn+1=Dn(n!(2n − 1)!!)2·2.2n + 1(г) Пусть Hn+1 — определитель матрицы (n+1)×(n+1), элементы которойравны∫1bij = xi+j dx, i, j = 0, 1, . .
. , n.0Доказать, чтоHn+1(n!)4=.Hn(2n)!(2n + 1)!2.25. Среди полиномов Q(x) (а) нулевой, (б) первой, (в) второй степенинайти полином, для которого величина∫2(ln x − Q(x))2 dx1принимает наименьшее значение.2.26. Пусть xi — различные ненулевые целые числа от −n до n (всего 2nштук). И пусть{xi , если xi < 0,yi =5xi , если xi > 0.45Найти полином первой степени Q(x), для которого величина2n∑(yi − Q(xi ))2i=1принимает наименьшее значение.2.27. Пусть P0 (x), P1 (x), .
. . , Pn (x) — множество полиномов (Pk (x) имеетстепень k), ортогональных на множестве узлов x1 , . . . , xn с весом wk > 0,т. е.n∑wk Pi (xk )Pj (xk ) = 0, 0 ≤ i < j ≤ n.k=1Доказать, что Pn (xk ) = 0, k = 1, . . . , n.Глава 3.ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕВ задачах численного дифференцирования производные функции f (x) приближенно находятся по значениям функции в нескольких точках (узлах).Будем использовать следующие обозначения:xi — узлы сетки,hi = xi+1 − xi — положительные шаги сетки,h = xi+1 − xi — шаг сетки постоянный,fi = f (xi ),T fi = fi+1 ,T −1 fi = fi−1 ,Efi = fi — операторы сдвига и единичный,∆fi = ∆+ fi = fi+1 − fi ,∆− fi = fi − fi−1 ,Λfi = Λ+ fi =Λ− fi =◦Λfi =fi+1 − fifi+1 − fi=— разность вперед,xi+1 − xihifi − fi−1fi − fi−1=— разность назад,xi − xi−1hi−1fi+1 − fi−1fi+1 − fi−1=— центральная разность,xi+1 − xi−1hi−1 + hifx ≈ Λfi — внимание! если не указано в явном виде, то по умолчаниюсчитаем, что производная, как fx в этом примере, вычислена (или оценивается) при x = xi .473.1.
Построить полином P1 (x) первой степени в форме Лагранжа, интерполирующий функцию f (x) по узлам xi и xi+1 :P1 (xi ) = fi , P1 (xi+1 ) = fi+1 .Первую производную полинома P1 (x) при x = xi принять за приближенноезначение первой производной функции f (x) при x = xi , получив формулувидаfx ≈ αfi + βfi+1 .Записать в ответе P1 (x) и полученную формулу.3.2. С помощью интерполяционного полинома, построенного по узламxi , xi+1 , xi+2 , получить формулу для производной fx (шаг сетки неравномерный). Во что превращается формула при hi = const = h?3.3. С помощью интерполяционного полинома, построенного по узламxi−1 , xi , xi+1 , получить формулы для производных fx и fxx (шаг сеткинеравномерный).
Во что превращаются формулы при hi = const = h?3.4. Показать, что формула для производной fx , полученная с помощьюинтерполяционного полинома, построенного по узлам xi , xi+1 , xi+2 , приравномерном шаге сетки hi = const = h может быть записана с использованием разделенных разностей в видеfx ≈ f ∠ (xi , xi+1 ) − hf ∠ (xi , xi+1 , xi+2 ).3.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
