1611688888-de7ed84b548edc7ea883f74f256231f1 (826650), страница 6
Текст из файла (страница 6)
С помощью интерполяционного полинома степени n, построенногопо узлам xi , xi+1 , . . . , xi+n , получена формула для аппроксимации производной fx , шаг сетки равномерный: hi = const = h.(а) Показать, что эта формула может быть записана с помощью разделенных разностей в видеfx ≈n∑k=1(−h)k−1 (k − 1)!f ∠ (xi , xi+1 , . .
. , xi+k ).48Глава 3. Численное дифференцирование(б) Показать, что эта формула может быть записана в видеn1 ∑ (−1)k−1 kfx ≈∆ fi .hkk=1(в) Доказать, что эта формула дает точное значение производной fx , еслиf (x) — произвольный полином степени не более n.3.6. С помощью интерполяционного полинома степени n, построенногопо узлам xi , xi+1 , . . .
, xi+100 , получена формула для аппроксимации производной fx , hi = 0.01. Показать, что коэффициент при fi+100 в этой формулеравен −1.3.7. С помощью интерполяционного полинома степени n, построенногопо узлам xi , xi+1 , . . . , xi+n , получена формула для аппроксимации производной fx , hi = const = h. Показать, что коэффициент при fi+k в этойформуле равен(−1)k−1 kCn , k = 1, 2, . . . , n.kh3.8.
С помощью интерполяционного полинома степени s+r (s, r ≥ 0), построенного по узлам xi−s , . . . , xi+r , получена формула для аппроксимациипроизводной fx , hi = const = h. Показать, что коэффициент при fi+k вэтой формуле равен(−1)k−1s! r!,kh(r − k)! (k + s)!3.9.−s ≤ k ≤ r,k ̸= 0.(а) Пусть формулаfx |x=x∗ ≈n∑αi fi ,fi = f (xi )i=0для аппроксимации первой производной функции f (x) в точке x∗ полученас помощью интерполяционного полином степени n, построенного по узламx0 , .
. . , xn (первая производная полинома в точке x∗ и принята за искомоезначение). Показать, что соответствующие коэффициенты βi аналогичной49формулыfx |x=x∗ ≈n∑βi fi ,fi = f (yi ),i=0но построенной на симметричном (по отношению к предыдущему) шаблоне, т. е. с использованием узлов yi = 2x∗ − xi , отличаются только знакомот коэффициентов αi , т. е.
βi = −αi .(б) Какова связь между αi и βi в формулах для второй производной? Какова связь между αi и βi в формулах для производной четного (нечетного)порядка?(в) Пусть сам шаблон конечно-разностной формулы для аппроксимацииk-й производнойf (k) (x)x=x∗≈n∑αi fi , fi = f (xi )i=0симметричен, т. е. xi = 2x∗ − xn−i .
Какова связь между коэффициентамиαi и αn−i в формулах для производной четного (нечетного) порядка?3.10. Пусть x0 , . . . , xn — набор различных фиксированных узлов из отрезка [a, b], и пусть полином Pn (x) степени n интерполирует достаточногладкую функцию, заданную на отрезке [a, b], т.
е.Pn (xi ) = f (xi ),i = 0, . . . , n.В этой задаче оценивается разность между k-й производной функции f (x)и интерполяционного полинома Pn (x), т. е.f (k) (z) − Pn(k) (z),k = 0, . . . , n,z ∈ [a, b].(а) Пусть полином Qn+m+1 (x) степени n + m + 1, m ≥ 0 интерполируетфункцию f (x), а именноQn+m+1 (xi ) = f (xi ),(k)Qn+m+1 (z) = f (k) (z),i = 0, . .
. , n,k = 0, . . . , m,z ∈ [a, b],z ̸= xi .Коэффициент полинома Qn+m+1 (x) при xn+m+1 (при старшей степени)50Глава 3. Численное дифференцированиеобозначим a(m, z). Доказать, что при некотором θ ∈ [a, b] выполняетсяравенствоf (n+m+1) (θ)a(m, z) =.(n + m + 1)!(б) Доказать, чтоa(m, z) =1m!(f (z)ω(z))(m)+n∑i=0(xi − z)f (xi )n∏m+1,(xi − xj )j=0, j̸=iгде ω(z) =∏nj=0 (z− xj ).(в) Доказать, что∂a(m − 1, z) = m · a(m, z).∂z(г) Доказать, чтоf (z) − Pn (z) = a(0, z) · ω(z).(д) Доказать, чтоf (k) (z) − Pn(k) (z) ==k∑j=0k!f (n+j+1) (θj ) · ω (k−j) (z),(k − j)!(n + j + 1)!где θj ∈ [a, b].3.11.(а) Исследуется конечно-разностная формулаfx ≈fi − fi−1hi−1для аппроксимации производной fx .
С помощью разложения в ряд Тейлорав окрестности узла xi выразить все значения функции, входящие в правуючасть, например,fi−1 = f −h2h3hi−1fx + i−1 fxx − i−1 fxxx + . . . .1!2!3!51Показать, что погрешность аппроксимации является величиной первогопорядка относительно шага сетки, т. е.fx −fi − fi−1= O(hi−1 ).hi−1Чему равен главный член погрешности аппроксимации?(б) Методом неопределенных коэффициентов построить конечно-разностную формулу видаfx ≈ αfi + βfi+1 + γfi+2 ,hi = const = h,имеющую максимально высокий порядок точности по h.
Систему уравнений для нахождения коэффициентов α, β, γ получить из требований, чтобыпогрешность формулыfx − (αfi + βfi+1 + γfi+2 )была величиной как можно более высокого порядка по h. Для этого выразить с помощью разложения в ряд Тейлора в окрестности узла xi все значения функции, входящие в выражение для погрешности, как в примере изпункта (а). Затем потребовать, чтобы коэффициенты перед f, fx , fxx , fxxxи т.д.
равнялись нулю. В данном случае записать три уравнения — по числу неопределенных коэффициентов. Каков порядок точности полученнойтаким образом формулы?3.12. Методом неопределенных коэффициентов (на равномерной сетке hi = const = h) построить конечно-разностные формулы наиболее высокого порядка точности по h для аппроксимации производной fx .
В каждомслучае указать порядок точности полученной формулы.(а) fx ≈ αfi−1 + βfi + γfi+1 ;(б) fx ≈ αfi−2 + βfi−1 + γfi ;(в) fx ≈ αfi−1 + βfi + γfi+2 ;(г) fx ≈ αfi + βfi+2 + γfi+3 ;(д) fx ≈ αfi + βfi+1 + γfi+2 + δfi+3 ;52Глава 3. Численное дифференцирование(е) fx ≈ αfi−2 + βfi−1 + γfi + δfi+1 .3.13. Методом неопределенных коэффициентов (на равномерной сетке hi = const = h) построить конечно-разностные формулы наиболее высокого порядка точности по h для аппроксимации производной fxx . В каждомслучае указать порядок точности полученной формулы.(а) fxx ≈ αfi−2 + βfi−1 + γfi ;(б) fxx ≈ αfi−1 + βfi + γfi+1 ;(в) fxx ≈ αfi + βfi+1 + γfi+2 ;(г) fxx ≈ αfi−2 + βfi−1 + γfi + δfi+1 ;(д) fxx ≈ αfi−1 + βfi+1 + γfi+2 + δfi+3 ;(е) fxx ≈ αfi−2 + βfi−1 + γfi+1 + δfi+2 .3.14.
Используя операторную форму записи для разности назад, впереди центральнойΛ− =1(E − T −1 ),hΛ+ =1(T − E),h◦Λ=1(T − T −1 ),2hполучить явные формулы для аппроксимации производных и указать порядок их точности по h.(а) fxx ≈ Λ− Λ+ fi ;◦(б) fxxx ≈ ΛΛ− Λ+ fi ;(в) fxxxx ≈ Λ2− Λ2+ fi .3.15. Указать порядок точности по h конечно-разностной формулы длявычисления производной в заданной точке для заданной функции.(а) fx ≈−fi−2 − 3fi + 4fi+1,6hxi = 1,f (x) = ex ;(б) fx ≈−4fi−1 + 3fi + fi+2,6hxi = 0,f (x) = sin(x);53(в) fx ≈−7fi + 8fi+1 − fi+2,6hxi =π,4f (x) = sin(x) + cos(x);(г) fx ≈fi−2 − 8fi−1 + 7fi,6hxi =π,4f (x) = sin(x) − cos(x).3.16.
В этой задаче сетка неравномерная, но все шаги имеютпорядок O(h).(а) Определить главный член погрешности формулfx ≈ Λ+ fi и fx ≈ Λ− fi .(б) Найти коэффициенты α и β, с которыми выражениеαΛ+ fi + βΛ− fiаппроксимирует fx с наивысшим порядком точности по h.(в) Найти коэффициенты α и β, с которыми выражениеαΛ+ fi + βΛ− fiаппроксимирует fxx с наивысшим порядком точности по h.3.17.(а) Доказать равенствоfx = Λfi −hfxx + O(h2 ).2(б) С каким порядком по h достаточно аппроксимировать производную fxx ,чтобы формула для fx из пункта (а) имела второй порядок точности по h?Используя для аппроксимации fxx узлы xi , xi+1 , xi+2 , получить формулудля fx .3.18.Пусть f (x) является решением уравненияdf (x) = g(x).dx54Глава 3.
Численное дифференцирование(а) Доказать, что двухточечная формулаfx ≈ Λfi −hΛgi2для аппроксимации fx имеет второй порядок точности по h.(б) Доказать, что трехточечная формула◦fx ≈ Λfi −h2Λ− Λ+ gi6для аппроксимации fx имеет четвертый порядок точности по h.3.19.(а) В равенстве(f g)x = fx g + f gxкаждую первую производную представить в видеfx = Λfi −hfxx + O(h2 ),2получив конечно-разностный аналог для дифференцирования произведенияΛ(fi gi ) = fi Λgi + gi Λfi + h(Λfi )(Λgi ) + R,где по построению R = O(h2 ). Найти R в явном виде.v(б) Положив f = , получить конечно-разностный аналог для дифференg( )viцирования частного Λ.gi3.20.
Указать порядок точности по h конечно-разностных формул для вычисления выражений (сетка равномерная: hi = const = h).(а) (f gx )x ≈ Λ− (fi Λ+ gi );()fi+1 + fi(б) (f gx )x ≈ Λ−Λ+ gi .2Глава 4.ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕКвадратурные формулыинтерполяционного типа∫b4.1. (а) Для вычисления интеграла I =f (x) dx подынтегральнуюaфункцию f (x) заменить полиномом нулевой степени P0 (x), который сов∫bпадает с f (x) в узле x1 = a. Найти S = P0 (x) dx, получив квадратурнуюaформулу (левых прямоугольников) вида S = A1 f (x1 ). Для многочленовкакой степени формула точна? С помощью оценки для погрешности интерполяции |f (x) − P0 (x)| оценить погрешность полученной квадратурнойформулы b∫|I − S| = (f (x) − P0 (x)) dx .a∫b(б) Для вычисления интеграла I =f (x) dx подынтегральную функциюaf (x) заменить полиномом нулевой степени P0 (x), который совпадает с f (x)∫bв узле x1 = b.
Найти S = P0 (x) dx, получив квадратурную формулу (праaвых прямоугольников) вида S = A1 f (x1 ). Для многочленов какой степениформула точна? Оценить погрешность |I − S|.56Глава 4. Численное интегрирование∫b(в) Для вычисления интеграла I =f (x) dx подынтегральную функциюaf (x) заменить полиномом первой степени P1 (x), который совпадает с f (x)∫bв узлах x1 = a, x2 = b. Найти S =P1 (x) dx, получив квадратурнуюaформулу (трапеций) вида S = A1 f (x1 ) + A2 f (x2 ). Для многочленов какойстепени формула точна? Оценить погрешность |I − S|.∫bf (x) dx подынтегральную функцию(г) Для вычисления интеграла I =af (x) заменить полиномом нулевой степени P0 (x), который совпадает с f (x)∫ba+bв узле x1 =. Найти S = P0 (x) dx, получив квадратурную формулу2a(средних прямоугольников) вида S = A1 f (x1 ). Для многочленов какойстепени формула точна? Оценить погрешность |I − S|.4.2.Для вычисления интеграла∫10 √1 + x2 dx9применяется(а) формула правых прямоугольников,(б) формула трапеций.Оценить погрешность вычислений.4.3.Для вычисления интеграла∫2x ln(x) dx1применяется(а) формула левых прямоугольников,57Квадратурные формулы интерполяционного типа(б) формула средних прямоугольников,(с) формула Симпсона.Оценить погрешность вычислений.4.4.
Пусть x1 , . . . , xn — заданные различные узлы, lk (x) — элементарныеполиномы Лагранжаn∏x − xilk (x) =.xk − xii=1, i̸=k(а) Пусть веса Ak квадратурной формулы видаAk f (xk ) для вычисле-k=1∫1ния интегралаn∑ρ(x)f (x) dx найдены как−1∫1Ak =ρ(x) lk (x) dx.−1Показать, что для всех многочленов степени меньше n квадратурная формула точна.n∑(б) Пусть квадратурная формула вида∫1тегралаAk f (xk ) для вычисления ин-k=1ρ(x)f (x) dx для всех многочленов степени меньше n является−1точной. Показать, что веса Ak квадратурной формула равны∫1Ak =ρ(x) lk (x) dx.−14.5. Пусть заданы узлы xk и веса Ak квадратурной формулы вида∫1n∑Ak f (xk ) для вычисления интегралаρ(x)f (x) dx, ρ(x) > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
