1611688888-de7ed84b548edc7ea883f74f256231f1 (826650), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Сколько узлов должна иметь равномерная сетка, покрывающая отрезок [−1, 1], чтобы погрешность кусочно-линейной интерполяции функ1ции Рунге f (x) =не превосходила 10−5 ?1 + 25x21.38. Какую точность можно гарантировать при линейной интерполяциифункции f (x) = xe−x на отрезке [0, 1], считая узлами интерполяции егоконцы?1.39.Построить многочлен Лагранжа для случаев:(а) xi = −1, 0, 1;yi = 3, 2, 5.(б) xi = 1, 2, 4;yi = 3, 4, 6.1.40. Построить многочлен Лагранжа Ln (x) степени n, удовлетворяющийусловиям Ln (xk ) = yk :(а) n = 3,xk = 0, 1, 2, 4,(б) n = 2,xk = 2k + 1,1.41.yk = 2, 3, 4, 6 :πyk = 8 sin (2k + 1),6k = 0, 1, 2.Функция f (x) приближается на отрезке [a, b] по равноотстоящим узb−aлам xi = a +i, i = 0, .
. . , n. Найти наибольшее целое p, для которогоnможно утверждать, что погрешность интерполяции в равномерной нормене превосходит 10−p для следующих случаев:12Глава 1. Полиномиальная интерполяция(а) a = −1,b = 0,f (x) = ex ,n = 2.(б) a = 0,b = 0.1,f (x) = sin 2x,n = 1;1приближается на интервале [−4, −1] мноA2 − xгочленом Лагранжа по узлам xi = −4, −3, −2, −1. При каких значенияхA оценка погрешности в равномерной норме не превосходит 10−5 ?1.42.Функция f (x) =1.43.
Оценить погрешность приближения функции e−x интерполяционным многочленом Лагранжа L2 (x), построенным по узлам x0 = 0.0, x1 =0.1, x2 = 0.3, в точке(а) x = 0.05;(б) x = 0.2.Функция ex приближается на отрезке [0, 1] интерполяционным поiлиномом степени n по узлам xi = , i = 0, . . . , n. При каком n точностьnприближения будет не хуже 10−3 ?1.44.Функция f (x) = sin x приближается на отрезке [0, A] интерполяциAонным полиномом второй степени по узлам xi = i, i = 0, 1, 2.
При каком2A точность приближения будет не хуже 10−3 ?1.45.Построить интерполяционный полином Лагранжа первой степени1.46.для функции f (x) = x3 по узлам x0 = 0 и x1 = a. Показать, что значениевеличины θ в оценке ошибки интерполяцииf (x) − Pn (x) =равноnf (n+1) (θ) ∏(x − xi )(n + 1)! i=01(x + a).31.47.Построить интерполяционный полином Лагранжа первой степенидля функции f (x) = x3 по узлам x0 = a и x1 = b. Показать, что значениеПолином Лагранжа. Погрешность интерполяции13величины θ в оценке ошибки интерполяции определяется единственным1образом и равно (x + a + b).31.48.Построить интерполяционный полином Лагранжа первой степенидля функции f (x) = (2x − a)4 по узлам x0 = 0 и x1 = a. Найти все возможные значения величины θ в оценке ошибки интерполяции.1.49.Задана таблица значений функцииf (x) = ln x −1xпри x = i · h, где h = 10−1 , i = 1, 2, . . .
. Значение функции f (x) в точкеx ≥ 1 + h восстанавливается по двум, трем или четырем ближайшим кточке x табличным значениям с помощью интерполяционного полинома(а) первой,(б) второй,(в) третьей степени соответственно.Показать, что погрешность интерполяции не превосходит(а) 0.4 · 10−2 ,(б) 0.5 · 10−3 ,(в) 0.75 · 10−4 соответственно.1.50.Задана таблица значений функцииf (x) = ln x +1xпри x = i · h, где h = 10−1 , i = 1, 2, . . . . Значение функции f (x) в точкеx ≥ 1 + h восстанавливается по двум, трем или четырем ближайшим кточке x табличным значениям с помощью интерполяционного полинома(а) первой,(б) второй,(в) третьей степени соответственно.14Глава 1. Полиномиальная интерполяцияПоказать, что погрешность интерполяции не превосходит(а) 0.15 · 10−2 ,(б) 0.25 · 10−3 ,(в) 0.45 · 10−4 соответственно.1.51.
Пусть x0 , x1 , . . . , xn+1 — набор различных узлов, y0 , y1 , . . . , yn+1 —заданные числа. Используя полином Pn (x) степени n, для которого выполняются равенстваPn (xi ) = yi , i = 0, . . . , n,построить полином Pn+1 (x) степени n + 1, для которого выполняются равенстваPn+1 (xi ) = yi , i = 0, . .
. , n + 1.1.52. Пусть x0 , x1 , . . . , xn+m — набор различных узлов (m ≥ 1),y0 , y1 , . . . , yn+m — заданные числа. Используя полином Pn (x) степени n,для которого выполняются равенстваPn (xi ) = yi ,i = 0, . . . , n,построить полином степени n + m вида Pn+m (x) = Pn (x) + ω(x)Qm−1 (x),для которогоPn+m (xi ) = yi , i = 0, . . . , n + m.Здесь ω(x) =n∏(x − xi ).i=01.53.
Пусть x0 , x1 , . . . , xn+1 — набор различных узлов, An (x), Bn (x) — полиномы степени n такие, чтоAn (xi ) = yi ,i = 0, . . . , n,Bn (xi ) = yi ,i = 1, . . . , n + 1.Найти линейные функции α(x), β(x) такие, что для полинома степени n+1Pn+1 (x) = α(x)An (x) + β(x)Bn (x)Полином Лагранжа. Погрешность интерполяции15выполняются равенстваPn+1 (xi ) = yi ,i = 0, . . . , n + 1.1.54. Пусть x0 , x1 , . . .
, xn+m — набор различных узлов, Am,i (x) — набориз n + 1 полиномов степени m каждый со следующими свойствами:Am,i (xj ) = yj ,i = 0, . . . , n,Am,i (xi ) = yi ,i = 0, . . . , n.j = n + 1, . . . , n + m,Т. е. каждый из полиномов Am,i (x) в узлах xn+1 , xn+2 , . . .
, xn+m принимает соответственно значения yn+1 , yn+2 , . . . , yn+m . Кроме того, полиномAm,i (x), i = 0, . . . , n в узле xi принимает значение yi . Найти коэффициенты αn,i (x) (полиномы степени n) такие, что полиномPn+m (x) =n∑αn,i (x)Am,i (x)i=0является интерполяционным для узлов x0 , x1 , . . . , xn+m , т. е.Pn+m (xi ) = yi ,1.55.Пусть ω(x) =n∏i = 0, . . . , n.(x − xi ), xi ̸= 0. Используя ω(x), построить поли-i=0ном Pn (x) степени n, для которого выполняются условияPn (xi ) =1,xii = 0, 1, . . . , n.1.56.
(а) Пусть полиномы Ln (x) и Rn (x) степени n и полином Pn+1 (x)степени n + 1 интерполируют функцию f (x), т. е.Ln (xi ) = f (xi ),i = 0, 1, . . . , n,Rn (xi ) = f (xi ),i = 1, 2, . . . , n + 1,Pn+1 (xi ) = f (xi ),i = 0, 1, . . . , n + 1,16Глава 1. Полиномиальная интерполяциягде x0 < x1 < · · · < xn < xn+1 .
Доказать, что Pn+1 (x) лежит между Ln (x)и Rn (x) при всех x ∈ [x0 , xn+1 ].(б) Пусть полиномы Ln (x) и Rn (x) степени n интерполируют функциюf (x), т. е.Ln (xi ) = f (xi ), i = 0, 1, . . . , n,Rn (xi ) = f (xi ),i = 1, 2, . . . , n + 1,где x0 < x1 < · · · < xn < xn+1 . Доказать, что если f (n+1) (x) не меняет знакна [x0 , xn+1 ], то f (x) лежит между Ln (x) и Rn (x) при всех x ∈ [x0 , xn+1 ].1.57.Пусть P (x, y) =n∑ai (x)y i , где ai (x) — многочлены степени не вы-i=0ше n. Известно, что P (k, m) = 0 при k, m = 0, . .
. , n. Доказать, чтоai (x) ≡ 0.1.58. Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов из отрезка [a, b],f (x) — достаточно гладкая функция, определенная на отрезке [a, b], Pn (x) —полином степени n, для которого выполняются равенстваPn (xi ) = f (xi ),i = 0, . . . , n.Доказать, что для каждого x ∈ [a, b] существуют различные ξ1 , ξ2 , . .
. , ξnиз отрезка [a, b] и θ ∈ [a, b] такие, чтоPn′ (x) − f ′ (x) =f (n+1) (θ)(x − ξ1 ) . . . (x − ξn ).n!1.59. Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов и пусть полином Pn (x)степени n задан какn∑ωi (x)Pn (x) =2 (x ) ,ωii=0 iгде обозначено ωi (x) =n∏(x − xk ). Доказать, что все корни полиномаk=0, k̸=iPn (x) действительны и различны.17Полином Ньютона.
Разделенные разностиПолином Ньютона.Разделенные разности1.60. Пусть X — множество из n + 1 различных действительных чисел,принадлежащих области определения действительной функци f (x). Разделенную разность n-го порядка функции f (x) на множестве X определимрекуррентно какf ∠ (X) =f ∠ (X \ {a}) − f ∠ (X \ {b}),b−aгде a, b — два различных элемента из X. Здесь множество X без элементаa обозначено X \ {a}. Если множество X состоит только из одного элемента, то положим f ∠ (a) = f (a) (определили разделенную разность нулевогопорядка). Доказать, что такое определение разделенных разностей корректно, т. е.
число f ∠ (X) не зависит от выбора элементов a, b.1.61. Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов из отрезка [a, b], в которых определена достаточно гладкая функция f (x), и пусть полиномыAn (x) и Bn (x) степени n, заданные в видеAn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) + · · · ++ an (x − x0 ) . . . (x − xn−1 ),Bn (x) = b0 + b1 (x − x1 ) + b2 (x − x1 )(x − x2 ) + · · · ++ bn (x − x1 ) . . . (x − xn ),являются интерполяционными, т. е. выполняются равенстваAn (xi ) = Bn (xi ) = f (xi ),(а) Доказать, что bi = ai + ai+1 (xi+1 − x0 ),i = 0, .
. . , n.i = 0, . . . , n − 1.(б) Используя рекуррентные формулы для разделенных разностейf ∠ (x0 , . . . , xi ) =f ∠ (x1 , . . . , xi ) − f ∠ (x0 , . . . , xi−1 ),xi − x0показать, что ai = f ∠ (x0 , . . . , xi ),i = 0, . . . , n.18Глава 1. Полиномиальная интерполяция(в) Доказать равенство, связывающее разделенную разность и производную функции:f (n) (θ)f ∠ (x0 , .
. . , xn ) =, θ ∈ [a, b].n!1.62.Функция f (x) задана таблицейxf (x)-12021225.Построить интерполяционный полином P3 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ,найдя коэффициенты ai(а) из системы уравнений P3 (xi ) = f (xi ),i = 0, 1, 2, 3;(б) записав полином в форме Лагранжа;(в) записав полином в форме Ньютона.1.63. (а) Записать выражение для разделенной разности второго порядка достаточно гладкой функции f (x), взяв в качестве узловx0 = −ε,x1 = 0,x2 = ε(ε > 0).(б) Найти предел, к которому стремится при ε → 0 найденная в пункте (а)разделенная разность.1.64.
(а) Записать выражение для разделенной разности второго порядка достаточно гладкой функции f (x), взяв в качестве узловx0 = 0,x1 = h,x2 = h + ε(h, ε > 0).(б) Найти предел, к которому стремится при ε → 0 найденная в пункте (а)разделенная разность.(в) Найти, к чему стремится при h → 0 найденный в пункте (б) предел.19Полином Ньютона. Разделенные разности1.65. (а) Записать выражение для разделенной разности третьего порядка достаточно гладкой функции f (x), взяв в качестве узловx0 = −h − ε,x1 = −h,x2 = h,x3 = h + ε (h, ε > 0).(б) Найти предел, к которому стремится при ε → 0 найденная в пункте (а)разделенная разность.(в) Найти, к чему стремится при h → 0 найденный в пункте (б) предел.1.66.
Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов из отрезка [a, b],f (x) — достаточно гладкая функция, определенная на отрезке [a, b].Доказать, что существует набор точек θi , i = 0, 1, . . . , n из отрезка [a, b]таких, что полиномPn (x) = f (θ0 ) + (x − x0 )n∑i=1f ′ (θi )n∏k=1, k̸=i(x − xk )(xi − xk )является интерполяционным, т. е. Pn (xi ) = f (xi ), i = 0, 1, . . . n.1.67. Пусть f (x) — полином степени n с действительными коэффициентами, который имеет только действительные корни xi , i = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
