1611688888-de7ed84b548edc7ea883f74f256231f1 (826650), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В предпоk=10ложении, что формула является точной для функции f (x) = 1, привести58Глава 4. Численное интегрированиепример полинома Q2n (x) степени 2n, для которого выполняются условия∫1n∑ρ(x)Q2n (x) dx = 0,Ak Q2n (xk ) > 0,k=10тем самым доказав, что не существует квадратурной формулы указанноговида, построенной по n узлам, которая является точной для любых полиномов степени не более 2n.Показать, что для коэффициентов интерполяционной квадратурной∫bn∑формулыAk f (xk ) для вычисления интегралаρ(x)f (x) dx верно ра4.6.k=1aвенствоn∑∫bAk =k=14.7.ρ(x) dx.a(а) Пусть квадратурная формулаAk f (xk ) для вычисления инте-k=1∫1гралаn∑f (x) dx является точной, если f (x) — произвольный полином сте−1пени не больше M .
Показать, что еслиÃk =b−a· Ak ,2то квадратурная формулаn∑x̃k =b+a b−a+· xk ,22∫bÃk g(x̃k ) для вычисления интегралаk=1g(x) dxaявляется точной для произвольного полинома g(x) степени не больше M .∫1(б) Для вычисления интеграла I =f (x) dx подынтегральную функцию−1f (x) заменить полиномом второй степени P2 (x), который совпадает с f (x)59Квадратурные формулы интерполяционного типа∫1в узлах x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1.
Найти S =P2 (x) dx, получив квадра−1турную формулу (Симпсона) вида S = A1 f (x1 ) + A2 f (x2 ) + A3 f (x3 ). Длямногочленов какой степени формула точна? Оценить погрешность |I − S|.(в) Получить формулу Симпсона для отрезка [−1, 1] методом неопределенных коэффициентов (потребовать, чтобы формула была точной длямногочленов максимально высокой степени).(г) Используя результаты пункта (а), записать формулу Симпсона для вы∫bчисления интегралаf (x) dx.a4.8.(а) Пусть узлы квадратурной формулыAk f (xk ) для вычисленияk=1∫1интегралаn∑f (x) dx расположены симметрично относительно нуля, т.
е.−1xk = −xn+1−k , k = 1, . . . , n. Показать, что соответствующие веса формулыравны, т. е. Ak = An+1−k , k = 1, . . . , n.(б) Пусть узлы квадратурной формулы∫1тегралаn∑Ak f (xk ) для вычисления ин-k=1ρ(x)f (x) dx расположены симметрично относительно нуля, т. е.−1xk = −xn+1−k , k = 1, . . . , n. Верно ли, что соответствующие веса формулыравны, т. е. Ak = An+1−k , k = 1, .
. . , n?(в) Верно ли, что интерполяционная квадратурная формула для вычисления интеграла по интервалу [−1, 1], построенная на узлах, расположенныхсимметрично относительно нуля, т. е. xk = −xn+1−k , k = 1, . . . , n, точнадля любой нечетной функции f (x)?604.9.Глава 4. Численное интегрированиеПостроить квадратурную формулу вида∫1( )2f (x)dx ≈ A1 f (0) + A2 f,30точную для многочленов максимально высокой степени.4.10.Построить квадратурную формулу вида∫1f (x)dx ≈ A1 f( )( )12+ A2 f,230точную для многочленов максимально высокой степени.4.11.Построить квадратурную формулу вида∫2( )1f (x)dx ≈ A1 f (0) + A2 f+ A3 f (2),20точную для многочленов максимально высокой степени.4.12.Построить квадратурную формулу вида∫1e2x f (x)dx ≈ A1 f (−1) + A2 f (1),−1точную для многочленов максимально высокой степени.∫b4.13.Для вычисления интеграла I =f (x) dx подынтегральную функaцию f (x) заменить полиномом первой степени P1 (x), который совпадает с∫bf (x) в узлах x1 , x2 .
Найти S = P1 (x) dx, получив квадратурную формуaлу вида S = A1 f (x1 ) + A2 f (x2 ).61Квадратурные формулы интерполяционного типа(а) В какую формулу вида S = A1 f (x1 ) + A2 f ′ (x1 ) превращается полученная формула при x2 → x1 ?(б) При каком x1 получается формула, не содержащая производную f ′ (x1 )?∫14.14.Для вычисления интегралаf (x) dx построить интерполяцион−11ную квадратурную формулу вида A1 f (x1 ) + A2 f (x2 ) с узлами x1 = − ,21x2 = . Для полиномов какой степени формула точна?2∫b4.15.Для вычисления интеграла I =f (x) dx подынтегральную функaцию f (x) заменить полиномом первой степени P1 (x), который совпадает с∫bf (x) в узлах x1 = β > 0, x2 = −β.
Найти S = P1 (x) dx, получив квадраaтурную формулу вида S = A1 f (β) + A2 f (−β).(а) Показать, что A1 = A2 при любом β.(б) Найти β, с которым формула точна для полиномов второй степени.(в) Показать, что при найденном β формула будет точной также и дляполиномов третьей степени.4.16.(а) Построить квадратурную формулу вида∫1f (x) dx ≈ A1 f (−1) + A2 f (−β) + A2 f (β) + A1 f (1),0 ≤ β < 1,−1найдя коэффициенты A1 , A2 из требований, что формула точна для функций f (x) = 1 и f (x) = x2 . Для полиномов какой степени полученная формула точна?(б) Какая формула получается при β = 0?62Глава 4.
Численное интегрирование(в) Какая формула получается при β =но.)1? (Узлы расположены равномер3(г) Какая формула получается при β → 1? Для полиномов какой степениона точна?4.17.Построить квадратурную формулу вида∫1f (x) dx ≈ A1 f (−1) + A2 f ′ (β),−1точную для полиномов максимально высокой степени.4.18.Пусть x1 , . . .
, xn — узлы квадратурной формулы вида∫1f (x) dx ≈−12(f (x1 ) + · · · + f (xn )),nкоторая точна для всех многочленов степени не более n (квадратурнаяформула Чебышева, имеет равные веса). ОбозначимPn (x) =n∏(x − xk ) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 .k=1(а) Доказать, что∫1Pn (x) dx = 0.−1(б) Доказать, что при x ̸= yPn (x) − Pn (y)x−yявляется полиномом степени n − 1 по y (и по x).63Квадратурные формулы интерполяционного типа(в) Доказать тождествоn2∫1−1Pn (x) − Pn (y)dy = nxn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + · · · + 2a2 x + a1 .x−y(г) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в тождествеиз пункта (в) и учитывая равенство из пункта (а), найти коэффициентыполинома Pn (x) при n = 2, 3, 4, 5.4.19. Пусть функция f (x) имеет непрерывные производные до порядкаm включительно и кусочно-непрерывную производную порядка m + 1.(а) Начиная с равенств∫xf (x) = f (a) +t=x ∫xf ′ (t) dt = f (a) − (x − t)f ′ (t)+ (x − t)f ′′ (t) dt,t=aaaмногократным применением интегрирования по частям получить равенство (формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме)f (x) =m∑(x − a)kk=0k!f(k)1(a) +m!∫x(x − t)m f (m+1) (t) dt.a(б) Пусть квадратурная формулаn∑Ak f (xk ) для вычисления интегралаk=1∫bf (x) dx является точной для всех многочленов степени не больше m.aДоказать, что для погрешности квадратурной формулы∫bf (x) dx −Fm+1 =an∑k=1Ak f (xk )64Глава 4.
Численное интегрированиесправедливо равенствоFm+11=m!∫b ((b − x)m+1 ∑−Ak (xk − x)m+m+1n)f (m+1) (x) dx,k=1aгде{xk+=xk , если x ≥ 0,0,если x < 0.(в) Пусть |f (m+1) (x)| ≤ Mm+1 при x ∈ [a, b]. Доказать, что для погрешности квадратурной формулы верно неравенство|Fm+1 | ≤ Mm+1 cm+1 (b − a)m+2 ,где константа cm+1 определяется равенствомcm+1 (b − a)m+21=m!∫b n (b − x)m+1 ∑m−Ak (xk − x)+ dx.
m+1ak=1Является ли эта оценка погрешности точной (на классе рассматриваемыхфункций)?(г) Проводя вычисления для отрезка интегрирования [−1, 1], найти константы c1 и c2 для формулы трапеций и формулы средних прямоугольников.(д) Найти константы c1 , c2 , c3 , c4 для формулы Симпсона.(е) Найти константы c1 и c2 для квадратурной формулы∫1f (x) dx ≈ f (−ε) + f (ε),−1где 0 < ε ≤ 1.65Квадратурные формулы интерполяционного типа4.20.
Погрешность квадратурной формулы трапеций для вычисления интеграла по отрезку [−1, 1] от достаточно гладкой функции f (x) обозначим∫1f (x) dx − [f (−1) + f (1)] .R=−1(а) Доказать представление для погрешности]1[R = − f (1) (1) − f (1) (−1) −3∫1β2 (x)f (2) (x) dx,−111где β2 (x) = − x2 + .26(б) Доказать представление для погрешности]1 [ (1)f (1) − f (1) (−1) +3] ∫11 [ (3)(3)+f (1) − f (−1) − β4 (x)f (4) (x) dx,45R=−−1где β4 (x) = −1 417x + x2 −.2412360(в) Показать, что существует последовательность полиномов β1 (x),β2 (x), . .
. , с которыми погрешность квадратурной формулы трапеций может быть представлена в видеR=m∑[] ∫1(2k−1)(2k−1)β2k (1) f(1) − f(−1) − β2m (x)f (2m) (x) dx.k=1−1∫h4.21.Результат вычисления интегралаf (x) dx для достаточно глад−hкой функции f (x) по формуле трапеций и средних прямоугольников обозначим соответственно IT = hf (−h) + hf (h) и IM = 2hf (0).66Глава 4. Численное интегрирование(а) Найти константы KT и KM в представлениях погрешности∫hf (x) dx − IT = KT h2 + O(h4 ),−h∫hf (x) dx − IM = KM h2 + O(h4 ).−h(б) Получить линейную комбинацию формулы трапеций и средних прямоугольников IS = αIT + βIM , для которой∫hf (x) dx − IS = O(h4 ).−h∫h(в) Представив искомый интегралf (x) dx в виде суммы интегралов−h∫h∫0f (x) dx =−h∫hf (x) dx +−hf (x) dx,0применить формулу трапеций к каждому из интегралов справа, обозначив результат I T . Получить линейную комбинацию IS = αIT + βI T , для22которой∫hf (x) dx − IS = O(h4 ).−h∫14.22.Дляприближенноговычисленияинтегралаf (x) dx,где0f (x) = x3 , используется составная квадратурная формула трапеций (интервал интегрирования разбивается на N равных подынтервалов, на каждом из которых используется формула трапеций).
Доказать, что при N ≥ 767Квадратурные формулы интерполяционного типапогрешность квадратурной формулы не превосходит ε = 0.006.∫14.23.f (x) dx, где f (x) = x6 , приближенно вычисляется с по-Интеграл0мощью составной квадратурной формулы Симпсона (интервал интегрирования разбивается на N равных подынтервалов, на каждом из которыхиспользуется формула Симпсона).
Доказать, что при N ≥ 7 погрешностьквадратурной формулы не превосходит ε = 2.5 · 10−5 .4.24.В этой задаче функция f (x) считается достаточно гладкой.∫1(а) Для приближенного вычисления интегралаf (x) dx используется со0ставная квадратурная формула правых прямоугольников (интервал инте1, xi = i · h,грирования разбивается на N равных подынтервалов, h =Ni = 0, . . . , N ). Записав погрешность квадратурной формулы на подынтервале [xi−1 , xi ] в виде∫xi∫xi(f (x) − f (xi )) dx =xi−1(f ′ (xi ) + O(h))(x − xi ) dx,xi−1показать, что погрешность составной квадратурной формулы правых прямоугольников может быть представлена следующим образом∫1f (x) dx −0N∑hhf (xi ) = − (f (1) − f (0)) + O(h2 ).2i=1∫1(б) Для приближенного вычисления интегралаf (x) dx используется со0ставная квадратурная формула Симпсона (интервал интегрирования раз1бивается на N равных подынтервалов, h =, xi = i · h, i = 0, .
. . , N ).NЗаписав погрешность квадратурной формулы на подынтервале [xi−1 , xi ] в68Глава 4. Численное интегрированиевиде∫xi ()114f (x) − f (xi−1 ) − f (xi− 12 ) − f (xi ) dx =666xi−1∫xi=f (4) (xi ) + O(h)(x − xi−1 )(x − xi− 12 )2 (x − xi ) dx,4!xi−1показать, что в случае f (3) (0) = f (3) (1) погрешность составной квадратурной формулы Симсона является величиной O(h5 ).∫14.25.Для приближенного вычисления интеграла( )sin x2 dx использу-0ется составная квадратурная формула (интервал интегрирования разбивается на N равных подынтервалов).
Оценить количество разбиений N ,гарантирующее точность вычислений не хуже ε = 10−4 , если на каждомиз N подынтервалов используется формула(а) правых прямоугольников,(б) средних прямоугольников,(в) Симпсона.∫14.26.Для приближенного вычисления интеграла( )exp x2 dx использу-0ется составная квадратурная формула (интервал интегрирования разбивается на N равных подынтервалов). Оценить количество разбиений N ,гарантирующее точность вычислений не хуже ε = 10−4 , если на каждомиз N подынтервалов используется формула(а) левых прямоугольников,(б) трапеций,(в) Симпсона.Квадратурные формулы интерполяционного типа4.27.69Для приближенного вычисления интеграла∫10f (x) dx,где f (x) = 1 + sin2 x ,0используется составная квадратурная формула (интервал интегрированияразбивается на N равных подынтервалов). Оценить количество разбиенийN , гарантирующее точность вычислений не хуже ε = 10−5 , если на каждомиз N подынтервалов используется формула(а) трапеций,(б) Симпсона.4.28.Для приближенного вычисления интеграла∫0f (x) dx,где f (x) = sin2 ω,−101ω = arcsin √,1 + x2используется составная квадратурная формула (интервал интегрированияразбивается на N равных подынтервалов).
Оценить количество разбиенийN , гарантирующее точность вычислений не хуже ε = 10−5 , если на каждомиз N подынтервалов используется формула(а) трапеций,(б) Симпсона.4.29.Для приближенного вычисления интеграла∫2πf (x) dx,0где f (x) = a0 +n∑(ak cos kx + bk sin kx),k=1используется составная квадратурная формула трапеций с равномерным2πшагом h =. Доказать, что при m > n квадратурная формула даетmточный результат.70Глава 4. Численное интегрирование4.30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
