1611688888-de7ed84b548edc7ea883f74f256231f1 (826650), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . , n. Черезточку плоскости с декартовыми координатами (x∗ , f (x∗ )), где f (x∗ ) ̸= 0,проведено n прямых так, что i-я прямая проходит через точку с координатами (xi , 0), i = 1, . . . , n. Доказать, что наклон к оси абсцисс графикафункции y = f (x) при x = x∗ равен сумме наклонов проведенных прямых.1.68. Пусть многочлен Pn (x) степени n имеет различные корни x1 ,x2 , . . . , xn , причем Pn (0) ̸= 0. Доказать, чтоn∑i=111=−xi Pn′ (xi )Pn (0).1.69.
Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов, в которых определена функция f (x).20Глава 1. Полиномиальная интерполяция(a) Индукцией по n доказать формулу для разделенной разности∠f (x0 , . . . , xn ) =n∑i=0n∏f (xi ).(xi − xk )k=0, k̸=i(б) Пусть полином Pn−1 (x) степени n − 1 удовлетворяет условиямPn−1 (xi ) = f (xi ),i = 0, .
. . , n − 1.Доказать формулу для разделенной разностиf ∠ (x0 , . . . , xn ) =f (xn ) − Pn−1 (xn ).n−1∏(xn − xk )k=01.70. Доказать, что разделенная разность n-го порядка функции f (x) намножестве различных узлов x0 , x1 , . . . , xn может быть найдена следующимобразом 1 x0 . . . xn−1f (x0 ) 0 1 x1 . . .
xn−1f (x1 ) 1 ... ... ... .... . . 1 x. . . xn−1f (xn ) nn∠f (x0 , . . . , xn ) = . 1 x0 . . . xn−1xn0 0 1 x1 . . . xn−1xn1 1 ... ... ... ... ... 1 xn−1n . . . xnxnn1.71. Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов, в которых определена функция f (x), и пусть полином An (x) степени n, записанный в видеAn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) + · · · ++ an (x − x0 ) . . .
(x − xn−1 ),21Полином Ньютона. Разделенные разностиявляется интерполяционным, т. е. An (xi ) = f (xi ), i = 0, 1, . . . , n. Не используя понятие разделенных разностей, показать, чтоam =m∑m∏i=0f (xi ).(xi − xk )k=0, k̸=i1.72. Пусть 0 < x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn и пусть полином Pn (x) степени n интерполирует функцию f (x), т.
е.Pn (xi ) = f (xi ),i = 0, 1, . . . , n.Какие из следующих утверждений про разделенные разности n-го порядкафункции f (x) и полинома Pn (x) являются верными:(а) Pn∠ (x0 , x1 , . . . , xn ) = f ∠ (x0 , x1 , . . . , xn ),(б) Pn∠ (x20 , x21 , . . . , x2n ) = f ∠ (x20 , x21 , . . . , x2n ),(в) Pn∠ (x20 , x21 , . . . , x2n ) ̸= f ∠ (x20 , x21 , .
. . , x2n ),(г) Pn∠ (x0 , x1 , . . . , xn ) = Pn∠ (x20 , x21 , . . . , x2n )?1.73. Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов, Pm (x) — полиномстепени m, ω(x) = (x − x0 ) . . . (x − xn ). Найдем разделенную разность nго порядка функции Pm (x) на множестве узлов x0 , x1 , . . . , xn следующимобразом. Представим полином Pm (x) в видеPm (x) = ατ (x)ω(x) + βs (x),где ατ (x), βs (x) — полиномы степени τ и s, причем s ≤ n. Для вычисленияразделенной разности используем симметричную формулу∠Pm(x0 , .
. . , xn ) =n∑k=0Pm (xk )=n∏(xk − xi )i=0, i̸=k=n∑k=0n∏βs (xk )i=0, i̸=k(xk − xi )= βs∠ (x0 , . . . , xn ).22Глава 1. Полиномиальная интерполяцияТ. к. βs (x) — полином степени не больше n, то разделенная разность nго порядка для него равна либо нулю (при s < n), либо константе (приs = n).
Делаем вывод: разделенная разность n-го порядка (n = 1, 2, . . . )для любого полинома степени m (m = 1, 2, . . . ) всегда равна либо нулю,либо константе. Верен ли такой вывод? Если нет, найдите ошибку в рассуждениях.1.74. Пусть достаточно гладкая функция f (x), не равная тождественнонулю на отрезке [a, c], обращается в нуль при x ∈ [a, b] и x = c (здесьa < b < c).
Доказать, что f (n) (x) (производная n-го порядка, n = 1, 2, . . . )принимает на отрезке [a, c] как положительные, так и отрицательные значения.1.75. Пусть достаточно гладкая функция f (x), не равная тождественнонулю на отрезке [a, b], обращается в нуль при x = xi , i = 0, 1, .
. . , n (здесьa = x0 < x1 < · · · < xn = b). Доказать, что производная n-го порядкаf (n) (x) принимает на отрезке [a, b] как положительные, так и отрицательные значения.1.76. Пусть a = x0 < x1 < · · · < xn = b, f (x) — достаточно гладкаяфункция. Доказать, что либо производная n-го порядка f (n) (x) являетсяконстантой на отрезке [a, b], либо для разделенной разности n-го порядкавыполняются неравенстваmnMn< f ∠ (x0 , .
. . , xn ) <,n!n!где mn = min f (n) (x), Mn = max f (n) (x).x∈[a,b]x∈[a,b]1.77. Пусть узлы расположены равномерно: xi = i · h, i = 0, . . . , n. Показать, что в этом случае разделенная разность n-го порядка функции f (x)может быть вычислена как()n1 T −E∠f (x0 , x1 , . . . , xn ) =f (x0 ),n!hгде E — тождественный оператор, а оператор T действует следующим образом: T f (xi ) = f (xi+1 ).23Полином Ньютона.
Разделенные разности1.78.Пусть полином Pn (x) степени n имеет видPn (x) = f (1) +( kn∑∏ (xk=1i=1i))−1∆k f (1),где f (x) — некоторая функция. Оператор ∆ действует следующим образом∆f (x) = f (x + 1) − f (x).Показать, что Pn (k) = f (k) при k = 1, 2, . . . , n + 1.1.79. Пусть f (x, y) — вещественная функция двух вещественных переменных, которая является полиномом при любом фиксированном x или y.(а) Показать, что существуют полиномы ak (y) такие, чтоf (x, y) = a0 (y) + a1 (y)(x − 1) . .
. (x − m)(x − 1)+ · · · + am (y),1!m!где m, вообще говоря, зависит от y.(б) Показать, что существует M такое, что при k > M имеет местоak (y) ≡ 0.1.80. (а) Найти разделенную разность n-го порядка на множестве различных узлов x0 , x1 , . . . , xn для функции f (x) = An (x)Bn (x), равной произведению двух полиномовAn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) + · · · ++ an (x − x0 ) . .
. (x − xn−1 ),Bn (x) = b0 + b1 (x − xn ) + b2 (x − xn−1 )(x − xn ) + · · · ++ bn (x − x1 ) . . . (x − xn ),(б) Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов, в которых определеныфункции g(x) и h(x), и пусть f (x) = g(x)h(x). Доказать формулу для разделенных разностейf ∠ (x0 , . . . , xn ) =n∑i=0g ∠ (x0 , . .
. , xi )h∠ (xi , . . . , xn ).241.81.Глава 1. Полиномиальная интерполяцияДоказать формулу для разделенных разностейf ∠ (x, x + 1, . . . , x + n) =(e − 1)n xe ,n!где f (x) = ex .1, узлами интерполяции являются целые неотx+1рицательные числа. Доказать формулу для разделенных разностей1.82.(а) Пусть f (x) =f ∠ (m, m + 1, . . . , m + k) = (−1)km!.(m + k + 1)!1,k+1равенство(б) Пусть полином Pn (x) степени n удовлетворяет условиям Pn (k) =k = 0, 1, . .
. , n.Pn (n + 1) = 0.Доказать, чтоприn = 99 имеетместо1.83. Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов и пусть gn (x) — произвольный полином степени не больше n. Обозначимli (x) =n∏k=0, k̸=ix − xk.xi − xkДоказать равенствоn∑gn (x − xi )li (x) = gn (0).i=01.84.Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов. Обозначимai =n∏k=0, k̸=ixk.xk − xi25Полином Ньютона. Разделенные разностиДоказать, что1,если s = 0;n∑если s = 1, 2, .
. . , n;ai xsi = 0,ni=0∏(−1)nxk , если s = n + 1.k=01.85.Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов. Доказать тождествоs−1∏n∑(x − xk )k=0s∏s=0n∏=(xi − xk )k=0, k̸=ix − xk,xi − xki = 0, 1, . . . , n.k=0, k̸=i1.86. Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов, в которых определена функция f (x). Показать, что разделенную разность n-го порядка функf (x)ции g(x) =на множестве узлов xi , i = 0, 1, . . . , n можно выразитьxчерез разделенные разности функции f (x) следующим образомg ∠ (x0 , . . . , xn ) = −n∑f ∠ (x0 , .
. . , xi ).n∏i=0(−xk )k=i1.87.Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных ненулевых узлов. Обознаn∏чим ω(x) =(x − xi ). Построить полином Pn (x) степени n видаi=0Pn (x) =1 − ω(x)q(x),xkдля которого выполняются условияPn (xi ) =где k — натуральное число.1,xkii = 0, 1, . . . , n,26Глава 1. Полиномиальная интерполяция1.88. Пусть x0 , x1 , . . . , xn – набор различных узлов. Обозначим ω(x) =n∏(x−xi ). Построить полином Pn (x) степени n вида Pn (x) = xm −ω(x)q(x),i=0для которого при m > n выполняются условияPn (xi ) = xmi ,i = 0, 1, . .
. , n.1.89.Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных ненулевых узлов. Обознаn∏(x − xi ). Доказать, что для разделенной разности функциичим ω(x) =i=01f (x) = s выполняется равенствоx1f (x0 , x1 , . . . , xn ) = −(s − 1)!∠(ds−1 1dxs−1 ω(x)),x=0где s — натуральное число.Полином Эрмита.Интерполирование с кратными узлами1.90. Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов, f (x) — дифференцируемая функция.
Показать, что для полинома P2n+1 (x) степени 2n + 1,заданного какn∑P2n+1 (x) =Di (x)Fi (x),i=0гдеDi (x) =n∏(x − xk )2 ,k=0, k̸=i′f (xi )f (xi )Di (xi ) − f (xi )Di′ (xi )+(x − xi ),Di (xi )Di2 (xi )выполняются равенстваFi (x) =P2n+1 (xi ) = f (xi ),′P2n+1(xi ) = f ′ (xi ),i = 0, . . . , n.27Полином Эрмита. Интерполирование с кратными узлами1.91. Пусть x0 , x1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
