1611688888-de7ed84b548edc7ea883f74f256231f1 (826650), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. . , x2n+1 — набор различных узлов, причем xi+n+1 =xi + ε при i = 0, . . . , n, f (x) — дифференцируемая функция.(а) Показать, что полином P2n+1 (x) степени 2n + 1, удовлетворяющий условиямP2n+1 (xi+n+1 ) = f (xi ) + εf ′ (xi ),P2n+1 (xi ) = f (xi ),i = 0, . . . , n,можно записать в видеP2n+1 (x) =n∑f (xi )i=0+где ωi (x) =n∏ωi (x)ωi (x − ε) x − xi − ε+ωi (xi )ωi (xi − ε)−εn∑ωi (x)ωi (x − ε) x − xi(f (xi ) + εf ′ (xi )),ωi (xi )ωi (xi + ε)εi=0(x − xk ).k=0, k̸=i(б) Записать полином H2n+1 (x) степени 2n + 1, который получается изP2n+1 (x) при ε → 0.(в) Проверить, выполняются ли для полинома H2n+1 (x) условия′H2n+1(xi ) = f ′ (xi ),H2n+1 (xi ) = f (xi ),i = 0, .

. . , n.1.92. Пусть x0 , x1 , . . . , xn — набор различных узлов из отрезка [a, b],m0 , . . . , mn — целые неотрицательные числа, f (x) — достаточно гладкаяфункция. Полином Pm (x) степени m = m0 + · · · + mn + n задан следующимобразом:n∑Pm (x) =Di (x)Fi (x),i=0гдеDi (x) =n∏(x − xk )mk +1 ,k=0, k̸=iFi (x) =mi∑k=0(x − xi )kk!(dk f (x)dxk Di (x)).x=xi28Глава 1. Полиномиальная интерполяция(а) Показать, что()( k)dkdP(x)=f(x),mdxkdxkx=xix=xii = 1, .

. . , n,k = 0, . . . , mi .(б) Доказать формулу для погрешности интерполяции в точке x ∈ [a, b]f (x) − Pm (x) =f (m+1) (θ)(x − x0 )m0 +1 . . . (x − xn )mn +1 ,(m + 1)!здесь θ ∈ [a, b].1.93. Построить многочлен P4 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 , удовлетворяющий условиям′′′P4 (1) = P4 (−1) = P4 (0) = P4 (0) = 0,1.94.Построить полином P3 (x) степени 3, удовлетворяющий условиямP3 (−1) = P3 (1) = −1,1.95.P4 (0) = 1.P3 (0) = P3′ (0) = 1.Построить полином P3 (x) степени 3, удовлетворяющий условиямP3 (a) = f (a),P3 (b) = f (b),P3′ (a) = f ′ (a),P3′ (b) = f ′ (b),где b > a, f (x) = x5 .1.96.Построить полином P3 (x) степени 3, удовлетворяющий условиям(π)(π)(π )(π)P3 (0) = f (0), P3=f, P3′ (0) = f ′ (0), P3′= f′,2222где f (x) = sin x.Оценить погрешность интерполяции для 0 ≤ x ≤π.229Полином Чебышева.

Оптимальное расположение узлов1.97.Построить полином P3 (x) степени 3, удовлетворяющий условиямP3 (0) = f (0),(π)(π)(π )(π )P3=f, P3′= f′,4444(π)(π)P3=f,22где f (x) = sin x.πОценить погрешность интерполяции |f (x) − P3 (x)| для 0 ≤ x ≤ .2Полином Чебышева.Оптимальное расположение узлов1.98.Пусть функция Cn (x) определена на отрезке [−1, 1] какCn (x) = cos(nω),ω = arccos(x).(а) Доказать, что Cn (x) удовлетворяет соотношениям0 ≤ m ≤ n.Cn+m (x) + Cn−m (x) = 2Cn (x)Cm (x),(б) Доказать, что Cn (x) — это полином степени n видаC0 (x) = 1,Cn (x) = 2n−1 xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . .

,√(в) Доказать равенство Cn (2x − 1) = C2n ( x),n = 1, 2, . . . .x ∈ [0, 1].(г) Найти корни полинома Cn (x).(д) Найти корни уравнения x = Cn (x).(е) Найти точки (локальных) экстремумов полинома Cn (x).(ж) Доказать, чтоn−1 (( )())∏k2i + 11cosπ − cosπ = n−1 , 2n2ni=0k = 0, 1, . . . , n.301.99.Глава 1. Полиномиальная интерполяцияПусть функция Tn (x) определена какT0 (x) = 1,T1 (x) = x,Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x),n = 1, 2, . . . .(а) Доказать формулу для многочлена Tn (x)()n ()n√√2Tn (x) = x + 1 − x2 + x − 1 − x2 .(б) Доказать, что при четном n функция Tn (x) является четной, а принечетном n — нечетной.(в) Доказать, чтоTn (Tm (x)) = Tm (Tn (x)) .(г) Доказать, что если x2 + y 2 = 1, тоT2n (x) = (−1)n T2n (y).(д) Доказать, что∫1−1Tn (x)Tm (x)√= 0,1 − x2m ̸= n.(е) Показать, что при заданных коэффициентах ck значение полиномаn∑Qn (x) =ck Tk (x) может быть найдено следующим образомk=0tn = cn ,tn−1 = cn−1 + 2xcn ,tk = ck + 2xtk+1 − tk+2 ,k = n − 2, n − 3, .

. . , 1,Qn (x) = c0 + xt1 − t2 .((ж) Пусть Gn (x) = Tnудовлетворяют Gn (x)?)11x+. Какому рекуррентному соотношению22Полином Чебышева. Оптимальное расположение узлов311.100. (а) Пусть x∗ — точка экстремума для полинома A(x) и для полинома B(x), причем A(x∗ ) = B(x∗ ). Доказать, что если R(x) = A(x) − B(x)является полиномом (не тождественным нулем), то точка x∗ является корнем R(x) по крайней мере двойной кратности.(б) Пусть −1 ≤ x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn ≤ 1 и пусть узлы xk ,k = 0, 1, . . . , n являются точками экстремума для полинома T (x), причемT (xk ) = (−1)k . Доказать, что если для полинома P (x) выполняется неравенствоmax |P (x)| ≤ max |T (x)|,x∈[−1,1]x∈[−1,1]то полином R(x) = T (x) − P (x) (если это ненулевой полином) имеет наотрезке [−1, 1] по крайней мере n корней (с учетом кратности).(в) Доказать, что для полинома Cn (x) степени n > 0, заданного какCn (x) = cos(nω),ω = arccos(x),x ∈ [−1, 1],выполняется неравенствоmax |Cn (x)| < 2n−1 max |Pn (x)|,x∈[−1,1]x∈[−1,1]где Pn (x) — любой отличный от Cn (x) полином степени n видаPn (x) = xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + .

. . .1.101. (а) Среди всех полиномов P (x) степени менее n найти наименееотклоняющийся от функции f (x) = xn на отрезке [−1, 1], т. е. полином, длякоторого величина max |f (x) − P (x)| принимает наименьшее значение.x∈[−1,1](б) Среди всех полиномов P (x) степени менее n найти наименее отклоняющийся от функции f (x) = 1+cos(n arccos x) на отрезке [−1, 1], т. е.

полином,для которого величина max |f (x) − P (x)| принимает наименьшее значеx∈[−1,1]ние.(в) Среди всех полиномов P (x) степени n видаP (x) = xn + an−1 xn−1 + . . .32Глава 1. Полиномиальная интерполяциянайти такой, для которого величинаmin P (x) − max P (x)x∈[−1,1]x∈[−1,1]принимает наибольшее значение.1.102. Функция ln x приближается на отрезке [10, 11] интерполяционнымполиномом (а) первой, (б) второй и (в) третьей степени, причем в качестве узлов интерполяции взяты нули полинома Чебышева соответственно(а) второй, (б) третьей и (в) четвертой степени.

Какую точность приближения можно гарантировать в каждом случае?[ π]Функция sin x приближается на отрезке 0,интерполяционным2полиномом (а) первой, (б) второй и (в) третьей степени, причем в качестве узлов интерполяции взяты нули полинома Чебышева соответственно(а) второй, (б) третьей и (в) четвертой степени. Какую точность приближения можно гарантировать в каждом случае?1.103.1.104.Пусть Pn (x) — полином степени n, причем P (x) nmax = M.x∈[a,b] P (n) (0) nКакова длина отрезка [a, b], если для любого полинома Qn (x) степени nвыполняется неравенство Q (x) nmax ≥ M?x∈[a,b] Q(n) (0) n1.105.Пусть узлы xi , i = 0, . . . , n − 1 таковы, что величинаn−1∏M = max (x − xi )x∈[a,b] i=0принимает наименьшее возможное значение.

Найти xi и M .Полином Чебышева. Оптимальное расположение узлов331.106. Пусть для полинома Pn (x) степени n нашлось такое x∗ , |x∗ | > 1,что Pn (x∗ ) = Tn (x∗ ), где Tn (x) — полином Чебышева степени n. Доказать,что max |Pn (x)| ≥ 1.x∈[−1,1]1.107. С помощью полинома Чебышева Cn (x) = cos(n arccos x) среди всехполиномов степени n видаPn (x) = xn + an−1 xn−1 + . . .таких, что Pn (−1) = Pn (1) = 0, найти полином, наименее отклоняющийсяот нуля на отрезке [−1, 1].1.108.

В этой задаче в качестве узлов xi взяты точки экстремумов полинома Чебышева Cn (x), т. е.( )ixi = cosπ , i = 0, 1, . . . , n.nn∏(а) Обозначим ω(x) =(x − xk ). Доказать, чтоk=0x2 − 1 ′C (x),n · 2n−1 nω(x) =n > 0.(б) Доказать, что(1 − x2 )Cn′′ (x) = xCn′ (x) − n2 Cn (x).n∏(в) Обозначим ωi (x) =(x − xk ). Доказать, чтоk=0,k̸=iωi (xi ) = k(−1)in2n−1,где k ={2, если i = 0, n;1, если i = 1, 2, . . . , n − 1.341.109.Глава 1.

Полиномиальная интерполяцияПусть полином Pn−1 (x) степени n − 1 задан какPn−1 (x) =n−11 ∑ (−1)k f (cos θk ) sin θkCn (x),nx − cos θkk=0гдеθk =2k + 1π,2nCn (x) = cos(n arccos x),x ∈ [−1, 1].Доказать, чтоPn−1 (cos θk ) = f (cos θk ),1.110.k = 0, . . . , n − 1.en (x) — нормированный полином Чебышева, т. е.Обозначим C 1 √ Cn (x), если n = 0;en (x) =2CCn (x),если n = 1, 2, .

. . ,где Cn (x) = cos(n arccos x),x ∈ [−1, 1].Пусть xk — корни полинома Чебышева степени n, т. е.()2k + 1xk = cosπ , k = 0, 1, . . . , n − 1,2nи пусть 0 < m < 2n.Показать, чтоn−1∑k=0em (xk ) = 0.CГлава 2.СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ2.1. Пусть φ1 , φ2 , . .

. , φm — линейно независимые элементы гильбертовапространства, в котором скалярное произведение элементов f и g обоm∑значено ⟨f, g⟩. Зафиксируем f , положим g =ck φk , где ck — коэффиk=1циенты, которые для краткости будем записывать также в виде вектора ⃗c = (c1 , c2 , .

. . , cm ). Образуем числовую функцию этих коэффициентовΦ(⃗c) = ⟨f − g, f − g⟩.(а) Показать, что для произвольного ⃗c∗ = (c∗1 , c∗2 , . . . , c∗m ) функцию Φ(⃗c)можно представить в виде∗Φ(⃗c) = Φ(⃗c ) +m∑k=1гдеAk =∂Φ(⃗c) ,∂ck ⃗c=⃗c∗1 ∑∑Ak ∆ck +Bks ∆ck ∆cs ,2s=1mmk=1Bks =∂ 2 Φ(⃗c) , ∆ck = ck − c∗k .∂ck ∂cs ⃗c=⃗c∗Записать выражения для Ak , Bks .(б) Пусть коэффициенты c∗1 , c∗2 , . . .

, c∗m удовлетворяют системе уравнений∂Φ(⃗c) = 0, k = 1, 2, . . . , m.∂ck ⃗c=⃗c∗Показать, что в этом случае Φ(⃗c) можно записать в виде⟨m⟩m∑∑∆ck φk ,Φ(⃗c) = Φ(⃗c∗ ) +∆cs φs .k=1(в) Показать, что Φ(⃗c) > Φ(⃗c∗ ), если ⃗c ̸= ⃗c∗ .s=136Глава 2. Среднеквадратичное приближение функций(г) Показать, что коэффициенты c∗1 , c∗2 , .

Характеристики

Список файлов книги