1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 40
Текст из файла (страница 40)
гл. Ш, $14) совпадают ва всей полуплоскости Ве р ) 0 (ааметим, что степенные функции р' = е"""Р комплексного переменного р многозвачны при пецелых у, во, рассматривая их на полуплоскоств Ве р ) О, мы всякий раз имеем в виду те их ветви, которые происходят от ветвей Еп р, совпадающих для положительных р с (ар).
Итак, (5.7) ) Я огнгинллы с влцнонлльнымн изовглжкннямн 2М Из (5Л2) и (5ЛЗ) по правилу подобия ($3, свойство 3) находим: соз (Ы ' з1п ()1 «+рг ~ «+рг откуда по правилу смещения изображений (з 3, свойство т() «! о — а е соз ()(в ; „, + Необходимое и достаточное условие рацнональност н изображения. Т е о р е м а. Для того чтобы игображение было рациональной функцией, необходимо и достаточно, чтобы оригинал являлся линейной комбинацией функций вида Е еы (т — целое неотрицательное, А — комилексное).
Доказательство достаточности. Если оригинал есть линейная комбинация функций г еы, то в силу (5ЛО) изображение будет линейной комбинацией т! функций — н, следовательно, будет рациональ)„)~в+ь ной функцией. Д о к а з ат е л ь от в о н е о б х о дни о ст н. Пусть иаображение Р (р) рационально. Так как по теореме з 2 Р (р) -~ 0 при Вер-«- +' оо, то Р (р) будет правильной рациональной дробью.
Пусть рк — ее полюсы, н„— их кратности. Тогда, разлагая Р (р) на простейшие элементы, получим: где Мы — некоторые комплексные числа. Но из (5ЛО) видно, что 1!-1 еть! 0 — г„) Отсюда п Мы! (! — 1)! в е=т ПРВОВРАзовхнни ЛАПЛАСА птл. ч а так как оригинал вполне определяется своим изображением, то 'н (() =Х;Š—,"',р з"' в ! 1 р(р) =ХЕ х>1 (5Л6) ! будет оригиналом, имеющим ивображение Р (р).
В частности, если все полюсы г" (р) — простые, то р(р) = Ъ вЂ”,",: ~з М„= Кевг" (р), Р„ и для оригинала, имеющего изображение г' (р), получим и, следовательно, является линейной комбинацией функций вида з еы, что н требовалось доказать. Заметим, что всякая правильная рациональная дробь является изображением некоторого оригинала. Таким образом, с помощью преобразования Лапласа устанавливается взаимно однозначное соответствие между всеми функциями, являющимися линейными комбинациямн выражений Р'еы и всеми правильными рациопальвымв дробями. Заметим, что класс функций, являющихся линейными комбинациями выражений вида ~ е"', обладает следующими свойствами: операции линейного комбинирования, умножения на аргумент, умножения на показательнузо функцию, линейного преобразования аргумента, дифференцирования и интегрирования, примененные к функциям этого класса, приводят снова к функциям этого класса.
Нахождение оригинала по заданному изображению (когда оно рационально). Предыдущие выкладки показывают, что если г" (р) — какая-нибудь правильная рациональная дробь, разложение которой на простейшие дроби есть з з) приложкния к диююквкнпнлльным нэлвнкниям 293 формулу (5Л7) ~(() =,~~Маер" . Заметим еще, что если м (р — а] + лб ( — о)'+ р' то соответствующим оригиналом будет 1 (1) = е".' (М соз р( + Л( з(п (3(). Таким образом, нахождение оригинала по заданному рациональному изображению сводится к разложению правильной рациональной дроби на простейшие дроби.
Пример. Найти оригинал 1(г), имеющий и:ображоние 2ра+ р'+ 2р+ 2 рг + 2р' -(- 2р' Разложение на простейшие дроби дает: ( 2 следовательно, гг 1 (г) — + 2е ' вш д 2 б 6. Приложения к решению линейных дифферевпиальных уравнений е постоянными коэффициентами и систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Иэ общего курса математического анализа иввестно, что все решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, правая часть которых, есть линейная комбинация функций вида 1 е"'; являются функциями такого же вида. То же относится и к системам линейных дифференциальных уравнений с постоянными . коэффициентами, правые части которых являются линей-: ными комбинациями функций вида 1 е"'. Но линейные,' комбинации выражений г ею если их рассматривать на' \ 294 и'л.
ч пгвовгэзованив лАплАсА [О, + оо), являются оригиналами с рациональными изображениями. Это подсказывает нижеследующий прием отыскания решения названных линейных уравнений и систем линейных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям Коши. Линейные днфферешшальные уравнения, Требуется найти решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами аэуоо + а,уо и + ...
+ а у = ~ (О, удовлетворяющее начальным условиям Коши у (0) = сэ; у' (0) = сд', ...', ус'-и (0) = с„м когда ~ (О есть линейнаякомбинация функций вида г ем. Пусть у (г) = У (р), / (~) =~ г' (р). Тогда из рассматри- ' ваемого дифференциального уравнения и начальных условий Коши следует (в силу свойств 1, 2, 5 4 3): аэ (Р У вЂ” сор ° ° ° с -т) + + а, (р" 'У вЂ” с,р" ' — ... — с„-з) +, . ... + а, (рУ вЂ” сэ) + а У = Р или (а р" + ~~р ' + ... + а„) У = ° = ср (аэр" ' + а,р" з + ...+ а„) + + сг (аср""~+ ~~р" з+ ... + а„з) + ...
+ с ~а + р, откуда У (р) - „(со(аор-'+ ... + а„,)+ а р" +... +а„ + с, (аэр"-'+ ... + а з) + ... + с„,а, + г" (р)). (5.18) Итак, изображение У (р) искомого решения у (э) находится по формуле (5.18). Разлагая правильную рациональную дробь У (р) на простейшие элементы, найдем с помощью формулы(5.16) искомое решение-у (г). В случае однородного 'уравнения имеем у (г) = 0 и, следовательно, р (р) о. Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой 1 е) пгнлошиния к дкефиевнпнвльным угавнвнням 295 частью, являющейся линейной комбинацией функций вида ( с"', сводится к раэложению некоторой правильной рациональной дроби на простейшие дроби.
Пример 1. Решить уравнение у'" — у" — 6у' = 0 при иачальиых условиях у (0) = 15; у' (0) = 2; у (0) = 56. Здесь 15 (ра р 6) + 2 (р 1) + 56 15рт 13р 36 у (р) ре — рт — ср р(р+ 2) (р — 3) 6 5 4 + + р р+2 р — 3' оледовательво, (О 6 ( 5 .х+4еа~ Пример 3. Решить уравиевие у' + у сое ) при иачальиых условиях у (0) = 0; у' (0) = О. Здесь Р)0за+1) Р 1 ( 1 1 ра+1 (рт+1)т 41 ((р 1)з (р.( 1)е1~ следовательно, и -и у (1) — Ке' — се ) = — с в1п с. 41 2 Системы линейных дифференциальных уравнений. Т ребуется найти решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами у, + а„у, + " + а,.у Л (~) уз + жыут + " + аввуе = Ь (О, у„+ а„,у, + ...+ а у„~„(0, удовлетворяющее начальным условиям Коши у,(0) =сП у,(0) са; ...;у„(0) =с„, когда уа (с) (й 1, 2, ..., л) являются линейныни комбинациями функций вида 1 с"'.
Пустьуа(1) ~ Уь(р),/а(1) = Уь(р) (й =1,2, ..., и), тогда иа рассматриваемой системы дифференциальных уравнений и начальных условий Коши следует (в силу »гл. ч пгвовгазов»нив лАплАс» свойств 1, 2, 4 $ 3): рУ» — е + а»»У» + "+ а»»У» Р»> ру, — е»+ аму» + "+ а»»У» ' Р»~ ру„— с„+ а„,у, + ...+ а„„У„= Р», или (а»» + р) У, + а„У» + ...+ а»»У, = с» + рм а»»У» + (а»» + р) )'» + ...
+ а» У» е» + Р» а„,У, + а„,У, + ...+ (а„„+ р) У„= с„+ Р„. Пусть а„+р а„... а„, а„ам+ р ... а,„ А (р) аю а„, ... а„,+р и А»» (р) обозначает алгебраическое дополнение элемента у-й строки и й-го столбца матрицы этого определителя. Тогда с помощью правила Крамера находим: Х (»1+ р~(р1) "~» О»1 У»(р) ' ' (й =1, 2,..., и). (5Л9) А (р) Итак, изображения У» (р) функций д» (г), составляи»- щих искомое решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, находятся по формуле (5.19). Разлагая правильные рациональные дроби У» (р) на простейшие дроби, найдем с помощью формул (5.16) искомые функции у» (г).
»» случае однородной системы все ~» (О = = О и, следовательно, все Р» (р) О. Таким образом, решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянныыи коэффициентами и правыми частями, являющимися линейными комбинациями выражений вида ~ е»', сводится к разложению нескольких правильных рациональных дробей на простейшие дроби. 1 т) пниложвнив к унавнвниям в нонниных уанностях 207: Пример. Решить систему у' + 4у + 4« О, ( е'+ 2у+ 6«0 иуи начальных условиях у (0) 3, «(0~ = 15. Здесь 3(р+6)-(-15( — 4) Зр — 42 8 11 ре+10р+16 (р+2)(р+8) р+ 2+ в+8 « 3 ( — 2) )- 15 (р -)- 4) 15р + 54 4 11 2(р) рт+10р+ 16 (р+2)(р+8) р+ 2+р+8 следовательно, у(1) — 8е а'+11« И, «(1) 4е и+Пе И. $ 7. Приложение к решенято линейных уравнений в ионечвых разностях с постоянными иовффициентамв Ступенчатые функции.
Пусть й„(п О, х, 2, ...)— проиввольная последовательность комплексных чисел. Функцию ~ (1) на (О, + оо), определяемую равенствами )(1) й„на (п,п+1) (п 0,«,2,...), назовем ступенчатой функцией, порожденной последовательностью (й„). Имеем е в-т «ьт $)) (1))е" о( =.
~ ~ Ц(1))е 1И е «о а — 1 . «+1 а 1 ,Я )й«) ~ и~И,~ ~)й«(е Для действительного е найдем в пределе при и-ь + оо ~ ))(1)(е с(1, 'Я)й«)е "', (5.20) е «-е следовательно, несобственный. интеграл в левой части в ряд в правой части либо оба сходятся, либе.оба.расхедятся, 298 (гл. ч. пгвовггзовгняв лапласе 1Хрымеры: 1! Если а„* о, ~о ь~ Н(г)-3пг"= „*,; ь 1 — во е" Р (Р! Р (1 — в Р)ь р (е" — 1! 2) Еслв а„~ ( — 1)", то Н(г! 3( — 1!"г" 1 ' РО! а 1 — в" 1 ег — 1 Р 1-(-в Р Р(ег+ 1!' Из (5.20) непосредственно вытекает Т е о р е м а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
