1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 39
Текст из файла (страница 39)
о Непрерывность ~р (~) следует из абсолютной интегрируемости ~ на каждом сегменте (О, а), где а ) О. Далее, если зе — показатель роста ~, г, — положительное число, большее зе, г ) з„то в случае ~ (1) ~ 0 имеем~ ~р(1) е-ч е-и ~1(и) сЬ е-и-ер ~/ (и) е шли ~ О о +СО 'е-и-вю ~ у(и)е-авби О откуда видно, что интеграл ~ ~р(1) е 'сИ сходится и «р 0 есть оригинал. Если теперь | — комплекснозначная функция, то ! ) ~р (С) ~ я,:; ~ ) ~ (и) ~ ди, а но правая часть по доказанному есть оригинал, следова- ' тельно, ~р (1) подавно оригинал, что и требовалось доказать. о 33 пРОствишин своистВА пРВОВРАзОВАПИЯ лАплАсА 283 $ 3.
Простейшие свойства преобраеования Лапласа 4. Однородность. Если ~(~) -Р(р), то Ц(«) = ЛР (р) (Л вЂ” любое комплексное число). В самом деле, +О оа .О [24 (Ф)] = $ Ц («) е ™ «И = Л $ У («) е "' ««« = Л«' [~ (Е)[. о о 2. Аддитивность. Если ~(~) = Р(р), «у(«). — Ф (р), то 1(е)+Ч(т) = р(р)+ Ф(р). В самом деле, ЫУ(С)+ р(0) = $ У(«)+ у(ю)) е «й = о +а +а = $ у (Е) е "' Ий -[- $ «р (й) е р' «И = Ь [~ («)) + Х, [«р (С)) .
3. Подобие. Если~(й) мР(р),то 1 ~ (а«) — Р[ Р) (а — любое положительное число). о «а« В самом деле, +а +а А' [У(а«)) = $ ~(ар)Е ~««О« = — $ ~(Х)~Рро«ОГ = — Р~ — 'Р ). 4. Дифференцирование оригинала. Если ~ (~) непрерывно дифференцируема на (О, + оо) и если ~' (1) есть оригинал [тогда ~ (1) тоже оригинал н 1 (+ О) существует), то иа / (р) = г" (р) следует: ~' («) ~ рР (р) — ~ (+ О). В самом деле, интегрирование по частям дает прис ) 0 (о)е Р«««о = До) е Р— ~(+ О)+ р~~ («) е Р«««« о о пгиовгазованик лаплАсх Если Ве р больше показателей роста 1 (О и 1' (8), то оба интеграла стремятся к конечным пределам при а -+ + оо, следовательно, 1(а) е > стремится к конечному пределу, но этот предел не может быть отличен от нуля (учитывая,'что интеграл вида~ >з(~)»> не может абсолютно сходиться, если >е (О при ~-» + оо стремится к пределу, отличному от нуля).
Таким образом, в пределе при а -~ + со получим Л(1'(0) = — 1(+О)+ рР(р). 5. О б о б >ц е н и е. Если 1 (>) и раз непрерывно дифференцируема на (О, + оо) и если ~"> (О есть оригинал (тогда 1 (8), 1' (8), ..., 1>"-» (г) — тоже оригиналы и 1 (+ О), 1' (+ О), ..., 1~"-» (+ О) существуют), то из 1 (>) .= .=' Р (р) следует: Р"> (с) .= р"Р (р) — 1 (+ О) р ->— — 1 (+ О) р"- — ...
— 1<"- > (+ 0). В самом деле, зто получается из свойства 4 по индукции. При и = х утверждение справедливо по свойству 4. Если утверждение справедливо для и — х, то 1<"-» (й) ~м р" > г" (р) — 1(+ 0) р"-з — ... — 1<"-з> (+ 0). Отсюда по свойству 4 Р"~ (г) >=' Р(Р Р (Р) — 1 (+ О) Р" ... — 1к-з> (+ О)] 91 -~> (+ О) = =р" г" (р) — 1(+ 0) р" ' — ...— 1<" '> (+ 0) 6. Умножение оригинала на минус аргумент (дифференцирование изображения). Если 1(г) юм Р(р), то — г1 (г) ° Р' (р).
В самом деле, Ь [ — 81(Ю)) = $ — 81(й)е г'»>= — $ 1(>)е "'о>=Р'(р). лр е з $3) пРОствншнв сВОЙстВА пРВОБРАВОВАния лАплАсА 285 7. Обобщение. Если~(г) = Р(р), то (- ()"ю"у (() = Р(.> (р). В самом деле, это получается из свойства 6 по индукции. Ври и = $ утверждение справедливо по свойству 6. Если утверждение справедливо для и†$, то ( — и"-' "-'~ () -. Р"-' (Р), откуда по свойству 6 ( — т) 8"У (() = [Р '" " (Р)) = Рос (р). 8. Интегрирование оригинала. Ес- ли 7'(г) непрерывна на (О, + со) и ~(() ~-" Р(р), то ! ~(и) Ни Р 0 В самом деле, пусть ~р(() = ~~(и) йи =. Ф (р), тогда о <р (+ О) = 0 и по свойству 4 имеем ~ (ю) - рФ (р); следо- вательно, рФ (р) = Р (р); Ф (р) = — .
у (Р) Р 9. Деление оригинала на аргумент (и н т е г р и р о в а н и е и з о б р а ж е н и я). Если У(()/( есть оригинал [тогда ~(ю) тоже оригинал), то иэ 1(ю) р Р (р) следует: 00 ЮРР— — ~ Р(Яйд (где~ = Вш ~). р В самом деле, пусть —, р Ф(р), тогда по свойству 6 !(6 7 (() — — Ф' (р); следовательно, — Ф' (р) = Р (р). Ин- тегрируя это равенство в пределах от р до Р, найдем~ Р Ф(р) — Ф(Р) = ~ Р(Ю)ба Р следовательно, в пределе при Ее Р -р + со [учитывая, что тогда Ф (Р) -Р О) получим: 60 : Ф(р)-~ Р(аИй.
Р ПРВОВРАЗОВАЫНВ ЛАПЛАСА и'л. ч $0. Запаздывание. Если ~(г) ~ р(р), то ~ (г — т) м е Р'р (р) (т —,любое положительное число). В самом деле, ОФ +О А,(у(8 — т)) = ~ ~(à — т)е 1" М = ~ /(1 — т)О Р'й = О О +Ф ОФ = ~ )(г)з-ю0+ )ог =О-Р' ~ ~(~)е Р'й =О-1 Р(Р) О О г1. Умножение оригинала на показательную функцию (смещение изображения). Если)~(г) ~ Р(р), то . е"' у (г) =О Р (р — А) (Х вЂ” любое комплексное число). В самом деле, $ 4. Свертка функций Формула Дирикле. Пусть / (х, у) непрерывна в треугольнике А)~ а ( у» х =. Ь (рнс.
67). Преобразуя двойной интеграл ~~ (х, у) НЫу двумя способами в о двукратный и сравнивая результаты, получим искомую формулу Дирихле~ Х Ь О ь ь ~ Их ~ ~ (х, у) Ну = ~ Иу ~ ~ (х, у) дх. (5,4) О О а О Свертка функций. Пусть ~ (8) и ~р (г) — непрерывные, комплекснозначные функции на Ю, + со).
Свертков функций у и у называется функция, обозначаемая /ь~у Й сВБРткА Функпии 287 и определяемая равенством ( Кур)(е) =~~(и)ф(г — и)Ни. о Это будет непрерывная функция на [О, + оо). Очевндяоо чжф) и)~~ф~. При а ) О с помощью формулы Дирихле находим~ а а ! ~ Щ~ф) (о) е "' й = ~ е Р' й ~ 1 (и) ф (о — и) йь о о о а а а а-а = ~~(и)О(и ~ф(Ф вЂ” и)Е Р'й ~ ~(и)ди ~ ф(о)Е-РО+а>й = о а о о а а-и ~~(и)е Р" Йи ~ ф(1)е Р'й; о о следовательно, если а списать внутренний интеграл а-а а а в виде ~ — ~, получим формулу о о а-а а а а ~Ддсф)(а)е 'й =~1(Ое 'й ~ф(г)е "'й— о о о а а — ~~(и)е Р'о(и ~ ф(~)е Р'й. (5.5) о а а Иа (5.5) следует, что при ~ > О, ф,в О и действитель- ном е а а а ~Фар)(г)е 'й(~1(Ое 'й~ф(т)е 'й; о о о следовательно, при комплекснозначных / и ф и действительном е а а а ~1(сэр)(т)(е-ийя ~!у(т) )е-"й~! ф(г) ~е-ий, о о о 288 (гл.
ч ПРЕОВРАЗОВАННБ ЛАПЛАСА откуда видно, что если у и ф — оригиналы, то у 1~ ф— тоже оригинал, причем показатель роста у лс ф не более наибольшего иа показателей роста / и ф. Свертка оригиналов. Т е о р е и а. При сеертыеании оригиналое изображения перемножаются, т. е. если у (1) Р (р) и ф (1) ~ Ф (р), то (1 о~ ф ) (г) = Р (р) Ф (р). Доказательство. Для простоты мы имеем в виду лишь непрерывные на (О, + оо) оригиналы. Учитывал-формулу (5.5), достаточно наказать, что а а Пи)Е Ради ~ ф(() Е Р11И-+О Прн а-а+ о.
е а-а Пусть $/ ()) $ .= Р, (р) и $ ф (с) $ =. Ф, (р), тогда, если Ве р = е больше показателей роста у н ф, то а а ~$У(и)е 1 с)и $ фЯе Р'й~» е а а а а ап а я ~~~(и) ~)е ",.с)и ~ )ф(1))е 'аг = ~. + ) ~ о а-а .о ап +а . +(а ~Р1(е).$ ')ф())(е ',и1+Ф1'(е) $ ))(и)!е "'би, а/е а/3 что -а- О при а -э + оо, что и требовалось доказать ле)гммер. найти свертку г н гв, где а в О, () ~ О.
имеем (делая в квтеграле подстановку и 1и я.учлтЫеая.формулы (4;7) к (4!Э)): 1 ха1(с)д=* ~ ва ( — ' и)з аа = ге+в+1 ~ ее (( — е)еле а е аааа1 Г(а+()Г(б+ О ааз1г . Р 41+ 5+3) . в, в частности, прв целых иееврвцатйаьвых та, в 1"'~аг"= т! а! фа+а+4)$ " ге+а+1. з И огигиналы с гационалънымн изовгажвниями 289 Формула Дюамеля. Пусть ~ (г) — непрерывный на (О, + оо) оригинал, ф (г) — непрерывно дифференцируемая на!О, + оо) функция такая, что ~у' (г) есть оригинал. Из У (з) = Р (р) н юр (с) = Ф (р) следует: ~~(и) ср(й — и)би м Р(р) Ф(р). о Из правила дифференцирования интегралов, зависящих от параметра, следует, что левая часть непрерывно дифференцируема на (О, + оо), причем —, ~ У (и) <р (з — и) кКи = ~ ( (и) <р' (з — и) би + ( (й) ср (О).
к о о Отсюда в силу свойства 4 3 3 получаем искомую формулу Дюамеля У (г) ф (О) + ~ ~ (и) ср'(с — и) Ни = рР (р) Ф (р). (5.6) о б 5. Оригиналы с рациональными изображениями Изображения некоторых влементарных функций. т. Изображения степенных и показательных функций. При а > — 1 степенная функция г является оригиналом с нулевым показателем роста, причем +Ю Ьра) — ~ ре Р' бг, о что при положительных значениях р равно (после замены рг па Ю) ~-Ь вЂ” ~ гс-'й= Г(з+ 0 ам о. Но как ивображение Р, так и правая часть последнего равенства аналитичны в полуплоскости Ве р ) О, следовательно, совпадая в положительных точках, они (в силу тео- 1о и. и.
Романовеива ш воввазовапив лапласа' Так, приа=т(т=0,1,2,...) яг 1'~~— мы (5. 8) и, в частности, при т = 0 1= —, (5.9) Из (5.8) по правилу смещения изображений ($3, свойство 11) находим при любом целом неотрицательном т и любом комплексном Х 1е ам ш! ~„)~в+1 (5.10) и, в частности, при т 0 (5.11) и 1 е =е —. е †триговометрвче- ческих функций. 2. Изображевия ских и гиперболи Имеем в силу (5.11): ее+е1 1 1 1 сов 1в 2 2 ЛР— 1 ез+е' 1 / 1 З(П1 2; ее 21 (,р е'+е' 1 l сЫ ° 2 2 лр — 1 ремы единственности, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
