1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Пусть о — сопряженяая гариоккческая для и в д, выбРавкак так, что о (лв) = О (го — цевтР К). Иэ скаэаикого в ковце $7 следует, что и + 2о будет аналитической функцией в д, равной нулю внутри К„ следователько, в силу леммы $24 и + его = О яа д, поатому и = О ва б. Но К вЂ” любая точка в В, следовательно, и = О в области В. Отметим тце следувицее преюгеитква. Пусть и (г) — еармоническал бсункцил в области В, отличнал о1к ностолнной.
Тогда в любой блигости К каждой точке Яг области П найдутся аисты щечки 31 и Яэ, тио гв (гь) х. и (со) ( и (гг). В самоы деле, в протявком случае для некоторой точки гв в П яайдется круг о цепгром г, леяипций в В и такой, что для всех точек внутри К, и (с) ~ и (г ), или для всех точек внутри К, и (г) л > и (гв). Оледовательяо, и (г) = совэь = С внутри К, и (к) — С = О вкутриК, и(г) — С=Ока Р, и(г) = С па 0, что дает противоречие. ГЛАВА 1'Ч О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ $ $.
Гамма-функция Гамма-фувкция, или эйлеров.ивтеграл 2-го рода, определяется фо для положительных вяачеиий яеэависимого перемевиого в) рмулой +В Г(э) = ~ с "х' тех (г)О). (44) е г Интеграл в правой части является иесобствеииыы при верхнем пределе и, кроме того, в случае э < ( иссобствекиым при нижнем пределе. Сходимость интеграла (4.1; при всех э ) О обеспечеиа, так кек при х + сс покаэатслькая функция гт растет быстрее шобой степеикой функции и так как иитеграл с иижпим пределом О от х х при а( ( сходится.
Формула приведения для гамма-функции (первая основная формула). Интегрирование по частям дает: +Ой Г(з+ $) = ~ е-эх*Их = е +се = — е-"х' (+ + г ') х'-те-хдх = зГ (з). с е Таким обравом, получаем формулу приведения Г (г+ 1) = гГ (г) (а ~0). (4.2) Отсюда ваключаем, что Г (г) = (г — $) Г (з — 1) = (г — 1) (г — 2) Г (г — 2) =... и вообще Г (г) = (г — 4) (г — 2)... (з — й) Г (г — й) (й ч г), (4,3) 237 ГАММА-ФУНКЦИЯ а тогда при натуральном и Г(и+1) = и(и — 1)...2 1Г(1); но +а Г(1) = ~ е "Их = — е-")+ = 1, о о следовательно, Г (и.+ 1) = 1 2 3...
и = и).. (4.4) Формула приведения (4.2) позволяет вырааить значения гамма-функции для любого положительного е через ее значения для е, лежащего между 0 и 1. Второе выражение гамма-'функции. Делая подстановку х = 1в, получим: + +м Г(е) = ) е вхг-г Нх 2 ) е-пР'-Мз о о , или, заменяя 1 на х, ") М Г(г) = 2 ), е-"'х' Ых (г) 0). (4.5) о откуда, в частности, Г( — ) = 2 ~ е-"дх.
111 Ниже будет показано, что Г( — ) = "у' я (см. стр.' 239), откуда с помощью (4.3) найдем для любого натурального и: Г (и + — ) = (и — — ) (и — -)... — 1 ( — ) = 1 3 з... (2в — 1) )/ (4 б) 2о Бета-фуппцвя. Бота-функция, ллп озверев интеграл 1-го рода, определяется (для положительных впачопвй поааввсвмых пароконных р, 1) формулой 1 В(р,о) $я" т(1 — х)ч тле 1р>о,о>О).
(4.7) о 238 о никоторых опицнальных ыункниях (гл, гт Этот интеграл является несобственным при нижнем пределе в случае р ( 1 и несобственным при верхнем пределе в случае в~ 1э Рис. 59. Рис. 60. Делая подстжювку я = совет, получки второе выражение для бета-функции: (р ) О, с ) 0). (4.8) Л1Ч В(р,д) =2 ~ сове" г9в(лж 1~ряд Г(р) 2 ~ е **хе" г дв; Г(д) =2 ~ е т*уы гду и переходя в получающемся двойном интеграле к полярным коор- дниатам в=гсово (д(х у) р' гв(н~р, (д(г,9) получим (рис.
59 и 60): Г(р) Г(1)-Яе-" е' ы"'увгждвау 4$ е "гев+ж г соево г <рв1пж г ~р Игдир Ь /е =2 ~ е ' г""те ' Иг2 ~ созе~ гфв)птч ' ~рдр= Г(р+9) В(р,д), откуда и вытекает формула (4.9). е Бета-функция может быть легко выражена черве Г-функцию посредством формулы В(р И-Г(р+ ). Г (р) Г (т) г (р + д) . (4.9) ! Действительно, перемножая равенства гвмжл- и~нкцня Иа формулы (4.9) видно, что бста-функция симметрична: В(р,у) = В(у,р). В случае натуральных е, «вв (4.9) и (4.4) следует: (ж — 1)! (« — 1)! В(ж,«) = +„ — Затем в-силу (4.8) х/В В(2, 2) 2)йр и, е но по (4.9) откуда, .учитывая, что Г (1) = 1, получим равенство Г ~ 2 ) = г' я которос' было испольэовано при вывода формулы (4.6).
'Гак как из (4.5), квк ужв отмечалось, следует, что Г ( 2 ) = 2 ~ е "' бх, то отсюда находим: (4ЛО') уя е ~ах =— 2 (4ЛО) с нли (учитывая чстность функции е "): +а~ ~ е ее(х = рея. а Интеграл, фигурируюший в формулах (4ЛО) нли (4ЛО'), иааывастся и«гаеерааал Гаусса. Если р — любое положитсльпов, и — натурвльнов, тона (4.9), (4.4); (4.3). находим: Г(р) Г(«) Г(р)1 2... (« — 1) Г (р+ «) (р + « — 1)... рГ (р) 1 2... (« — 1) р(р+1) .. (р+«1) ' Делая.в.формула (4.7) подстановку х = — (и меняя ватам у 1+у р ив и), получки третье выражение для бств-функции: В(р,у) = 1 Ь (р>о,у >О), (4.11) (1 + х)в+е с 240 О цппотогьгх Оцнцнапьыьгх юупнцыпп (гэхз 1у от куда В(1,1 — з) ~ — ''ч(в' (О<э<1) 11+. е (4.11') нли, учитывая (4.9), +«« г х~з р(,)р(1- )»« ~ — Ь (О<*<1). ) 1+з е (4Л2) Используя правило вычисления несобственных интегралов с по- мощью вычетов (см.
гл. [П, $17), получим: +«« ФВ-1 ФВ-1 — »сз» 2пг 9 Иев— 1+з»- лз а 1+ з» ФН-1 где а полюсы рациональной дроби — „, лежащие в . верхней 1+1» полунлрскости, т. е. корни уравнения 1 + з» = О, имеющие положительный коэффициент при 1, Имеем: «+зз» 11Ь\)ы » З/ Ч» У з»1 в " с " (4=0,1,...,» — 1). » Из этих В эначепий У вЂ” 1 положительный ноэффициент при 1 нме- В ют значения, соответствующие й = О, 1, ..., 2 — 1. Следовательно, все эначения а суть (а=о,1,..., " — 1). 2 С помощью правила вмчисления вычета относительно простого по-' люса находим: » в-1 О ы ч и о л е н и е и н т е г р а л а ~ — Яз, где О < з < 1. ,) 1+в с .
Пусть сперва з — рациональное число вида Вз/В, где в — четное, ю — нечетное, «1 < л. Подстановка в = з» дает." +«« +Ф 1 . +«Р +«« «-1 »» » З«З-1 л Г з»З1 — вв»» ~ — йз В ~ — яз — ~ — з(з. 1+* ) 1+ * ) 1;(,» г "е ' е е «Э «и Таким образом, нмеем при в = — и (испольвуя в процессе преобразований суммирование геометрической прогрессии и выражение оинуса через показательную функцию по формуле Эйлера): + в« +вв 1' -' ~' — ж.' в-1 «в ва-1 а«-1 — «(и = — ~ — «(в = ия1Д Вез — = я( (в' ет " 1+и 2 ) 1+за,лл „1+за. е -вв и а а а« (а+1) а« "1 (За+1) а1 — (ав-а) — (т-а) — (т-а) Еа аа и( «(.«в а я(— Зૠ— (т-а) ьвт 1 — ва ( ) и )ж а« а( — + 1) — (т-а), — (а-«И) .— — (а-т) вэ а 'вэ вэ н( ва ва в а я вз (г ); — +1) — Оа-а) л1п (и — и«) '2 и и *=я( 1 в вв .— (т-а) з(и " (и — щ) з1п«1«и з(пне ' и и где ,(, ) .
а )а( — +1) — (т-а) з(п — ( — ), я. — (т-а) 2 е" . и, следовательно, ( Т ( = 1. Но левая часть нашей цепочки равенств и коэффкцвевт при у положвтельны, поэтому у = 1. Таким образом, имеем при в вв/и равенство +вв .в — 1 я — дв = —; 1+з з)вяв ' е +в в-1 ;+,л* —,—,,„, (О<.< Н. о (4.13) но левая и правая части этого равенства суть непрерывные фупкции от в па интервале Ос. вс, 1 (мы не останавливаемся здесь иа обосновании непрерывности левой части), а так как каждое действительное число этого интервала можно представить как предел последоватавьности правильных рациояальных дробей вида тlи, где и четное, т — нечетное, для которых упомянутое равенство доказано, то в пределе найдем справедливость его для всех в, О с. в ( 1.
Итак, ) 2! БесселеВы ФУнкции с лювым индексом 243 Таким обраэом, Г(8) = )!щ ''' га' (8>О). (4.15) 4 2. Бесселевы функции с любым индексом Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Чтобы объяснить «происхождение» бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве: дви дви дви — + — + — =О див ддв дав (4 16) (функции, удовлетворяющие этому уравнению, наэываются гармоническими), Если перейти к цилиндри вским координатам по фор- мулам к = г еоэ вр, у то, согласно формуле (2.67), внд дви ( ди ( дгв+ г дг+ гв г 81п вр, т = 8, уравнение (4.16) принимает ", + ", 9. - (4.17) Можно покаэать, что предел, стоящий в правой части формулы (4.15), существует для всех комплексных чисел 8 (конечный для всех 8, отличных от нуля и отрицательных целых чисел). Выражение (4 15) может сяужить определенном гамма-функции для любого комплексного эначения 8.
Если формула (4.15) принята ва определение гамма- функции, то формулу приведения (4.2) можно докаэать следующим обраэом: ) 2...8 Г( +1) 1 ( +()( +2) ( + +1) 12...» ' в и = ы 1,(+,, "'(,+„) ',+„+, 1 —.Г(.). Гамма-функция является аналитической на всей плоскости комплексного-переменного, эа исключением точек О, — 1, — 2, — 3, ..., являющихся для иее простыми полюсами. Гамма-функция, как это можно установить, нигде в нуль не обращается. 244 о нвкотогых спвциьльных Фгнкциях ~гл. ш Поставим задачу: найти все такие решения уравнения (4.17), которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
