1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если ~ (г) аналитична в области, ограниченной простым гомкнутым контуром С, и на нем и если 1' (г) унивалентна на С, то ю = ~(г) будет конформ ным отображением области ограниченной простым гамкнутым контуром С, на область, ограниченную простым вамкнутым контуром Г, который описывает точка ~ (г), когда точка х описывает С. Д о к а э а т е л ь с т в о.
Пусть а — точка внутри (вне) Г. По нринципу.аргумента число корней уравнения ~ (г).— а =.О, лежащих внутри С, равно — (Агу Ц (э) — а)) с, 1 а это число (иэ геометрических соображений) равно ~ $(0). Это покаэывает, что 'внутри С ~ (г) принимает ровно ,один раэ каждое эначение, лежащее внутри Г, и не принимает значений, лежащих вне Г. Так -как множество эначений ~ (э), когда а принимает всевоаможные значения внутри С,— открытое, то вначеннями / (г) не могут быть точки контура Г (ибо в противном случае некоторые точки вне Г окаэались бы эначениями ~ (г), что невоэможно).
Итак, когда г пробегает все точки, лежащие внутри контура С, ~ (г) по одному рагу пробегает все точки, лежащие внутри контура Г, что и требовалось доказать. Линейные преобраэования. Линейные преобраэо вання (3.66) Ф являются единственными конформными отображениями полной плоскости на полную плоскость. Преобраэованне, з м3 ' конФОРмиыи ОтОБРАжнняя ОвлАсткй 2з5 обратное линейному, также 'линейно, проиаведение линейных преобрааований также является линейным преобразованием. Всякое линейное преобразование (3.66) опрвделяезтя некоторой матрицвй комплексных чисел а Ь| ) с отличным от нуля определителем, причем матс д) рицы только тогда определяют одно линейное преобразование, когда их элементы пропорциональны.
Если з, определяс'а Ъ| ется матрицей ( /, то Л ' определяется матрицей ~с б/ — с а| ). Линейное преобразование (3.66) нааывается целым, если 'с = О, дробным, если с+О. Ь 1 Заметим, что если из = аг + Ь = а(г + — ~, где а+О, Ь то и можно получить, исходя иа' г, так: гз = г+ —; сс = аг,. Заметим, что если и = — — +, где счЬО, аз+ Ь а Ьс — аа се+а с ( К)' то сс можно получить, исходя иа з, так~ а 1 Ьс — аз а гз = г+ аз = гз =, гз1 зе =ге+~~ зз Из этих замечаний следует, что всякое линейное преобразование можно разложить в произведение линейных преобразований частных видов ис= э+ а; и = аг(а+О); за=в Ещв заметим, что если число а + 0 представить в покавательной форме а = Ве1з; то ж = аг можно получить, исходя иа г, так: г, = емг; ис = Вгз.
Наконец, зс= —, 1 можно получить, исходя из г, так: гз= —, сс = йз. $ 216 АнАлитические Функции Ггл. п~ Из сказанного следует, что всякое линейное преобразование можно разлоксить в произведение преобразований, каждое из которых относится к одному из пяти видов: 1 ш =е"з; и =Вг; ш==; в= з, (3.66') в=с+а; где а = а + ф — комплексное число, у — действитель- ное число, Л вЂ” положительное число. Эти преобразова- ния могут быть переписаны так (полагая з = х + ~у, ш=и+Ь): < и=х+а, о=у+у~ ! и = х соз у у 81пу~ о =хе(пу+ усеем; х и=— хе|У1 1 (3.66") ! и =Ах, о=Ву; А (х* + у') + Вх + Су + В = 0 (А, В, С,  — действительные числа; при А + 0 — это ионниываются соответственно: параллельным переносьм, поворотом, .подобием, инверсией, симметрией.
Окружностями (в широком смысле) на полной плоскости будем навывать окружности.и прямые. Череа каж'дые три различные 'точки. полной- 'Йлоскости проходит единственная окружность (в широком смысле). Т е о р е и а.' Всякое .линейное преобрасвованйе переводит каждую окружность (в широком смысле) в некоторую окружность (в широком смысле); Доказательство.
Так как всякое линейное преобразование разлагается в произведение преобразоваций, относящихся к упомянутым выше пяти видам, то достаточно показать, что преобрааования этих пяти видов переводят окруксности (в широком смысле) в окружности (в широком смысле). Это очевидно для параллельного переноса, поворота, подобия, симметрии. Остается проверить это для инверсии. Уравнение какой-нибудь окрул~- ности (в широком смысле) можно записать в виде ) 20) конФОРь»ныв отовгяжкния овляствй $"»7 окружность, при А =' Π— это прямая).
Из соотношений и '= "+сг ' О о» + са (преобразование, обратное инверсии, есть тоже инверсия) найдем, что образ этой окружности (в широком смысле) имеет уравнение Р (и* + о') + Ви + Со + А = О и, следовательно, тоже является окружностью (в широком смысле), что и требовалось доказать. Всякое нетождественное линейное преобразование имеет либо одну, либо две неподвижные точки (т. е. точки, переходящие в себя). В самом деле, в случае дробного линейного преобразования й = —.его полюс и точка оо не являются неве+ )» се+ в' подвижными точками, а отличная от них точка будет не+э подвижной, если "удовлетворяет уравнению г = — ' ч(Квадратное уравнение); в случае целого линейного преобразования й =.
оз + Ь точка со являатся.неподвижной точкой, а.'конечная точка будет неподви)кной, если удавЛетворявт',уравнению з = аг + Ь (уравнение степени не выше первой). Таким образом, нетождественное линейное преобразование в обоих случаях имеет либо одну, либо две неподвижные точки. Т е о р е м а. Если г„г„г, — какие-нибудь три различные точки полной плоскости и и»„и», йв — тоже какие-нибудь. три различные точки полной плоскости, то существует единственное линейное преобразование, переводящее з„г, г соответственно в йы йг йв. Д о к а з а т е л ь с т в о. Сперва заметим, что не существует различных линейных преобразований Х, и М, переводящих г„гг, гв соответственно в й„й„й„так как в противном случае М »Х было бы нетождественным линейным преобразованием с тремя неподвижными точками г„г, з„что невоаможно.
2г8 анзлитичискив эвикции ~гл. гп Непосредственно проверяется,. что линейное преобра-. аование Ь,,л„п, где зз — зз з — зз — — если г г г конечны зз — зз ' з — зз и з з зз — зз з — зз если г, = оо, ~зззьзэ(г) = з — зз 1 гз = оо, (8 87) если гз — — оо, 3 — з1 з — зз переводит г„г„г, соответственно в О, оо, 1. Отсюда следует, что Ь„злз, з „л, „будет линейным преобраэованием, переводящим г„г„г, соответственно в шп ш„ш„ что и требовалось докаэать. Понятие симметрии относительно прямой хорошо нэвестно.
Введем теперь понятие симметрии относительно окружности. О п р е д е л е н и е. Пусть С вЂ” 'окружность 'с центром О и радиусом В. Точкой, симметричной какой-нибудь точке Р относительно окружйости С, наэывается точка Р», обладающая свойствами: з) Р и Р* лежат на одном луче, выходящем иэ центра окружности С; 2) ОР ОР» = = А'. Если Р совпадает с центром окружности С, то полагают Р» = оо, и обратно. Если Р» симметрична Р, то Р симметрична Р». Л е м м а.
Если Р и Р» —, симметричные точки относительно окружностпи (в широком смысле) С, то всякшз окружность (в широком смысле), проходящая через Р и Р», ортогональна С. Обратно, всякая окружность (в широком смысле), проходящая через Р и ортогональная С, проходит через Р*. Д о к а э а тельство. Пусть (рис. 57) à — окрул<- ность, проходящая череэ Р и Р*, и ОМ вЂ” касательная к Г, проведенная иэ центра О окружности С.
По иэвестной теореме элементарной геометрии ОМ' = ОР ОР». Но ОР ОР» = Вз, откуда ОМ = А. Следовательно, точка М лежит на С и Г ортогональна С. Пусть (см. рис. 57) теперь à — окружность,,проходящая череэ Р и ортогональная С, М вЂ” точка пересечения С и Г, 1 201 конФОРмныи отоирлгииния Оиллсткй 2И з — а — если а, )) конечны, 1 — если а = сс, з — д ' з — а, если б = сс. й» суд = (6.66) Очезндно Б Л будет одины нз линейных прсобразозаннй, переводящнх а, )) ссстнетстзенно з О, »с. Положим еще для с»якого К (стлпчного от О н сс) Ьз (з) = Кз.
(3.69) Очевидно йк ссгь линейное пресбразсзанне с нсподзнжными точками О и с», н обратно, всякое линейное нрсобразозаннс с неподвижными точками 0 н с» есть йя при некотором К (зчс южно нз выражения й„»», г, где т отлнчнс ст О и сс). Оледозательно, сеансе пнпсйпсе прсобразсзаннс, сохраняющее точку О и псрезсдящее сднпнчпу~с скруп<ность з себя, должно иметь ннд йл (ибо с», кзи симметричная с точкой О относительно единичной окружности, со" хрзпястся), прнчсы, очевидно, ) К ) = 1.
Оледссатсзьнс, линейное прообраз»наине, перезодящее единнчную снпужнссть з себя, сохраняющее цеатр н напр»пление дейстзнгезьнса оси, есть теждестзеннсе преобразонание. Р» — вторая точка пересечения Г с прямой ОР. Тогда ОМ будет касательной к Г и, следоиательно, Вз = ОМз = = ОР ОР», откуда следует, что Р» есть точка, симметричная Р относительно С. Теорема становится триннальной, если либо С, либо Г есть прямая, что и требовалось доказать. С л е д с т н и е. Пусть точки Р и Р», симметричны относительно окружности (в широком смысле) С; точки О и (г» симметричны относительно окружности (в изироком смысле) Г.
Тогда линейное преобразование, переводящее Св Ги точку, С' Р в точку О, переведет точку Р» д Р в точку О». В самом деле, и силу консерватизма углов окружности (н широком смысле), проходящие через Р и ортогональные С, перейдут а окружности (н широком смысле), проходящие череа'О и ортогональные Г, следовательно, точка пересечения первых Р* перейдет в точку пересечения вторых О». Положим для всяких двух разных точек а, )) АНАЛИТИЯКСКИБ ФУНЙЦИИ (ГЛ.
1Н 3 а и е ч а к и е. Всякое линейное преобраеовалие с двумя леподвижяыыи точками а, () можно ваписать в виде Р = Т.„г Ьлъ„ (0.70) где К отлично от 0 и оо. Обратив, всякое преобрааоваиие (3.70) есть линейное преобравование с иеподвижиымп точками 0 и оо. В самом деле, если Р имеет иеподвижиые точки п и (), то Х„йЫ ахд будет линейным преобразоваиием с кеподвижиыми точками О, оо, следовательно Ь~,ЛТ,„~а = Рл, откуда умяожевием слева ка Р хй и Умножением спРава иа Ьа й полУчим искомое Равенство (3.70). Обратно, Е„хд Ея Ьа й при всяком К, отличном от 0 и оо, будет лииейкым преобрааоваиием с иеподвижиыми точкамй чс,"(3; Для каящого иетопществеикого линейного преобраеовавия:с двумя неподвижными точками К+ 1 и определено с точиостью до еамеиы обратимы числом (ибо при перестановке иеподвижиых точек К вамеияется иа — ). К Нетождествеикое линейное преобрааоваиие с двумя кеподвижними точками иааывается еиперболическим, если К положительяо, аавитпическим, если (К) = ь, локсодромическим в прочих случаях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
