1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 25
Текст из файла (страница 25)
О. 181 З РИ РЯД ТЕЙЛОРА Точка а называется нулем фунлг(пи у (х), если 7' (а) = О. Из последнего предложения следует, что если 7' (х), аналитическая в области Р, не равна тождественно нулю, то все ее нули в области Р изолированные (т. е. вокруг каждого из них можно описать такой круг, что других нулей в этом круге не будет). Ярашяослзью нуля аналитической функции (не равной тождественно нулю) называется такое и, что разложение в степенной ряд в окрестности рассматриваемого нуля а начинается с л-й степени, иначе говоря, если в окрестности а имеем у' (х) = (г — а)" ср (х), где аналитическая функция ср (з) такая, что ср (а) + О. Нули кратности 1 называются простыми, нули кратности 2 — двойными, нули кратности 3 — тройными.
Теорема единственности. Есливобласти Рдани две аналитичткие У)дикции, совпадающие на множестве точек, имеющем кота бм одну предельную точку, лежащую в Р, то вти две )дунпции тождественно равна. В самом деле, пусть а — упомянутая предельная точка. Тогда разность рассматриваемых функций обращается в пуль в точках, заходящихся квк угодно близко к а и отличных от а по по доказанному этого ке может быть, еслв рассматриваемые фуккции ке совпадают тождествевпо. Формула (3.46) для коэффициентов ряда Тейлора может быть переписана на основании формулы (3.44) в виде А„= —, (л=О, 1, 2,...). 1вч)(а) и( (3.47) Оценка модулей коэффициентов ряда Тейлора. Если на окружности Г модуль функции 7 (г) не превышает М, то, обозначая через Л радиус окружности Г и оценивая интеграл в формуле (3.46) по правилу оценки модуля интеграла (3.37), получим: Таким образом, получаем неравенства )А„(< — „(и =О, 1, 2,...).
(3.48) Из (8.48] .пепосредствекио вытекает теорема Лиувилля: целая Фупкцпя (т. е. вквлвтпческая на всей плоскости, огрвпичепяая пв $82 (гл. ш АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ всей плоскости, есть постоянная. В самом деле, пусть па асей плоскости Ю )(х)-'~~А„«"; ))(.)(<М. е М Тогда при любом Л имеем )А„( ~ — „, откуда в пределе при В -~ оо найдем (&ри и) О) ( А„) ~ О, т. е. А„= О. Следовательно, ! (з) = Ае = совзп Из теоремы Лиувилля легко вытекает основная теорема высшей алгебры: всякий полином, отличный от постоянной, имеет по крайней мере один нуль. В самом деле, если бы полипом Р (х) не имел нулей, то Р ) была бы целойфункцией.
Так какнзвестно,что р(х) 1 -+ ос при з -х сс, то — — О прн х -~ сс откуда видно, что РОЙ Ф будет ограниченной на всей плоскости. Но тогда по теореме 1 Лвувнлля —,) — — сопзс и, следовательно, Р (х) = сола«, что противоречит предположению. 2 15. Рнд Лорана Пусть у (2) — аналитическая функция внутри кольца (рис. 42) между двумя окружностями с центром а (если радиус внутренней окружности равен О, то кольцо становится кругом с «выколотымв центром~ если радиус внешней окружности равен со , то колвцо л становится внешностью круга; если упомянутое происходит одновременно, то кольцо становится плоскостью с выколОтоЙ 10чкОЙ).
Пусть 2— Ряс. « . точка внутри этого кольца, С я С' — концентрические окружности, лежащие внутри кольца и такие, что 2 лежит внутри С и вне С'. По формуле Коши для сложного контура )(2) = — — +— .~ ! (ь) Аь 1 -с ! (ь) Яь 2ях ц ~ — з 2яг~) ~ — з Х)(Ь) 'Ь 1 е,((Ь)АЬ 2яг ~а ~ — з 2ях ф~ з — ~ 1 11) РЯД ЛОРАНА Первое слагаемое правой части на основании выкладок э 14 представляется рядом + хх эях у~ — аь =,Я~ А„(г — а), 1 .а. ( (ь) 0 где 1 ~ )(~)И~ а $ ($ — а] ахх ' причем à — какая-нибудь фиксированная концентрическая окружность внутри кольца.
1 Х !(ь)аь Остается преобразовать второе слагаемое —. ~л — . 2а) тх х — ~ Положим )г — а) = г и радиус круга С' обозначим через р. Тогда при ь" на С' имеем: 1 1 1 х — ь х — а — (Ь вЂ” а) (х — а) ~1— а) ю х — а) и так как ~ — ~ = — (1, то последнее выражение )(,— а! р ~х — а~ г можно рассматривать как сумму убывающей геометрн- 1 ческой прогрессии с первым членом — и знаменаь — а телем — . Таким образом, х — а + СО 1 1 ь — а (ь — а)" х чх (ь — а)ах — — (х — а) (х — а)" (х — а)" Олодимость этого ряда — равномерная по ь на .С' (при фиксированном г), так как этот ряд мажорируется чиса-1 лавой убывающей геометрической прогрессией У Р ха Умножая на ~ (ь), интегрируя почленно по С' и деля на 2лх', получим: + хх й„-') К вЂ”,"'",'= Х ' „—,' $жа- )" 'А~- (гл.
Цц Анллитичкскнв Функции где (замена С' на Г законна, так как 1(~) ((", — а)" ь аналитична между С' и Г, включая их). Складывая разложения получим разложение ~ (г) в ряд по целым степеням г — а с показателями ~~ О. Этим докааана следующая теорема. Т е о р е м а. Всякая функция ~ (г), аналитическая внутри кольца с центром а, может бить разложена внутри етого кольца в ряд +ОО / (г) = ~~~ А„(г — а)", (3.49) 40 кояффициенты которого определяются формулой А„= —.~~) ~, Иг (и =О, ~1, ~2,...), (3.50) где à — какая-нибудь окружность с центром а, лежаи(ая внутри данного кольца.
Этот ряд нааывается рядом Лорана для ~ (г) в рассматриваемом кольце. Если функция ~ (г) разложена в кольце с центром а в +~в какой-нибудь ряд вида ~ 'А„(г — а)", то, рассуждая ОР дословно, как в соответствующем месте 2 14, получим~ 1 ((в) Ив 2ж Д" (в в)я+г ™ где à — окружность с центром а, лежащая внутри кольца. Этим доказана единственность разложения аналитической функции в кольце с центром а в ряд по целым (4В 0) степеням г — а. г ~»1 изОлиРОВАнные ОсОБые точки 185 $16. Изолированные особые точки аналитической Функции Точки, в которых нарушается аналитичность функции, называются особыми. Если в достаточной близости к особой точке а нет других особых точек, то особая точка а называется изолированной особой точкой.
Если а есть изолированная особая точка функции р' (г), то в достаточно малом круге с выколотым центром а функция ~ (г) будет аналитичной и, следовательно, разлагается в ряд Лорана ~(г) =,Я А„(г — а)». М (3.52) Логически возможны и исключают друг друга следующие три случая: 1) в разложении (3.52) нет членов с отрицательными показателями; 2) в разложении (3.52) есть лишь конечное число членов с отрицательными показателями; 3) в разложении (3.52) есть бесконечно много членов с отрицательными показателями.
В этих случаях особая точке а называется соответственно 1) уетранимой; 2) полюсом, '3) существенно особой. Члены разложения с отрицательными показателями и составляют главную часть ~ (г) в окрестности особой точки а. Если а — устраннмая, то в окрестности точки а +С ~(г) =,ЕА»(г — а)"; о следовательно, после надлежащего доопределения функции Оценка модулей коэффициентов ряда Лорана. Если на окружности Г, лежащей внутри кольца, модуль функции ~ (г) не превышает М, то, обозначая через В радиус окружности, получим как при выводе неравенств (ЗА8) аналогичные неравенства ~А„(( — „(п=О, +1, +2,...).
(3.51) АнАлитичкскик Функции (гл. Ц1 в точке а (7 (а) = А,! функция 1 (г) становится аналитической в точке а и «особенность устраняетсяэ. В достаточно малой окрестности устранимой особой точки функция 1 (г) ограничена. Обратно, если р (г) ограничена в некоторой окрестности изолированной особой точки а, !) (г)! ( М, то зта точка есть устранимая особая, В самом деле, при и ) О и достаточно (3.51) (А „! (МВ", откуда при чим (А „! к О, и, следовательно, Если а — полюс, то в окрести +с 1(г) =,,'~ А, (г есть аналитическая функция в окрестности точки а, причем ф (а) = А „+О.Обратно, если 1(г) = ~~) „, где (х — а)" ф(г) аналитична в окрестности а и ф(а)+О, то а есть полюс и-во порядка для 1 (г) (п называется порядком полюса а, полюсы кратности 1 называются простыми, полюсы кратности 2 — двойными, полюсы кратности 3 — трой- ныли). Из такого выражения для 1 (г) следует, что при х -х- а имеем р (г) -~- со.
Таким образом, при стремлении незавнсвмого переменного г к полюсу аналитической функции функция стремится к бесконечности. Легко видеть, что если а есть и-кратный нуль длит (г), то а будет и-кратным полюсом для )(х), так как из равенства ~ (г) = =(г — а)" ф (г) (где ф (г) аналитическая в окрестности а, отличная от нуля в а! следует: 1 1 1 ) (х) (х — а)а ф бб 1 (но — аналитическая в окрестности а и отличается от ф (х) нуля в а). А + О, откуда и)= а)а где ф (г) = А - 1 + А-~хх (г — а) + .
малом Л имеем в силу Л вЂ” х О в пределе полу- А „=О. ости а имеем: з — ) . + Ав (г — а)" +... 1 «а) изолиэованнык Осовыи тОчки (бу Если а — существенно особая точка, то в любой окрестности а значения функции ~ (г) как угодно близко подходят к любому комплексному числу (теорема Сохоцкого). В самом деле, если бы в некоторой окрестности точки а имели [1 (г) — А[) б, где б) О, то была бы ограничена вблизи а и, следовательно, а являлась 1 ' бы устранимой особой точкой для А, поэтому ) (х) — А ) (а) — А А — — «р(г), где «р (г) аналитична вокрестностиа, но ! тогда вокруг а имеем у" (г) = А+ —,откуда следует, что «р (х) ' а является для у (г) либо устранимой особой точкой[если «р (а) ч«= 01, либо полюсом [если «р (а) = О!, что противоречит условию. Спрааедлиаа более глубокая теорема Пикара, согласно котоой э любой окрестности сужестаенио особой точки аналитическая ункция не только как угодно блиако подходит к любому комплексному числу, но принимает асс комплексные аначення, кроме, быть может, одного.
Если в области Р функция у (г) может иметь в качестве особых точек только полюсы, то у (г) называется меронорфной в области Р. Пусть / (г) мероморфна в области Р и а — какая-нибудь точка этой области. Тогда в окрестности точки а имеем: у (г) = (г — а)" «р (г), где «р (г) аналитична в окрестности а и «р (а) + О. Число н назовем яорядяохе функции у (г) в точке а. Если и ) О, то а есть нуль и-го порядка для у (г); если н = О, то у (г) не равна нулю в точке а; если н = — и ( О, то а есть полюс т-го порядка для р (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
