1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Далее, будем говорить, что функция дифференцируегга в точке г, если из приращения функции в этой точке ~ (г + Лг) — у (г) может быть выделена главная линейная часть, т. е. такая часть вида СЛг (где С вЂ” некоторое комплексное число), что оставшаяся часть будет бесконечно малой высшего порядка относительно Лг. Таким образом, ~ (г) дифференцируема в точке г, если существует представление / (г + Лг) — ~ (г) = СЛг + у (Лг) Лг, где у (Лг) -~ О при Лг-~ О.
Отсюда следует, что = С+ у(Лг) — >С Ье а это значит, что в рассматриваемой точке ~ (г) имеет производную ~' (г) = С. Обратно, если функция ~(г) имеет производную в рассматриваемой точке, то 1 (е + ае) — 1 (е) ~, ( ) + ~ (Л ) где у (Лг) -~ О при Лг -1. О, откуда 1 (г + Лг) — 1 (г) = У' (г) Лг + у (Лг)Лг, и, следовательно, в рассматриваемой точке функция 1 (г) дифференцируема.
Таким образом, существование производной и дифферевцируемоств в точке — явления эквивалентные. ПРОИЗВОДНАЯ Напоминание о пвлвем дифференциале функции двух действительных переменных. Функция и (х, у) называется диффереицируемоу, или вмеющей хоеиый дифференциое в давкой точке х, у (фувкцйя предполагается определенной в окрестности этой точки), если из полного приращения функции в этои точке и (х+ Ьх, у+ Ьу) — и (х, у) может быть выделена главная линейная часть, т. е.
такая часть вида АЬх+ ВЬу (где А и  — некоторые числа), что оставшаяся часть будет бесконечно малой высшего порядка относительно »» -»»е.т б», ), ) ~и»»»" (х, у), если существует представление и (х + Ьх, у + Ьу) — и (х, у) = =АЬх+ ВЬу+ Т (Ьх, Ьу) 7 Ьхе+ Ьуе, где Т(Ьее Ьу) -» 0 при ). О. Ьх) у~ Тогда (беря Ьу = 0) и (х + Ьх, у) — и (х, у) = А Ьх + Т (Ьх, 0) ! Ьх () и (х + Ьх, у) — и (х, у) = А~у(Ьх, 0)- А при Ьх- О, откуда видно, что в рассматрвваемой точке функция и (х, у) имеет частную производную по х, причем ди/дх = А.
Аналогично обнаруживается существование частной производной по у и равенство ди)ду = В. Таким обравом, главная линейная часть полного приращения ди ди функции и,х, у) равна — Ьх+ — Ьу. Она называется иохиии дифдх ду ференциохои функции и(х, у) в данной точке. Обозначая полный дифференциал знаком Ыи, а приращения независимых переменных ди ди энакаыи.дх и ду, получим формулу д = д дх + д у. Мы видим, что из существования полного дифференциала вьь текает существование частных производных.
Обратное неверно, т. е. может случиться, что частные производные в точке существу. ют, а полного дифференциала в атой точке не существует. Тем не менее, если частные производные существуют в окрестности рассказ. риваемой точки и, кроме того, в данной точке непрерывны, то з данной точке существует полный дифференциал.
В самом деле, используя формулу Лагранжа, получим: и(х + Ьх,у + Ьу) — и (х,у) = (и (х + Ьх,у + Ьу) — и(х,у+ Ьу)) + (и (х, у+ Ьу) -и (х, у)) = и„'(х+ ОЬх, у+ Ьу)Ьх+ + э' (, у+ ОьЬу)Ьу = (иц' (, у) + а)Ь + (иэ' (х, у) + 0)Ьу = = и„(х, у)Ьх + иэ' (х, у)Ьу + мЬх+ рЬу', 0 а) Ьх ) 0( (1; 1»0 при ~-»0. Оь Ьу) игл. ш лвьлитичискнн Функции Но следовательно, и„'(х, у)Ьх+ ие' (х, у)Ьу является главной линейкой частью полного приращений и, таким обраеом, полиый диффереициал сущестаует. Необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного. Пусть <д=~(г) = и(х, у)+ й~(х, у) есть функция комплексного переменного г = х + <у, днфференцируемая в данной точке г. Так как в данной точке ~ (г) дифференцируема, то в этой точке и (х, у) и и (х, у) тоже дифференцируемы. В самом деле, если иэ приращения Лю = ~ (г + Лг) — ~ (г) может быть выделена главная линейная часть, то действительная часть и коэффициент при < в ней суть соответственно главные линейные части полных приращений Ли = и (х + Ьх, у + Лу) — и (х, у) и Ьи = и(х+ Лх, у+ Лу) — п(х у).
Если смещенная точка г + Лг будет стремиться к г по гориэонтальному пути, то в выражении Лг = Лх + <Ьу следует положить Ьу = О; тогда Ь<е Ье+ Ие Ьи . Ье ди . де +( -ь +< —. Ье Ьх Ьх Ьх дх дх ' Если смещенная точка стремится к г по вертикальному пути, то в вырая<ении Ьг = Аг+ <Ьу следует положить Ьх = О. Тогда Ь<е Ьи+ <Ье Ье .
Ьи де . ди < — + Ьз Иу Ьу Ьу ду де Следовательно, для существующей по условию проиэводной ~' (г) получим выражения: ди . де де ди ~'(г) = — + ( — = — — $ —, дх дх ду ду ' нуоиаводнаи откуда ди де . дэ аи (3.28) дх ду ' дх ду ' ди ди Ьи+ (Ьв дх. х+ ду У+ г + Ьх+ гЬУ ах+ гау Уд аэ ! ~ — ах + — ау + д У Ьхг + Ьуг) (дх ду дх дг ( дх аа — Ьх — д Ьу+ а Ьх+ дх Ьу)+(а+Ф) УЬх'+Ьу' Ьв ах+ гЬУ .х) ди дх( — + $ — (Ьх+ гЬУ) +(а+ Щ ~Ьх'+ Ьу Ьх+ $ЬУ дх .
де (а+4) уЬх'+ау' дх дх ах+ глу Но ("+'Р) ~ + У! =)~а~+(3г-ч 0 при -+О, "1= — .. 1 ..+., Ьу) следовательно, Ьх да дэ 1!ш — = — + ( —, Ьг ах ах ' т. е. /' (г) существует. Итак, для дифференцируемости функции комплексного переменного и = / (г) = и (х, у) + (о (х, у) в данной точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке и (х, у) и о (х, у) были дифференцируемы и удовлетворяли бы услоеи ям Коши — Римана (3.28).
Уравнения (3.28) называются условиями Коши — Ро мана. Достаточное условие дифференпируемости фуиюпги комплексного переменного. Пусть и (х, у) и о (х, у) дифференцируемы и удовлетворяют условиям Коши — Римана в данной точке. Тогда (ниже а)-~0 прил~о)-~0) имеем: $56 (гл. Пг аиалитичвскип юуикции Для /' (з) имеем формулы ди . до до ди . ди . ди до дх дх ду ду дх ду ду при Ьь — 0 находим в пределе йи ды до иь до (3.30) предполагая, что о дифференцируема в точке Ь, Г' дифференцируема в точке з = % (гь) до Вывод формулы (3.30) является законным, когда — ~ О, так ~Г~ как тогда при Ьь достаточно малом будем иметь Ьз+ О, и запнсь до (3.30') имеет смысл. Если в данной точке — = О, то докаэательство нуждается в поправках. Если существуют как угодно малые Ьь, для которых Ьг ~ О, то из (3.30') следует, что при стремлении Ьо1 Ьь к нулю по таким значениям отношение — стремится к ~Ц Нх до 4м — — = — 0 =0.
до йЬ Но Для тех значений Ьь, для которых Ьо = О, очевидно, Ьм = = О, поэтому, если существуют как угодно малые Ьь, для которых Ьз = О, то при стремлении Ьь к нулю по таким значениям отношеЬм Ьм ние — тоже стремится и нулю. Таким образом, — стремится к Ьь Ьь дю нулю при Ьь -о О, поэтому — существует и равно нулю, а так как <~~ в рассматриваемом случае правая часть формулы (3.30) тоже равна Но нулю, то формула (3.30) справедлива и в случае — = О. с~~ Формально техника дифференцирования элементарных функций комплексного переменного пе отличается от таковой для функций действительного переменного, и мы пе будем останавливаться па пей.
Заметим еще, что если г (г) — комплексная функция действительного перемен- . до + дх. (3.29) Л'уоихге(и. Пусть г' (з) = о* = о" соз у + ~ох э)в у. Все условия, очевидно, выполнены, и иэ (3.29) получим г' (х) = е'. П р о и з в о д н а я с л о ж н о й ф у п к ц н и. Пусть м = = / (х), о = т (ь); тогда и = у (ф (Ь)).
Иэ равенства Ьш Ьм Ьг Ь~ — Ьо Ь~ (3.30') $73 аналитичкскин и ГАРмоничвскин Функции $57 ного, / (з) — комплексная функция комплексного переменного, то ~ (з (г)) будет комплексной функцией действительного переменного. Рассуждая, как при выводе формулы (3.30), получим Д (г (й))) ' = /' [з (й)! х' (й) (3.31) в предположении существования производных, фигуриру- ющих в правой части. й 7. Аналитические и гармонические футпщии Множество точек на плоскости называется открытым, если вокруг каждой его точки можно описать круг, целиком лежащий в рассматриваемом множестве. Открытое множество называется областью, если всякие две его точки можно соединить непрерывной дугой, лежащей в рассматриваемом множестве.
Граничной точкой области называется точка, не принадлежащая области и такая, что в любой близости к ней имеются точки рассматриваемой области. Совокупность всех граничных точек области называется грани~(ей области. Если к области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью. Множество точек на плоскости называется ограниченным, если его можно поместить на некотором круге достаточно большого радиуса. Хгрмззсрьз. Внутренность простого замкнутого контура есть ограниченная область.
Внутренность простого замкнутого контура вместе с точками самого контура образует ограннченную вамкяутую область. Кспм С вЂ” простой замкнутый контур, С„Сз, ..., ф— простме замкнутые контуры, лежащие внутри С, но вйе друг друга, то множество точек, лежвщвх внутри С, но вне всех Сю С„..., С„„есть ограниченная область. Вся плоскость, полуплоскость, полоса между параллельными прямыми, внутренность угла дают првмеры неограннченных областей.
Функция комплексного переменного 1 (з), определенная в области В и дифференцируемая в каждой точке этой области, называется аналитической в области хг. Функция двух действительных переменных и (х, у), определенная в области В, имеющая в этой области непрерывные частные проивводные до второго порядка игл. пю Анллитичкскии Функции включительно и удовлетворяющая уравнению Лапласа з + дьи дчз (3.32) называется гармонической в области Р. Между аналитическими и гармоническими функциями имеется простая связь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
