1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

123 (3.4') Тригонометрическая форма комплексных чисел при- водит к простому правилу извлечения корней из комплекс- ных чисел. Корень и-й степени иэ комплексного числа г + + О имеет и значений. Пусть г = г (сов~р + (з(п<р) есть рассматриваемое комплексное число и и =' =р(совО+ (в(пО) естькакой-нибудькореньи йстепенииз него (т. Е. число, удовлетворяющее равенству юо = г). Тогда р" (сов иО + 1 в(пиО) = г (сов <р + (в1п<р), откуда р" = г, иО = ф+ 2йк, где Й вЂ” некоторое целое число. Следовательно, и = г'~"(сов ~+ +(в!и Р+ ). 2ая . .

2ги х з з Обратно, при всяком целом й последнее выражение яв- ляется корнем и-й степени из г (ибо и-я степень его рав- на г). Но упомянутые выражения для двух значений Й будут различными комплексными числами лишь в случае, когда эти значения й отличаются на число, не кратное и. Отсюда следует, что, давая й значения О, 1,2, ..., и — 1, мы получим все значения у г и, таким образом, видим, что П число этих зпачекий равно и. Все значения у'г определяются формулой ( 2гя о -(-2ЬЯ у г = гп"( сов + (в(п е и ()е О 1 2, ..., и — 1), Соответствующие им точки лежат на одной окружности с аналитичвскии егнкпии <гл.

зп центром в точке О и делят ее на н равных частей. Следовательно, точки, изображающие значения корня и-й степени иэ комплексного числа, являются вершинами правильного и-угольника с центром О. В частности, при з = 1 (тогда г = $, ф = О) получим: у'1 =сов — +1з(в — (й = О, 1, 2,..., и — 1). (3.5') а — 2зя . 2ая Пусть х = х + 1у; тогда комплексное число 3 = х— — 1у называется сопряженным для г.

Точки, соответствующие з и 3, симметричны относительно действительной оси. Очевидно, что комплексное число совпадает со своим сопряженным только тогда, когда оно действительное. Непосредственно проверяется, что сопряженные суммы, разности, произведения, частного равны соответственно сумме, разности, произведению, частному сопряженных, т. е. з, + зз = зг+ зз; з, — з, = г, — зз; з~г~ = з,з,; Заметим еще, что зз = ~ з)з.

$ 2. Ряды с комплексными членами Пусть имеем бесконечную последовательность комплексных чисел (3.6) где з„= х„+ 1р„. Число з = х + 1у называется пределом этой последовательности, если для всякого з ) О найдется такой номер Ф, что при и > Ф будем иметь ! з„— з ~ ( е. В этом случае пишут: з„-~ г или 11ш г„= = з. Геометрически это означает, что для всякого круга с центром г все члены последовательности, начиная с некоторого, лежат внутри этого круга.

Последовательность комплексных чисел не может иметь двух пределов, следовательно, либо имеет один предел (тогда называется , сходящейся), либо не имеет предела (тогда называется расходлюейсл). е г) ряды с комплкксными члнилми йзй Для сходимости последовательности чисел .

гл = х + + (уп необходимо и достаточно, чтобы сходились последовательность чисел хл и последовательность чисел у„. В самом деле, если последовательность гл пп хл + ~у„ сходится к г = х + ~у, то при и > Ль имеем ! гл — г !( ( е; но тогда подавно !хл — х ! ( е, ! Ул — у ! ( е и, следовательно, х„ — и х, ул — ь- у. Обратно, если х„ -пх, е ул-и у, то при п)Уг имеем !хл — х!( .—, при е и) Л', имеем ! Ул — у ! ()г, поэтому -при и ) Ф (где Х вЂ” наибольшее из Хь и Хг) ! г„— г ! = уГ(х„— х) и + (уп — у)г ( е, следовательно, гл -и г.

Критерий Коши.Длясходимостипоследовательности комплексных чисел гл необходимо и достаточно, чтобы для всякого е ) 0 наигелся такой номер Ж~ что при и ) Л" и р ) 0 имели бы ! гл+р — гл ! ( е. Этот критерий может быть доказан прямым путем, но его можно получить из критерия Коши для последовательностей действительных чисел (считая, что для них он был уже доказан). В самом деле, если для гл выполнено требование критерия Коши, то оно выполнено и для хп и уп, так как ! хпьр хл ! ( ! гппр гьь !ь ! Улпр Уп! («! гппр гьь!' Обратно, если требование критерия Коши выполнено для х,ицляул,тоиэ !г пр г ! ')~(х ь.

х )и+(Упер У ) сразу усматриваем его выполнимость для гл. Пусть имеем ряд с помплексными членами + иь+ юп+ ...+иь„+ ... или )'~ в„, иьппп ил+~о„. (3.7) ряд (3.7) называется сходящимся, если последовательность 'частичных сумм Бп пп ич + ... + иьп сходится. [гл. Нм АКАлитичнскин Функции Тогда ее предел Я называют суммой ряда (3.7) и пишут + О 8:,Я й„. В противном случае ряд (3.7) называется а=1 расходящимся.

Иа доказанного выше предложения для последовательностей непосредственно следует". для сходимости ряда с комплексными членами ~~~й„, где ш„ = = и„ + Ь„, необходимо и достаточно, чтобы ряды с действительными членами ~'„и„и ~р„были сходящимися. Из критерия Коши для последовательностей комплексных чисел непосредственно вытекает критерий Коши для рядов с комплексными членами: для сходимости ряда ~ш„ необходимо и достаточно, чтобы для всякого е ) О нашелся такой номер Ф, что при п ) )У и р ) О имели бы ~ ш„а, + ш„+, + ...+ й„+р ! ( с. В самом деле, достаточно лишь заметить, что Ва~р са = йа+~ + %на + " + йа+р Ряд с комплексными членами ~ш, называется абсолютно сходящимся, если ряд ~ ~ й„~ сходится.

Из критерия Коши сразу следует, что абсолютно сходящийся ряд схо дится. Для абсолютной сходимости ~й„, где ш„= и„-(- + Ь„очевидно необходима и достаточна абсолютная сходимость рядов ~иа и ~и„, нбо ) (~ й„~(1и„~+ ) р„!. ~и„~ ) Если ряд ~ ш„абсолютно сходится, то при любой перестановке членов факт абсолютной сходимости и величина суммы не меняются.

Это следует иа последнего аамечания, если считать, что для рядов с действительными членами теорема уже иавестна. В абсолютно сходящихся рядах с комплексными членами разрешается любая группировка членов (в одну группу может попадать как конечное, так и бесконечное число членов). Этот факт можно установить прямым путем, .Ио он получается как следствие, если для абсолютно схо- 13У аз! ствпнннык Ряды дящихся рядов с действительными членами его считать из вестным. Абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами можно почленно перемножать.

Это можно докааать пряным путем, но этот факт получается сразу, если считать его уже установленным для рядов с действительными членами. В самом деле, пусть ~ ю„н ~ ю„абсолютно сходятся, ю„= и„+ Ь„; и = и„+ (о„. Тогда ~ и„~ о„, ~~~ и„, ~ о„ абсолютно сходятся и затем ~ ю„~ ю~ = фи„+ ! ~~~~ о„)(ф и, + с,~~ о~) = е е Ф ! 1 = ~~~~~ и„, у ие — ~~~ о„Я о~ + 1 Д и„~~~ ~и +,~~ о„„~ ~ш) ь с и г с е =~~", и„щ' — ~ оеос+1ф и„о;+,'~~~ оеи;) = «л ал в,с ис Х (иене — ивою+1(ивю~+ оеив1! =,Е юзик ° в,с 5 3. Степенные ряды Степенным рядом называется ряд вида +60 ае+ а,я+ а,г'+ ... + а„г" + ... или,~~ а„г", (3.8) . где а„— любые комплексные числа, г — комплексное переменное.

Т ео рема Абеля. Если степеннойряд сходится для некоторого значения переменного, то он абсолютно сходится для всех значений переменного с меньшим модулем, Это значит, что если ~ а„гв сходится, !г ! ( !ге(, то ~ а„г" абсолютно сходится. Доказательство. Так как ряд ~а„ге сходится, то его члены стремятся к нулю и, следовательно, ограничены, т. е. найдется такое число К, что для всех и !а„ге !(К. Вслв )г!(!г,!, то число д = — !(1 и !в! !ев! ! а„г" ! = ~ а„г," ( — ) ~ = ! а„г," ! ( — ) ( Кд". янялитичвскни фвнкции 1гл.

111 Но числа Кд" обраауют убывающую геометрическую прогрессию, аначит, ряд ~~~Кд" сходится, но тогда на основании принципа сравнения рядов с неотрицательными членами ряд ~~ а„х" ~ сходится,.следовательно, ряд Жа„з" абсолютно сходится, что и требовалось доказать. С л е д с т в и е. Если степенной ряд расходится (иги не- абсолютно сходится) для некоторого значения переменного, то он расходится для всех значений переменного с бдлыаим модулем. Это,значит, что если ,'~~~а„з", расходится или неабсолютно сходится, 1г!) )г ~, то Ха„зя расходится. В самом деле, если бы ряд ~а„зе сходился, то по теореме Абеля (так как ! з,! ( ~ з ~) ряд ~ а„зг был бы абсолютно сходящимся, что противоречит условию. Область сходимости степенного ряда.

Рассмотрим какой-нибудь ряд, члены которого зависят от г. Те значения з, для которых рассматриваемый ряд сходится, называются точками сходимости его; те значения з, для которых рассматриваемый ряд расходится, называются точками росходимости его. Совокупность всех точек сходимостн называется областью сходимости рассматриваемого ряда. Теорема Абеля поаволит решить вопрос об области сходимости степенного ряда. Пусть ~а„г" — какой-нибудь степенной ряд.

Логически возможны следующие три случая: й) все положительные числа суть точки сходимостп; 2) все положительные числа суть точки расходимостн; 3) существуют положительные точки сходимости и положительные точки расходимости. В первом случае в силу теоремы Абеля данный степенной ряд сходится (абсолютно) для всех значений з (так как для любого комплексного числа з найдется положительное число большее, чем ~з ~). Следовательно, область сходимости есть вся плоскость комплексного переменного. Во втором случае в силу следствия из теоремы Абеля данный степенной ряд расходится для всех значений я+ О (так как для любого комплексного числа з чь О найдется положительное число меньшее, чем ~ з ~).

Характеристики

Список файлов книги