1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 15
Текст из файла (страница 15)
$ 8. Формула Остроградского Эта формула преобразовывает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности в тройной интеграл по области, ограниченной этой поверхностью. Пусть Р— замкнутая область, ограниченная замкнутой поверхностью Я, а Р (х, у, г), О (х, у, г), В (х, у, г)— непрерывные функции с непрерывными частными производными первого порядка на .О. Сперва предположим, что О ограничена снизу поверхностью г = г, (х, у), сверху — поверхностью г = г, (х, У) с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Ог, выреэающей на плоскости Оху площадку А (рис.
14). Тогда Я будет состоять иэ куска В, поверхности г = г, (х, у), куска я, поверхности г = г, (х, у), куска В, цилиндрической поверхности с 4гл, и ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ образующими, параллельными оси Ох. Имеем4 $~В ' )~р р (рв А р -'ррв~ р ) — в(*,р, ар рр'))ЛдхЫу+ ~~ ййхс)у, з.
Яр Х=гв ЕврУУ х хрцу1 Рвс. $4. д р ((вр,рр,,р,. р „...р р, .рр,, *. ° $вр*рр=р; следовательно, $ —",,'р ррр*-~(ви рр, 8 (2.37) где в правой части интегрирование происходит по внешней стороне замкнутой поверхности о. В общем случае Р можно разбить на конечное число частей рассмотренного выше типа (мы ограничиваемся рассмотрением областей Р, которые допускают такое раабиение).
Применяя к каждой из частей формулу (2.37) и где интегрирование происходит по нижней стороне О„ и по верхней стороне Юв. г 9) ВвктОРНАЯ зАпись ФОРмУлы ОстРОГРАдскОГО 107 складывая полученные равенства, найдем, что (2.37) будет справедлива для рассматриваемой области (так как интегралы по перегородкам взаимно уничтожаются) .
Меняя роли переменных, получим еще две аналогичные формулы: Рис. Ы. Почленное сложение формул (2.37'), (2.37"), (2.37) дает нам искомую формулу Остроградского Р йу г) г + Д дг дх + Рг йх й у = — '— ')))(О, -)- 0„4 — )Н ФА, )2И) где Р— ограниченная замкнутая область в пространстве (рис. А5), Я вЂ” замкнутая поверхность, ограничивающая ).'), и Р, ),~,  — функции, непрерывные вместе с их частными производными первого порядка на П, причем в левой части формулы интегрирование происходит по внешней стороне поверхности Я.
$ 9. Векторная запись формулы Остроградского. Дивергенция векторного поля Поверхностный интеграл от вектор-функции. Пусть а (М) — непрерывная вектор-функция на двустороннем куске поверхности Я. При этом предполагается, что Я имеет в каждой точке касательную плоскость, направление которой непрерывно зависит от точки поверхности (или же кусок Я может быть разбит на конечное число таких частей). Выберем на Ю какую-нибудь сторону (рис.
16). Разобъем Я на части; пусть площади этих частей будут Яь На каждой части возьмем точку Х~ и построим вектор тг„направленный по нормали в точке гУ; к выбранной стороне поверхности и имеющий длину 1ть) ~ = Яо 108 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ П'л. и Затем значение вектор-функции в точке»т'» скалярно умножим на п» и составим сумму таких скалярных проиаведений,'~~ а ()т») не Если наибольший на диаметров частей рассматриваемого куска поверхности стремится к нулю, то эта сумма стремится к определенному прел, делу, который называется поверхностным интегралом от а (М) по выбранной стороне поверхности Я б! ' и обозначается знаком Д)а(М)»»ю »б а (адесь»йе есть «ориентированный л! элемент поверхностиэ). Поверхностный интеграл от Рнс. 16.
вектор-функции легко выражается через обыкновенный поверхностный интеграл. Зададим систему координат. Пусть $»! т»», Ь» — координаты»т'»! тогда ~ а (У») и» =,)'„~ [а„($„«[», ~») (и»)„+ +ат($», т[», ь»)(п»)к+а,(е», т[», ь!)(и»),[. Но (и»)„, (п»)т, (п»)«с точностьюдо бесконечно малых высшего порядка равны соответственно (Я,)„„(Я»), (Я»)„„; поэтому [[ш~ а (!»»'») ы» = 1»ш~ [а„($», т)», ~») (Я»)т, + » 1 + ат ($„«)„ь») (Я»),„+ а, ($», т)», ь!) (Я»)„т[ или [)' »м»" -[[,зрз»- „з.з»- .з з» »ззз» е Одновременно мм получаем доказательство существования поверхностного ннтеграла от вектор-функцнн, считая, что существо- ванне обмкноаеннмх лоаерхностнмх интегралов уже доказано.
Пусть а (М) — векторное поле и Я вЂ” кусок поверхности. Если зто векторное поле рассматривать как поле скоростей потока жидкости, то через элементарную пло- 5 3) ВвктОРНАП ЗАпнсь ФОРмУлы ОстРОГРАДскОГО $09 щадку Я, (рис. 17) в единицу времени вытечет столб жидкости, объем которого есть ,Л~ 8га(ИД~г = ~тгч ~ ~ а()т'г))сов (пь а(У;)) = а()т';) тзь Следовательно, Ц) а (М) осз есть количество жидкссти, в протекающей через поверхность Я в единицу времени. По этой причине поверхностный интеграл ~ а (М) й» нааывается поток»ге в векторного поля через поверхность а ' абч)и я а) й Дивергенция векторного поля 5 и векторная запись формулы Остроградского. Если Я есть замкнуРис.
И. тая поверхность, ограничивающая область Р, то в силу (2.39) н (2.38) (интегрируя по внешней стороне поверхности) получим: ~а(М)ое =Ца,оуг)г+ аус(гих+ а,охг(у = в в =Я(да + д а + да*) лхлуНг. (2.39') и Определение. Дивергенцией векторного поля а (М) да„ даа да в точке(х, у, г) называется скаляр ) а + *, обозд* ду д* ' начаемый символом йт а. Таким обрааом, да„ да„ да, йуа = —" + — "+ — *. да ду да (2.40) Вставляя этот символ в формулу (2Д9'), получим; Ц а (М) Й» = ф йу а ои.
(2.41) *) Иа определения задке, что абсолютная величина потока яв пРевосходит пр»иззедевия площади поверхности иа маисимаяьваа эиачеяие )о ) в точках поверхности. ио !гл. и ОснОВЫ тво гик поля Эта формула, являющаяся векторной ааписью формулы Остроградского, показывает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью.
Точки, в которых дивергенция положительна, нааываются источниками (в атом случае поток векторного поля через малую замкнутую. поверхность, окружающую такую точку, положителен). Точки, в которых дивергенция отрицательна, называются стоками (в этом случае поток векторного поля через малую замкнутую поверхность, окружающую такую точку, отрицателен). Инвариантное определение дивергенции. Формула Остроградского поаволяет дать инвариантное (независимое от системы координат) определение дивергенции векторного поля.
В области определения а (М) возьмем произвольную точку Ма и затем содержащее эту точку тело Р, ограниченное замкнутой поверхностью Я. Пусть Р— объем .Р. Вычитая из (2.41) очевидное равенство Уб1та(М) ЯО(та(М,)ди и деля на Г, получим )а) а(М) Ее — а (иа- —,' ф[а оо-а, ~мяа. При стягивании Я в точку М, правая часть, как видно из теоремы о среднем для тройных интегралов, стремится к нулю. Следовательно, ~~ а(М)ае 41 (М,) = Вт (2.42) при стягивании Я в точку М . Таким образом, дивергенция векторного поля в какой- нибудь точке равна отнесенному к единице объема потоку веюпорного поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую данную точку.
е 9] ВвктОРПАЯ зАпись ФОРИУлы ОстРОГРАдскОГО 111 Формальные свойства динергеиции. Пусть а и Ь— векторные поля, ср — скалярное поле. Тогда Йч (а + Ь) = Йч а + йч Ь; (2.43) йч (<ра) = <р йч а + йгас( сра. (2.44) В самом деле, д(а+ Ь)„д(а +6„) йч (а+ Ь) = —" + ... = =' дх "' дх = ( д + " ) + ( д„+ ...) = йч а + Йч Ь; д (сро)„д (Фа„) г' да„ б(ч(р )= —,"+...=," +...=р~ ° +..)+ + ( д, их + " ) = $ Йч а+ ягас(<ра. /де Многоточия всюду обозначают, что следует вписать второе и третье слагаемые, аналогичные первому, получа юп(неся из него заменой х на у из.
~г Соленоидлльные векторные поля. Векторное поле а, для котороготождественно йч а=О, называется соленоидальнмм. Из (2.41) следует, что в случае соленоидального векторного полн поток векторного поля че- рно. (8. роз всякую аамкнутую поверхность равен нулю. Если взять векторную трубку (рис. 18), провести два сечения ее Я, и Яе и принять во внимание, что поток через боковую стенку всегда равен нулю, то приходим к такому заключению: Если векторное поле соленоидально, то потоки векторного поля через различные сечения векторной трубки равны между собой.
ггггмхсеу. Рассмотрим какое-нибудь центрирозанное ноле (см. пример в конце"1 6) а (м) = Ф (р)г, где ~р (р) = 7 (Р)IР. Тогда д д йч (Ф (Р) г) †. (~Р (Р) е )„ -(- ... -тахт- (Ф (Р) х) -(- ... Ы ер +и ЫА(+ рр (р) +бр (р) И2 !гл. !! ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Отсюда еаключаем, что цеитрироваааое поле у (р) г солепоидальпо только тогда, когда фуикция р (р) удовлетворяет диффереициальному уравпеиию ре' (р + З~р (р) О.
~' (р! З Раэделив переменные, получим — = — —; откуда )и е (р) = т т(р) = — 3 )и р, + !и с; ~р (р) = с/рэ, следовательно, ! (р) = с/рэ. 'Гэким обраэом,цептрироваипое векторное поле будет солепоидальио только в том случае, когда дликм векторов этого поля обратно пропорциональны квадратам расстояний точек приложения от центра. 5 $0. Формула Стокса Эта формула преобразовывает криволинейный интеграл вдоль замкнутой пространственной кривой в поверхностный интеграл по поверхности, натянутой на ету кривую. Пусть Я вЂ” кусок поверхности, имеющий в каждой точ ке касательную плоскость рнаправление которой непрерывно Рис. 19.
вависит от точки поверхности, илн могущий быть разбитым на конечное число таких частей. Замкнутая кривая С, ограничивающая Я, предполагается имеющей в кангдой точке касательную, направление которой непрерывно зависит от точки кривой (или же С состоит ив конечного числа дуг, удовлетворяющих атому требованию).
Пусть Р (х, р, г), () (хг р, г), Л (х, р, г) — непрерывные функции, [4З з ю1 ФОРмул А стоксА имеющие непрерывные частные производные во всех точках поверхности Я (и точках, достаточно близких к Я). Пусть сперва кусок поверхности Ю может быть представлен уравнением г = ~ (х, у). Пусть А — проекция Я на плоскость Оху, à — проекция С на плоскость Оху (рис. [9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
