1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В самом деле, если и = стай и, то д<р а = —; ду ' а =— др х дх а де г дх и, следовательно, ахб*+ а~с)У+ аунг д нх+ д ну+ "Д аг = гнр(х, р,г) есть полный дифференциал, причем и играет роль силовой функции. Обратно, если а ах+ агар + а,аг = йр (х, у, г), то д~р а дх ' де а х дх д~р а = — —; ду ' и, следовательно, а =4 — + у — + й — ~ = атай~р, д~р д<р де дх ду дх что и требовалось доказать.
где г' (р) — скалярная функция положительного аргумента (( а (М) ( = 1 У (Р) !). Имеем в„Юх+ ахну+ в ах — хЫх+ — уау+ — хдх=/(р)нр=ае (Р). У(Е) Уф) У(р) Р Р Р где р(р) =~/(р)нр, учитывая, что рх — хе+ ус + хн, р Ыр х ах + у Ну + х дх. Таким образом, центрироваввые векторные поля потенциальны. 4а Пример. Пусть имеем какое-нибудь ценмрироввнное векторное поле (с центром О); гто значит, что каждый вектор а (М) лежат па луче ОМ, причем длина н направление вектора а(М) зависят только от расстояния р = ОМ. Тогда а(М) = — х, ( (Р) Р игл.
и ОСНОВЫ ТВОРИИ ПОЛЯ Векторными линиями векторного поля а (М', иааываются такие кривые, которые в каждой своей точке М имеют иапраелевие вектора а (М). Эти линии определяются иа системы дифферевциальвых ураввеиий а а„а .с к с Если С вЂ” какой-вибудь замкнутый контур з пространстве, то векторные ливии, проходящие через точки етого контура, образуют позерхиосггн вазываемую векторной трубкой. 5 7. Поверхностные интегралы Рассмотрим двусторонний кусок поверхности О, который можно разбить на конечное число частей, каждая из которых либо изобразима уравнением вида г = ~ (х, у), либо является частью ци- Ь а линдрической поверхности с образующими, параллель- а а ными осн Ог.
Выберем на О определенРис. И. ную сторону. Заметим, что ае всякий кусок поверхвости является даустороиким. Легко дать пример одвостороввей ловерхвости. Ваяв прямоугольакк або (рис. И) и склепе стороны аЬ и сд так, чтобы И совпало с Ь, с совпало с а, получим поверхность с одной стороной, Пусть Л (х, у, г) — непрерывная функция на куске поверхности О. Разобъем его (рис. 12) на части Ом каждая иэ которых либо изобразима уравнением вида г = ~ (х, у), либо принадлежит цилиндрической поверхности с обрааующими, параллельными оси Ог. Возьмем на каждой части Ве точку (ьс т)е г ь) Значение рассматриваемой функции в этой точке умножим на .
(си р,,С;г, взятую с определенным знаком плоЩаДь пРоекЦии кУсочка О е на Рис. 12. плоскость Оху, причем берем знак+, если выбранная сторона поверхности на кусочке О"е обращена в сторону возрастания г, и знак —, если выбранная сторона поверхности на кусочке Ог обращена в сторону убывания г. Если Вг принадлежит цилиндрической по- (0( ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 5 7] верхности с образующими, параллельными осн Ог, то вопрос о знаке отпадает, ибо площадь проекции равна нулю. Эту площадь проекции Я7 на Оху с выбранным знаком обозначим (87),„.
Теперь составим сумму упомянутых произведений ХВао тю ~,)(8,)„„. Если наибольший нз диаметров кусочков Я7 стремится к нулю, то ага сумма стремится к определенному пределу, который называется поверхностным интегриаом от В(х, у, г) по выбранной стороне поверхности Б по переменным х, у и обовначается знаком )) В(х, у, г) с(хе(у. в Аналогично определяются поверхностные интегралы по другим парам переменных (при аналогичных ограничениях, налагаемых на Я). Таким образом, ~Р(х, у, г)с(удг = Иш,~~~~р(З7, 7)ь Ь7)(87)„„(2.28) 7)ЕО..ее а -~ ХЕЬ ооиег., юге ') В(х, у, г) с)хну = Иш,5',В($о 7)ь ~) (Яс)„„. (230) в $ Далее вводим понятие комбинированного поверхностного интеграла ~~Рс(у7(г+ Д'7(гйх+ В7(хну = Д~ р7(ус(г+ Ц~ де)г с(х+ )) Вахе)у.
(2.31) в в в Из определения поверхностного интеграла следует, что при перемене стороны поверхности интеграл лишь меняет свой знак; если кусок поверхности раабит на части, то интеграл по всему куску поверхности равен сумме интегралов по его частям; постоянные множители выносятся за анак интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов. 102 »гл.
и основы ткогин поля Из (2.30) видно, что )) Лдх»»р = О, если Я есть кусок цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Ог (в этом случае проекции Я» на плоскость Оху вырождаются в линии). Аналогично из (2.28) и (2.29) видно, что ~~Р»»удг =О, если Я есть кусок цилиндрической поверхности с образующими, параллельными осн Од ))сйю*=0,, ~ ° ° у- ь ~р поверхности с образующими, параллельными оси Ор. Преобразование поверхностного интеграла в обыкновенный двойной интеграл (частные случаи). Пусть имеем поверхность г = г (х, р).
Пусть Я вЂ” кусок рассматриваемой поверхности, А — его проекция на плоскость Оху Рис. »3. (рнс, 13). Если на Я выбрана сторона, обращенная в сторону возрастания з, то (рис. 13) ХЛ 6ь Ч», ~ ) (3 ). = Х Н! ~ь ць з (~», Ч»)) с» откуда после перехода к пределу получаем; ~~ Л(х, у, з)»»х Ну = ~~ В (х, у, з (х, у))»»х»)у. (Оз позврхностнын ннтнгРвлы Аналогичные формулы получаются для поверхностных интегралов по другим парам переменных.
Итак, ~~ Р (х, у, г) бу дг = ~~ Р [х(у, г), у, г] ду дг (2.32) [где Я вЂ” кусок поверхности х = х (у, г) и А — его про- екция на Оуг]; )) О(х, у, г) г]г бх = ~~ О [х, у(г, х), г] с]г Нх (2.33) 8 [где Я вЂ” кусок поверхности у = у (г, х) и А — его проек- ция на Огх]; )ДЛ(х, у, г) Охи = ~~ В [х, у, г(х, у)] Ихду (2.34) в [где Я вЂ” кусок поверхности г = г (х, у) и А — его проек- ция на Оху]. Эаметкм, что вывод формул, выражавщкх поверхностный ннтеграл черев обыкновенный двойной интеграл, дает одновременно докаватавьство существования поверхностного нктеграла, если существование обыкновенного двойного ннтеграла считать вев сотным. Преобразование поверхностного интеграла в обыкновенный двойной интеграл (общий прием). Пусть Я вЂ” кусок поверхности, заданный параметрическими уравнениями х = х (и, и), у = у (и, и), г = г (и, и), где (и, п) пробегает область Л на плоскости Оип (функции, стоящие в правых частях, предполагаются непрерывными вместе с их частными производными первого порядка).
Предположим сперва, что кусок Я может быть представлен уравнением г = у (х, у), где ~ — однозначная непрерывная функция, и пусть А — проекция Я на плоскость Оху. Тогда г(и, и)=у[х(и, и), у(и, п)]. В силу (2.34) и правила замены переменных в двойном интеграле (если соответствие между Ь и А прямое, т. е. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ (гл. и сохраняющее направления обходо в) ~~ В(х, у, з) бх бу = ~~ В 1х, у, ~(х, у)] Нх бу = Б = )) В [х (и, у), у (и, у), з (и, у)1 — '„би сЬ. (2.34') Ь Эта же формула верна, если О' окажется куском цилин- дрической поверхности с обрааующими, параллельными осн Ог, так как тогда обе части формулы равны нулю.
Правая часть равна нулю вследствие того, что ' = О, д (х, у) д (и, и) Последнее равенство легко обнаружить. Пусть, например, уравнение названной цилиндрической поверхности есть у = ~р (х), тогда у(и, у)=<р(х(и, у)1, откуда ду, дх ду, дх — = ~р'(х) —; — = <р'(х) —, ди ди ' ди ди ' н, следовательно, в якобиане д '') строки пропорциод(х, у) нальны. В общем случае 8 можно разбить на части, подходящие под один из рассмотренных двух типов (мы ограничиваемся такими поверхностями 3). Тогда А разобьется на соответствующие части. Применив к каждой иа частей формулу (2.34') и складывая полученные равенства, получим формулу (2.34') для всего куска Я. Аналогичные формулы получаются для поверхностных интегралов по другим парам переменных. Итак, Р)1)Р(х, у, г)буба =~~Р(х, у, г) (У' ) бийу, ~~()(х, у, з) агах = ~~~(х, у, з) ' биоу, Б Ь ~В(х, у, з) Ихду = ~~В(х, у, г) (х' У) бийу, Б Ь ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО откуда ~$Рйуйг+ Ойгйх+ Вйхйу = ~~~Р 8 'Ь Р ди ди (у,г) + (и, и) ду дг ди ди ду дг йийи(2.35) ди ди при надлежащем выборе стороны поверхности Я.
Пусть, в частности, имеем кусок поверхности г = ~ (х, у), где х, у пробегают область А плоскости Оху. Тогда формула (2.35) дает (здесь х, у играют роль и, у)) Р~ЗВ $~Рйуйг+ Ойгйх+ Вйхйу = ~ 1 О р 8 ~ О(д = Я( — рР— д()+ В)йхйу, (2.36) А где р = —, с = — и поверхностный интеграл берется по д( д( д*' ду верхней стороне поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
