1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Введем прямоугольные координаты, поместив начало О в точке (ио, У„шо) и напРаввв кооРДннатвые оси по е„, е„, е„для этой точки. Тогда (если Н„„Н„„̈́— значения коэффициентов Ламе для этой точки) имеем: Н 0 0 0 Н„о 0 0 Н„, ( а (о, о, ) )о =Н НаоНио +ь о+ь ъ +ьв НиоНаоНэоииоааэооошо + зпиопооошо, гДе е стРемитсЯ к нУлю вместе с йи„ЬУ„оошо. Затем (Учитывая формулу 2.35), оа+Ьоа эа+Ьо» ) ((.Ф вЂ” ) + 8'Ьиойоо!~шо гДе е' стРемитсЯ к нУлю вместе с Ьио, ЬУо, Лшо.
Многоточие обозначает, что следует написать еще два слагаемых, получающихся из первого путем круговой перестановки букв по схеме $25 $ ы] Вектогн ын опвРАпнн Следовательно, при стремлении Ли„Лоо, Л(ло к нулю ( — '(.% — '")) 1(ш но аи ар а„ (%'-"= О О И и, таким образом, ) д ( ди и р и дои р„,р,) ( — (оНН ) (Йта),— ио ро ио Изложенное показывает, что дивергенция векторного поля в ортогональных криволинейных координатах определяется формулой д д д д„(оиНрН ) + до (о,НщНи) + д,„(аиНиНр) и р и Вихрь в ортогональных криволинейных координатах; Пусть а — векторное поле. Коли ввести криволинейные координаты и, и, ос, то а станет вектор-функцией переменных и, о, ш.
Систему криво- линейных координат будем предполагать ортогональной. Воспользуемся ннвариантным определением вихря (см. З 11) в проиавольно взятой точке (и, оо, шо). Пусть Я вЂ” криволинейный четырехугольный кусок координатной поверхности оа = оа„ ограниченный линиями и=ио с=со и = по+ оио о = ио+ йио' Рис.
2). и пусть С вЂ” контур Я (рис. 21). Введем прямоугольные координаты, поместив начало О в точке (и„г„юо) и направив координатные оси по 12б Ггл. н ОснОВы тногии пОля е„, е,, е для этой точки. Имеем~ оо+Ьию аю = ~ (аф ни+ ио + ~ (оо до) Ид+ ~ (оо д ) ЙУ+ ~( до) ( до) ~дв (ов до ) д„(оо д )1 йнойдо+ ейноОРо где е стремится к нулю вместе с Ьи„Ьио. Затем, если А — проекция О на плоскость Олу и у— угол нормали с Ов, то „„д(*, у1 пл.
8 = ~ф — = ~ ~ — 'ИиЙ~= РГ даду Г д(и, о) ~ сов т ~ совт = Н, Н„Ьиопдо+ в'Ьиоои„ гДе е' стРемитсЯ к нУлю вместе с Лио, Ьдо, ибо (сов у)о 1. 428 1гл. и ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ формулой Н„Н„Н (2.63) которую, очевидно, можно переписать в виде див аар + — + — + — 1» ь и+ аи аии ар 1 а И Н Нз Ни ди Ни ди и д~~ аиь Фр —— + — — — 1п — "" + — — — 1п —" . (2.63') д(р 1 д ии,ии де 1 д иииь дь Ни дь Н дм Иа дш Н ь ь Ю Ю Векторные операции в цилиндрических координатах. Перейдем от прямоугольных координат х, у, хк цилиндрическим г, у, г йо формулам х = г соэ <р, у = г э(п <р, з = х (эдесь г, <р, г выполняют роль и,г, И).
Координатными линиями будут лучи с начальными точками на оси Оз и перпендикулярныв к Оз, окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к Оз, с центрами на оси Ог, прямые, параллельные оси Ох (рис. 22). Цилиндрическая система координат, очевидно, ортогональная. Коэффициентами Ламе в рассматриваемом случае будут1 Н,=1; Н =г; Н,=1.
Рис. 22. Пусть 1' — скалярное поле, а — векторное поле. Из формул (2.60), (2.61), (2.62), (2.63') получим выражения для градиента, дивергенцки, вихря и оператора Лапласа 129 ВкктоРныв опкРАции а ы1 в цилиндрических координатах г д1 Р'аб 1 = е д + ео — + е д1 ддф д1 (2.64) а„ да„ 1 да да 61» а = — "+ — "+ — — '+ — *; (2.03) г дг г д<р да 1 1 да да, ) 1да„ да гог а = е ~ — — ' — — ') + е, ( —" — — ' / + г( г дф дз! о(,да дг/ / а„дао 1 даг '1 + е ( — "+ — о — — — "), (2.66) дг г дф!' да1 1 до1 да1 1 д1 Векторные операции в сферических координатах. Перейдем от прямоугольных координат х, у, х к сферическим г, ф, О по формулам х = г сов О сов ф, у = г соа О а1п ф, г = г ьйп О (г, ф, О выполняют роль и, Р, гд). Координатными линиями будут лучи, выходящие из начала, окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к Ох, с центрами на оси Ог, полу- окружности с центрами в начале и диаметрами на оси Оз (рис.23).
Сферическая система координат, очевидно, ортогональная. Коэффициентами Ламе в рассматриваемом случае будут: Н, = 1; Н„= г соа О; Но = г. Рвс. 23, Пусть 1 — скалярное поле, а — векторное поле. Иэ Формул (2.60), (2,61), (2.62), (2,63) получим выражения для градиента, дивергенцни, вихря и оператора Лапласа в 5 П. Н.
Романовские ОсиОВы тионии пОля сферических координатах: д) д( йасин~= е„д +е,г 8+ее —, (208) дт' д (гаа ) ( дат ( д (ае оса 6) Йуа = — — '+ — — '+— д гедде гнд дв (2.09) даа ( д(аа д) ~ / ( да„( д(гаа) 1 / ( д(га ) ( да +вг ~ — —" — — — (+ев~ — — — — — (, ~г да г дт / (г дт тсоад дв/' (2.70) (2.7$) ГЛАВА Ш НАЧАЛЬНЫМ СВЕДЕНИЯ ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ б 1. Комплексные числа Если комплексному числу э = х + 1у отнести точку на плоскости с прямоугольными координатами (х, у), то между комплексными числами и точками плоскости (назовем ее плоскостью комплексного переменного) установится взаимно однозначное соответствие.
Если комплексное число з — дейстеительное (т. е. у = О, тогда э = х), то соответствующая точка лежит на оси абсцисс, и наоборот. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Если комплексное число з — мнимое (т. е. у чь О), то соответствующая точка лежит вне оси абсцисс, и наоборот. Если комплексное число з— чисто мнимое (т. е. х = О, у чь О, тогда з = 5у), то соответствующая точка лежит на осн ординат, и наоборот (за исключением начала координат).
Поэтому ось ординат называют мнимой осью. Полярные координаты (г, ~р) точки, изображающей рассматриваемое комплексное число з (если взять полюс в начале координат и направить полярную ось по оси абсцисс), называются соответственно модулем и аргументом коьшлексного числа з н обозначаются соответственно ! э ) и Ыа э. Очевидно, ~ г ~ =э О, причем равно нулю только прп э = О. При з + О Ага э имеет бесконечно много значений, получающихся иэ какого-нибудь одного агя э по формуле Агах = аглэ + 2 йп (й — проиввольное целое число). При з = О Аг» э не определен.
Формулы, связывающие прямоугольные координаты с полярными, показывают, что (э! = у'х + у', Агав = Агс~а — ", з32 Аналитичвскив Функции $РЛ. Ш (причем, в последней формуле, очевидно, пригодны не все значения арктангенса). Иа х = г соа ~р, у = г з[п у находим: з = г (соз ~р + [ з[п ~р). (3.1) Выражение (3 1) называют тригонометрической формой комплексного числа з. Обратно, если комплексное число з записано в форме (ЗЛ), где г, Ф действительны, причем г неотрицательно, то г будет модулем, а у — одним на аргументов числа з.
Если каждой точке М плоскости комплексного переменного отнести вектор ОМ, то появится возможность представлять комплексные числа векторамн. Сложение и вычитание комплексных чисел сводится к сложению и вычитанию соответствующих векторов. Отсюда следует, что для любых комплексных чисел з, и з, (3.2) [г,+гз[~[з,[+ [г [, откуда, по индукции, для любых комплексных чисел з„ зз, ...,з„ [г, + з, + ...+ з„[([ з, [+ [ з, [+ ... + [г„[. (3.2') Из (3.2) следует, что [з, — з, [ > [ з, [ — [ з, [, (3.3) ибо на г, = (з, — зз) + з, по (3.2) находим [г, [я [з,— — з, [ + [ г, [, откуда следует (3.3). Заметим, что модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа.
При умножении комплексных чисел модули перемножаются, аргументы складываются. В самом деле, пользуясь тригонометрической формой комплексных чисел, найдем: з, = г, (соз <р, + [ зш <р,); з, = г (соз ~рз + [ зш <р ); г,г, = г,г, [(сов~а,сов~у, — а[п у, в1п у,)+ [(соа у,зшщз + + з1п ~р, соз ~р,)! = г,г, [соз (~р, + <р,) + [ а1п (<р, + <р,)[. Отсюда следует, что при делении комплексных чисел модули делятся, аргументы вычитаются. Из правила умножения комплексных чисел следует, что при возведении в степенв с целым положительным пока- 133 комплвксныв числа г е) вателем и модуль возводится в и-ю степень, аргумент ум- ножается на и. Это приводит к формуле Муавра (сов ф + 1 зйп ф)" = сов иф + 1 в(п иф. (3.4) Раскрывая левую часть (3.4) по формуле бинома Нью- тона и отделяя действительную часть от мнимой, получим формулы для косинуса и синуса кратных углов; а (а — 1) сагир = сов" ф — сов" гфз~в ф+ ..., ( 2 з (о — 1) (и — 2) юпир = исоа"-'<рв(п~р — сов"-гара(агар+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
