1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Следовательно, область сходвмости состоит иа одной точки О. 139 ствпиниык виды з з! В третьем случае найдется положительная точка сходвмости г и положительная точка .Расходвмости В,. Если — есть точка сходимости, то положим г = —, и+ п1 г~+ Л1 2 2 г1 + В~ Л, = Л,; если же — есть точка расходимости, то положим г, = г„В, = — ''. Таким же образом, исходя из г1+ В1 г„В„введем числа г„В, и т, д. В результате получим неубывающую последовательность положительных точек сходимости г,(г,(г ( и нево врастающую последовательность положительных точек расходимости В,>В,=ьВ,.
ь ..., В~ — и причем „— г„= — -э О. Следовательно обе вазванг ' У ные последовательности имеют общий предел Иш г„= Иш В„= В. Если ) з ) ( В, то ) з ! ( г„при достаточно большом п и, следовательно, в силу теоремы Абеля з есть точка сходимости. Если ) з ) ) Л, то при достаточно большом п ) з ) ) В„и, следовательно, в силу следствия иэ теоремы Абеля, з есть точка расходимости.
Таким образом, внутри круга радиуса Л с центром О ряд сходится ~абсолютно), вне этого круга ряд расходится. Вопрос о точках, лежащих на окружности, остается открытым. Область сходнмости степенного ряда есть, таким образом, круг Радиуса В с центром 0 (точнее, внутренность этого круга плюс, быть может, некоторое множество точек окружности). Этот круг называется кругом слодимости. Радиус его называется радиусом сходимости. И первом и втором случаях следует считать соответственно В = оо и Л = О (круг сходимости соответственно обращается во всю плоскость или вырождается в точку). Во всех точках внутри круга сходимости степенной Ряд абсолютно сходится.
Если в некоторой точке на окружности круга сходи- мости степенной ряд абсолютно сходится, то он сходится АнАлитические Функции игл. Ни абсолютно во всех точках окружности круга сходимости (ибо модули членов степенного ряда для всех точек этой окружности соответственно одинаковы). Если в некоторой точке на окружности круга сходимости степенной ряд либо неабсолютно сходится, либо расходится, то в каждой точке этой окружности он либо неабсолютно сходится, либо расходится.
Рассмотрим теперь ряд Ьа+ — + —,' + ... + — „" + ... или и" п ' (3.8') или Ряд, бесконечный в обе стороны, считается сходящимся, если сходится ряд, составленный иэ членов, лежащих правее некоторого члена, и ряд, составленный из членов, лежащих левее некоторого члена (очевидно, нет надобности Полагая ~ = 1/г, превратим этот ряд в степенной ряд ,~~Ь„~ с некоторым радиусом сходимости р.
Тогда при а 1~ ~ ( р ряд сходится, при ~ ~ ~ ) р расходится. Следовательно, ряд (3.8') при ! г ! ) 4/р сходится, при ) г)(1/р расходится, Полагая г = $/р, найдем, что область сходимости ряда (3.8') есть «внешность» круга (рис. 24) радиуса .и г г с центром О (точнее, внешность этого круга, плюс, быть может, некоторое множество точек окружности). гЖ4 Сходимость ряда (3.8') во всех точр„24 ках вне упомянутого круга — абсо- лютная. Рассмотрим теперь ряд, бесконечный в обе стороны, а „ а а .„+:"+ ... + + +аа+а,г+аага+ ... ...
+ а„г" + ... (3.8") $4$ ствпкнныв Ряды указывать номер этого некоторого члена, так как при другом выборе его упомянутые два ряда изменятся на конечное число членов и, следовательно, нх поведение неизмвнится). Таким образом, ряд (3.8") сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходятся оба ряда +оо а,+а1з+а,за+ ...+а„з" +... или,~~ а„з"; +оо — 1 Оз Оо о 1 от — + —,, + ...
+:„+ ... или )', =„~иля,~'~ а„х ). о 1 — о Область сходнмости первого на атих рядов есть внутренность некоторого круга радиуса В с центром О. Область сходимости второго ряда есть внешность некоторого круга радиуса г с центром О. Если г В, то общая часть упомянутых областей сходимости есть кольцо с центром О (рис. 25). В этом случае область сходимости ряда (3.8") есть кольцо, ограниченное двумя окружностями с центром О (плюс, быть может, некоторое множество Рвс.
25. точек, лежащих на ограничивающих окружностях). Это кольцо называется кольцом сходимости ряда (3.8"). Внутри кольца сходимости сходимость ряда (3.8") — абсолютная. Если г) Л, то ряд (3.8") не имеет точек сходимостн, если г = Л, то ряд (3.8") может иметь точкисходимостнтолько на окружности радиуса г = Н. рассмотрим степенной ряд А, + А, (г — а) + А, (з — а)'+ ... ... + А„(х — а)" + ... или,'~~ Ао (х — а)".
(3.8м) Полагая ~ = з — а, превратим этот ряд в ряд,~~А„ь" с о некоторым радиусом сходимостн Л. Воавращаясь к переменному г, найдем, что область сходимости ряда (3.8'") игл. Рн $42 англитичискик Функции есть круг (рис. 26) радиуса Л с центром а (точнее, внутренность этого круга плюс, быть может, некоторое множество точек окружнос.ти). Этот круг нааывается кругом сходимости .а ряда (3.8"), его радиус — радиусом сходимости (при В = + оо получаем всю плоскость, при В = 0 круг выроРис.
26. Рвс. 27. ждается в точку а). Внутри круга сходимость ряда (3.8"') — абсолютная. Теперь будем расматривать ряд А „ А ...+ " „+ ... + + А, + А, (г — а) + ... (г — а)" "' е — а +С ... + А„(г — а)" + ... или,~~ А„(г — а)". (3.8"") +СО Полагая 5*= г — а, превратим этот ряд в ряд '~ А гс Если он имеет кольцо сходимости г( ~ ~ ! < Л, то область сходимости ряда (3.8"") будет кольцом, ограниченным окружностями радиусов г н В с центром а (рис.
27). Это кольцо называется кольцом сходимости ряда (3.8'"). Внутри этого кольца сходимость ряда (3.8"") — абсолютная. 5 4. Показательные, гиперболичесвне и тригонометрические функции комплексного переменного Для любого комплексного числа г определим функции е', сЬг, зЬ г, соз г, зш г как суммы тех степенных рядов, в которые разлагались эти функции, когда переменное г было действительным. Так как соответствующие степенные ряды были сходящимися на всей числовой прямой, то (в силу теоремы Абеля) они будут сходиться на всей плоскости комплексного пере- менного.
Таким обрегон, полагаем по определению для любого комплексного г: +Ой +ОО (8.10) + О в 5 . Фа+1 вЬг=г+ — + — + ... = ~ —; 3! 5! "' (2в+()! ' +Ф м а~ аэ' сов г = 1 — —, -)- — — ... = ~~, ( — 1)" —; (ЗЛ2) 2! 4! "" (2в)! ' ге зв +О~ жег в(п г = г — — + — — ... =,~~ ( — 1)" —, . (ЗЛ3) 3! 5! "' (ээ+4)! ' (3.9) (ЗЛ1) Иэ этого определения видно, что для действительных значений г этн функции получают уже известные значения.
Затем видно, что сЬ г, сов г — четные (т. е. обладающие свойством ~ (- г)=~ (г)), вЬ г, в)п г — нечетные (т. е. обладающие свойством ) ( — г) = — 1 (г)). Формулы Эйлера. При любом комплексном г в силу (3.9), (ЗЛ2), (3.13) имеем (мв !эы !м~ !Ру + + 2! + 3! + 4! + 5' + ы . еэ еа . ,в 3! 4! ... =1+(г — —,— 1 — + — )+ 1 — — ... м е~ у ее у 2! 4! "') ~ 3! 5! = сов г+ (в(п ге учитывая, что в абсолютно сходящемся ряде допустима любая группировка членов. Таким образом, получаем формулу Эйлера (3.14) ем — сов г+1 81п г Заменяя г на — г, получим: е-" = сов г — ! в1п г. 4 4) покаэателБныв и 'Дгггнн Фгыкцнн 143 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ' ПЛ. Пг Эти формулы также называются формулами Эйлера. С помощью формулы Эйлера (3.14) тригонометрич ая форма комплексного числа (3.1) принимает вид 2= ГЕ", еск (3.15) где г — модулы, Ф вЂ” аргумент 2.
Выражение (3.15) называется показательной формой комплексного числа г. Связь между показательной и гиперболкческими функциями. Имеем при любом комплексном г в силу (3.9), (ЗЛО), (3.11): М Н 24 22 2*=1+ 2 + — + — + — + — + ... 2! 3! 4! 51 ... = (1 + — + — +...)+ (г+ —,+ —, + ...) =СЬВ+вЬ2. 2! 4! Заменяя 2 на — г, получим: е * = СЬ — ВЬг. Почленное сложение и вычитание двух последних равенств дает: е*+ е * = 2 СЬ г; е* — е-* = 2 ВЬ г, откуда а -В СЬ2 = 2 , 'ВЬг= 2 . (ЗЛ6) Связь между трягонометрическими и гиперболнчески- мн функциями. Из (ЗЛО), (ЗЛ2) следует: ИР Рг' м и СЫ2=1+ + 4~ +...=1 — ~~ + 41+...= Ов и аналогично сов и = СЬ 2.
Почленное сложение и вычитание двух последних равенств даот: ен + е '* = 2 сов г; ек — е '* = 2~ В1п г, откуда М+ -Ь Ам О-Ы совг = — ''; в~вг = — '' . (ЗЛ4') 2 и аналогично з(п 1г = дзЬг. Таким обрааом, сЬ дг = соз г, соз дг = сЬ г; зЬ дг = д з(п г, здп 1г = д зЬ г.~ (ЗЛ7) Формулы (ЗЛ7) также непосредственно получаются из (ЗЛ4') и (ЗЛ6). Теорема сложения для показательной функции.
Имеем, учитывая правило умножения абсолютно сходящихся рядов; + В сд ег, кд к=о + СЮ Егг— д=о ,к,! +'"' 1 к,д =од+~=о о к+д о Но и о Х вЂ” =Х а! к г чд п1 к «-к чд к В о-к — г,г, = ~~ — г,го = У, С„гдго = (гд+ го)" к.г.~=о к о Ы и г-'Д Ы ( — ВР к=о (формула бинома Ньютона). Следовательно, + Ю ег егг — 7. (г + г )о ег,+г, 1 В! Таким образом, доказана теорема сложения для показательной функции: е'+** = о*е** (3.13) Отсюда видно, что показательная функция е* нигде в нуль не обращается. В самом деле, если бы е* = О, то для любого ге' = е'е-* = Ое*-* = О, но это нелепо, так как е' = 1 ! $ В1 показательньди и двутии Функции 143 ! Из (3.11), (3.13) следует:- Игг ног / гг зЬдг = дг+ — + — + ...
= д~г — — + — — ...)=дз[лг 3! 51 "' 'д 3! 5! $46 Англитичискнк Функ(в)(и .. !Гл. дм Теорема сложения для тригонометрических функций. Учитывая (3.14'), (ЗЛЗ), (3.14), получаем: е((елее) -1- е ((еедее) е("е(Ь+ е (ь соз(ад+ г ) 2 2 (ссвед-1-дв)аед)(совед-1-(здаее) 2 (сов ед — 1 Ма ед) (сов ее — ( з1а ее) + 2 совг,сове, — в!аг,вшге' ((е~+ее) е-((е*ее) (е|е(еэ Е-(е1 Е-де в!п(г, + г,)— 2( 2( (сов и -1-1 в)а и) (сов ее -)- д з)а ед) 2( (сов ед — 1 в) а ед) (сов ед — ( в1а ее) 21 — вш г, сов ге -(- соз г, з(п гв.
Таким образом, доказаны теоремы сложения для косинуса и синуса: сов (г, + гв) = сов г, сов ге — з1а г, з(п гв; ) вдп (г, + г,) = з!и г, сов г, + соз г, в(п г,. ( Теоремы сложения для гиперболических функций. Ив (ЗЛ7) и (ЗЛ9) находим: сЬ (г, + г,) = сов д (г, + г,) = соз дг, соз !гд— — вш!гдвш!г, =сЬг,сЬг, — (зЬг,двЬг, = = сЬ г, сЬ г, + вЬ г, зЬ г,; в)а((ед+ее) в)а дя сов (ед -1- ссз мд в1а мд вЬ (гд+ ге) — —— д (3.20) 1 вь и еЬ ед + сЬ ед ( еа ге = зЬг, сЬг, + сЬг,заг,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
