1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Пусть ) (з) аналитична в области, гаключенной между контуром С и контурами С» Сз, ..., С„, и на всех втих контурах. Тогда 166 АНАлитические Функции ~гл. ш внутри С, и внутри Сг. По доказанному 3'ч (г) Ыг =~) )(г) ~Ь; ф1(г)йг = у г'(г) йг,' с, са с. с. откуда ~ ~ (г) гЬ = ф / (г) 4г. Формулу (3.39') можно переписать еще таш ф)(г)Ыг+ф Дг)бг+... + ф)(г)йг =О с с. илн ф ('(г)сг = О, г (3.39") где Г есть сложный контур, составленный иа наруяшого контура С и внутренних контуров Сп ..., С„, причем положительное направление обхода Г обозначает, что ограничиваемая - область должна оставаться слева ' (следовательно, обход наружного г контура происходит в положис 5~ тельном направлении, а обходы внутренних контуров происходят в отрицательном направлении).
Интеграл с переменным верхним пределом. Пусть ~ (г) аналитична в односвязной области Рис. 31. Р. Из того факта, что интегра- лы этой функции по замкнутым путям, лежащим в Р, равны нулю, следует, что интеграл от ) (г) не зависит от формы пути, а зависит лишь от начальной и конечной точек пути. Поэтому при обозначении интеграла нет надобности указывать путь, а достаточно лишь называть начало гг и конец г пути, употребляя обозначение 1з $67 ОснОВВАя ткогнмА НОши рассмотрим функцию (интеграл с переменным верхним пределом) в Р(г) =1 К) б~. н Тогда Р(г + й) — г (г) = ~ 7'($) ОЦ 1 = — „~ аь; в в+а ма = — ~ ~(ь)Щ; ~(г) = — „~ у(г) в]ь; в+А [ + А ) Р ( ) Д ) ~ 1 [ 1 ( Ь ) В ( ) ] а г в Так как в точке г функция ~ непрерывна, то для всякого е ) О найдется такое т] ) О, что при [ ь" — г [(Ч будем иметь [ ~(ь) — у (г) ] ( е.
Беря в качестве пути, соединяющего г с г + Ь, прямолинейный отреаок и пользуясь оценкой (3.37), получим при ] а [ ( т[.' откуда следует, что 1!ш =~(г) или Р'(г) =/(г). ь о Таким образом, аналитическая функция всегда имеет первообравную. Б качестве таковой может быть взят интеграл с переменным верхним пределом. Лемма. Если Ф' (г) = О в некоторой области, то в втой области Ф (г) = сопзг. Полагая Ф (г) = и (х, у) -[- Ь (х, у), найдем иа условия Ф' (г) = О, что да да дэ дэ — = — = — = — =О; дл дг да дг но тогда и = сопз$, и = сопзг и, следовательно, Ф (г) = сопзь. [гл.
и, лнллитичвскив егнкпни Иэ этой леммы следует, что всякие две первообраэные от одной функции отличаются на постоянное. В самом деле, если Р,' (г) =Р,' (з), то (Рг (г) — Р, (г))' =Р,' (г) — Р; (г) = О, н поэтому на основании леммы Р, (х) — Р, (з) = совет.
Обозначая знаком ) ~ (г) г(г любую первообразную для аналитической функции ~ (з), найдем на основании сказанного: г ) Л ) Ы = ) Я) г(ь + С, н где С вЂ” произвольное комплексное число. Формально техника отыскания первообразных от элементарных функций комплексного переменного не отличается от таковой для функций действительного переменного, и мы не будем останавливаться на ней. Изложенное выше доказательство существования первообразной остается в силе, если вместо требования аналитичности в односвязней области Р потребовать, чтобы комплексная функция у (г) была непрерывной в некоторой области Р и чтобы интеграл от ~ (в) вдоль любого кусочно-гладкого замкнутого пути, лежащего в Р, был равен нулю, Но первообразная Р (з) от ~ (з) как функция', имеющая производную в Р, является аналитической в Р, поэтому ~ (г), как производная от аналитической функции в Р, сама будет аналитической'в области Р (см.
ч 12). Следовательно, справедлива Теорема Морера. Если непрерывная комплексная функиия1(з) в некоторой области Р обладает тем свойством, что интеграл от ~ (з) вдоль любого кусочно-гладкого замкнутпого пути, леясаи1его в Р, равен нулю, то ) (з) аналитична в области Р. Таким образом, основная теорема Коши обратима и имеет место. Т е о р е м а. Чтобы комплексн я функЧия ~ (з) в одно- связной области Р была аналитической в Р, необходимо и достаточно, чтобы ~ (г) была непрерывной в Р и чтобы интеграл от ~ (г) вдоль любого кусочно-гладкого замкнутого пути, лежаи1его'в Р, был равен нулю.
5 10) интегРАльнАя ФОРмулА коши 3 $0. Интегральная формула Коши Пусть 1 (г) — аналитическая функция в области, ограниченной кусочно-гладким замкнутым контуром С (рис. 32), и на этом контуре. ФиксирУем точку г внутри С и составим функцию 'р(ь) = 1 (ь) — 1(г) Эта функция аналитична во всех точках внутри контура С и на нем, за исключением точки г. Однако при ~ -ь г имеем у Я) -ь 1' (г), поэтому если доопределить функцию у в точке г требованием ~р (г) = 1' (г), гоар (ь) станет непрерывной функцией в ограниченной замкнутой области, ограниченной кон- у туром С, н, следовательно, будет ограниченной.
Таким образом, в рассматриваемой области ( ~р (ь) ( ( К, где К вЂ” некоторое положительное число. Рис. 32. Пусть у — крут радиуса р с центром г, лежащий внутри С. По теореме Коши для сложного контура имешгз р(Иж~ = ф р(1)Ю ч но согласно правилу оценки модуля интеграла (3.37) имеем: ~ ф <р (~) д~ ~ ~ 2ярК, следовательно, переходя к пределу при р -+ О в последнем равенстве, получим.' $ ФК)оь =О, или 1(с) — 103 дВ 0 ь — г тгл.
Нц й10 АИАлитические Функции ИЛИ С С Бо согласно теореме Коши для сложного контура и в силу (3.36) поэтому предыдущее равенство принимает вид~ ф ~(~) 1 — 3я~~(х) = 0, ь — г откуда ~(,) т ~а~и1 (3.40) Формула (3.40) называется интегральной формулой Коши и является центральной формулой теории аналитических функций. Иэ формулы (3. 40) видно, что значения аналитической функции внутри С вполне ,определяются значениями этой функции на С.
Правая часть формулы (3.40) называется интегралом Коши. Рвс. 33. Вместо простого замкнутого контура С можно брать сложный контур Г, состоящий из наружного контура и нескольких внутренних контуров (рис. 33). Тогда в результате такого же рассуждения найдем, что если у (х) — аналитическая функция в области, ограниченной сложным контуром Г, и на нем, то для всякой точки х в этой области справедливо равенство (3.40') г Это — интегральная формула Коши для сложного кон- тура.
171 ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ 1 11! 5 11. Интеграл типа Коши Пусть à — кусочно-гладкая дуга (замкнутая нли незамкнутая). Пусть 1р (Ь) — непрерывная функция на дуге Г (рис. 34). Тогда выражение (3.41) г икгеющее смысл для всех з, не лежащих на Г (ибо тогда подынтегральное вырагкение будет непрерывной функцией от ь), называется интегралом типа Коши. То же мегино сказать о выражении более общего вида Г Ф(г) = к ( кг(Г, (3.41') ~К вЂ” )" гдз Ь вЂ” натуральное число. Покажем, что выражение (3.41') Рис.
Ззг. является аналитической функцией для всех значений г, не лежащих на дуге Г. Учитывая формулу ак — Ь" = (а — Ь) (аьл + а" г Ь + ...+ Ьк '), получаем: Ф (г~) — Ог (г) г~ — г 1 1г (,) (1 г,) (1 г) гг — г гг — г Ьз — г) (4 — гг) (ь — г) (г )к-г + (ь г)к-г (~ г ) + + (к „)к-1 (1 — гг) (~ — г) Фиксируя з и полагая (г г)~'+(4 — г)к '(ь — гй+ .. +(ь — )" ' ъ> зг)— к к (С вЂ” г) (С вЂ” г) 172 АнАлнтнчвскнк Функции игл. Гп можем написать: Очевидно, Ч' (~, з,) есть непрерывная функция своих аргументов, когда ~ лежит на Г н з, не лежит на Г. Она будет равномерно непрерывной функцией переменных („ ее, когда ~ находится иа Г, с, — на круге с цевтром з, не имеющем общих точек с Г (по теореме о равномерной непрерывности функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве).
Отсюда следует, что при е -+ а имеем Ч' (~, э,) — %' (Ь, т) равномерно относительно ~ на Г. 6следствие этого излагаемый 'ниже предельный перекод под знаком интеграла является законным. Иереходя к пределу при х, -~- х, получим: !пп = ~<у(~) Ч" (~, г) б~. г Учитывая, что Ч" (Я,з) = „„, и замечая, что а (б т) ~+1 ьр(Р д ) т(б) )кы зэ | (б,)а 1 ~ приходим к формуле е(с «) ГЮ я ) Г( ГЮ г «ы а 'Гаким образом, Ф (з) имеет производную в каждой точке з, не лежащеи на Г. Итак, если у (Ь) — непрерывная функция на кусочногЛадкои дуге Г, то функция Ф(г) = ~ „ЫЗ являетеФ г )а — )" ся аналитической для всех вначений з, не лежащих на Г, причем производная атой функции получается по правилу дифференцирования под знаком интеграла: Ф'(з) =~ — ~ ~(' „1с(~ =й~ ( .„б~.
(3.42) зт ((б — г) 1 р (б — г) Выражение для Ф' (г) имеет снова тип (3.41'), понтону к нему применимо все сказанное о Ф (г). Отсюда 47З ! 12! ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ заключаем, что функция, определяемая формулой хР(з) х д~ и (П (ь — ) Р хь)=) — „.(„'"„~а= =(х()х+1)...()в+и — $)ч т~ „,„. (3.43) (( ($ — х) 5 22.
Производные высших порядков От аналитической функции Пусть / (2) — аналитическая функция в какой-нибудь области Р. Пусть С вЂ” замкнутый контур, лежащий вместе со своей внутренностью в атой области. Для всех точек з, лежащих внутри этого контура, имеем на основании интегральной формулы Коши: 1(з) = —. хохл — аь. ( .с 1(ь) 2ях ЧЛ Ь вЂ” х Но интеграл Коши, стоящий в правой части, является частным случаем интеграла типа Коши, следовательно, на основании изложенного в Ф И, 1 (2) имеет внутри С преизводные всех порядков, получающиеся на основании (3.43) по формуле 1ох! (2) и! Л 1ф 2я! ~В (~ — х)"чх (3.44) Так как любую точку области Р можно окружить замкнутым контуром, лежащим (вместе с внутренностью) в области Р, то приходим к следующему выводу: всякая аналитическая ((тнкх(ия в махой-нибудь области имеет в втой области производные всех порядков, причем все они являются аналитическими 4))1нкх(иями в втой области.
для всех аначений 2, не лежащих на Г, имеет производные всех порядков, причем выражения для них получаются в реаультате последовательных дифференцирований под знаком интеграла: Анллитические Функции ьтл, 1ц Следует заметить что функции действительно переменного таким свойством не обладают. Функция действительного переменного может иметь первую производную, но не иметь второй производной. й 13. Последовательности и ряды аналитических функций Будем говорить, что последовательность функций 11 (г) 1. (г) .
1ь (г) определенных в некоторой области Р, сходится равномерно внутри области Р, если она сходится равномерно на каждой ограниченной вамкнутой области, лежащей в Р. Т е о р е и а. Если последовательность аналитических функций в области Р 11 (г) 1. (г) 1 (г) сходится равномерно внутри области Р к функции 1(г), то 1 (г) — функция, аналитическая в области Р, причем последовательность производных А (г), 1г (г), , 1' (г), равномерно сходится внутри области Р к производной предельной функции, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
