1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При умножении (делении) мероморфных функций порядки их в каждой точке складываются (вычитаются). Бесконечно удаленная точка. Если к плоскости комплексного переменного добавить один несобственный элемент, называемый бесконечно удаленной точкой со, то получим полную плоскость комплексного переменного. Полная плоскость комплексного переменного в известном смысле слова подобна сфере. Это можно видеть с >гл. Рн 1'88 лнллитичнскик эвикции помощью стереографической проекции.
Пусть имеем сферу (рис. 43), касающуюся плоскости комплексного переменного в точке О (южный полюс). Соединив отрезком прямой северный полюс с точкой з, обозначим через М точку пересечения отрезка со сферой. Если каждому комплексному числу г отнести соответствующую точку М, то между всеми комплексными числами и точками М сферы (кроме северного полюса) будет установлено взаимно однозначное соответствие.
Ркс. 43. Добавляя несобственный эле- мент сс и ставя его в соответствие северному полюсу, получим взаимно однозначное соответствие между точками полной плоскости комплексного переменного и точками сферы. Окрестностью бесконечно удаленной точки назовем внешность какого-нибудь круга с центром О (чем больше радиус этого круга, тем «меньше» окрестность точки оо).
Пусть | (з) аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки. Тогда вне некоторого круга с центром О она изобразится рядом Лорана +Ф н.)= ХА,". (3.53) б Логически возможны и исключают друг друга следующие три случая: 1)' в разложении (3.53) нет членов с поло>кительными показателями; 2) в разложении (3.53) есть лишь конечное число членов с положительными покааателями; 3) в разложении (3.53) есть бесконечно много членов с положительными показателями. В этих случаях сс называется соответственно: 1) устранимой особой точкой; 2) полюсом; 3) существенно особой точкой. Подстановка з = 1д", приводит изучение функции / (з) в окрестности точки к изучению функции ~(1Д~) в окрестности точки О. Поэтому в случае устранимой особой точки функция у (з) стремится к конечному пределу при г -~- (после надлежащего доопределения $89 З 171 ВЫЧЕТЫ функции в а функцию следует считать аналитической в окрестности аа ); в случае полюса в со функция ~ (г) стремится к а при г; в случае существенно особой точки в аа функция 7'(г) в любой окрестности а как угодно близко подходит к любому комплексному числу.
Если в окрестности оо ~ (г) = ~ ~ А„гз =: + —" +..., -4-и -4-а-1 З а аа1 ОР причем А „+ О, то оо называется нулем и-гс порядка для ~ (г). 5 17. Вычеты Пусть а — конечная изолированная особая точка аналитической функции / (г); тогда в окрестности точки а эта +са функция наобраэится рядом Лорана 7 (г) = ~7 А„(г — а)". Коэффициент при ( — 4)-й степени в атом разложении, т. е.
число А „называется зычетсм функции/ (г) относительно особой точки а. Вычет 7' (г) относительно а можно обозначать знаком Веэ ~ (г). а Иэ формулы (3.50) кри и = — 4 найдем: Рис. 44. где 7 — достаточно малая окружность с центром а. Основная теорема о вычетах. Если рункцил 1 (г) аналитична внутри замкнутого контура С и 7и нем, за исключением кснсчнсгс числа точек знутпри С, тс ф~(г) иг с равен произведению 2п1 на сумму зычетоз относительно особых точек ~ (г), лежащих внутри С. Пусть а,, а„...,а,„(рис. 44) — особые точки ~ (г), лежащие внутри С, и а„аз, ..., и — вычеты 7 (г) 43О Анзлнтичксние Функции игл. гн следовательно, вблизи точки а о (а) р' (г) = — — ) = — + В, + В, (г — а) +..., О (х) ф1 (а) откуда Веа р (г) о (а) тх (х) (3.55') Но ф' (г) = хрх (г) + (г — а) хрх (г); ф' (а) = хрх (а); следо- вательно, Вез р'(г) = —, 9'(а) (3.55) хурм веры. сахх Г сазе ! йззсгйх= Нез —.
~ —., ~ = В зшз (зшх)' ~, „ относительно них. Пустьу„у„..., у — окружности вокруг этих точек, лежащие внутри С и вне друг друга. Тогда по теореме Коши для сложного контура и в силу формулы (3.54) получим: фУ (г) х(г = ф ) (г) дг +... + ф 1 (г) Вг = 2лЕ (а, +... + а ), С ъ х что и требовалось доказать. Таким образом, для вычисления интеграла вдоль замкнутого контура С достаточно знать вычеты функции относительно особых точек, лежащих внутри С.
Вычисление вычета относительно простого полхоса. Пусть р(г) = —, где <р (г), ф (г) аналитичны в окрестт (х) $(х) ' ности а и точка а есть простой нуль для хр (г). Тогда а будет простым полюсом для р' (г) (если ~р (а) + 0). Имеем )р (г) = (г — а) хрх (г), где хрх (г) аналитична в окрестности а и хр, (а) чь О. Тогда в окрестности точки а функция хр1 (х) аналитична и — = — + В, (г — а) + В, (г — а) +...; е (х! $ (а) х 1~~ (х) ф1 (а] вычвты Вычеты логарифмической проиввюдной мероморфной функцяи.
Пусть / (з) — мероморфная функция. Тогда логарифмическая производная — будет также мароморф/' (е) / (з) ной, причем нули и полюсы ~ (з) будут простыми полюсами для — . В самом деле, имеем в окрестности /' рб / (з) ' точки а1 / (з) = (з — а)" ~р (з); ~р (з) аналитична, <р (а) + О; /' (з) = и (з — а) ' ~р (з) + (з — а)"<р ' (з)) /'(е) о е' (з) /() — о е(з) Следовательно (учитывая аналитичность второго слагаемого правой части в окрестности а), Кев — = и. /' (з) / (з) Таким образом, вычет логарифмической проиаводной равен порядку данной функции в этой точке. Иа этого замечания и иа'основной теоремы о вычетах вытекает (учитывая, что порядок в нуле и-го порядка равен и, порядок в полюсе т-го порядка ранец — т) следующая теорема. Теорема о логарифмических вычетах.
Если / (з) мероморфна внутри вамкнутого контура и на нем, причем на контуре не имеет нулей и полюсов, то ин тегрил равен произведению 2я/ на разность межд// числом нулей функции р (з), лежащих внутри С (считал каждый нуль столько рав, какова его кратность), и числом полюсов функции / (з),,вежаи/их внутри С (считал каждый полюс столько рав, какова его кратность). Таким образом, — у — с(з = л/ — Р 1 .л /' (з) й ~Цй /(.) $92 АНАЛИтнаыагигхя ФУНКЦИИ (гл.
Ии где Х вЂ” сумма кратностей нулей функции ! (г), лежащих внутри С; Р— сумма кратностей полюсов функции ! (г), лежащих внутри С. Формула (3.56) легко обобщается. Заметим сперва, что если а — простой полюс для «р (г) и «р (г) аналитична в окрестности точки а, то Вез[«р(г)«р(х)] = «р(а)Вев«р(г). (3.55") В самом деле, в окрестности точки а имеем: «р(г) = —, «р« (х) « — а' где «р, (г) аналитична в окрестности а, «р(х)«р(г) = '; Вевф(г) = «р«(а); а Вез [«р (х) «р (г) ] = «р (а) «р«(а); а следовательно, равенство (3.55") справедливо.
Пусть ! (г) удовлетворяет отмеченным выше условиям и «р (г) — какая-нибудь аналитическая функция в об- ласти, ограниченной контуром С, и на нем. Так как каж- дая особая точка логарифмической производной мероморф- ной функции есть простой полюс, то для всякой точки а, являющейся нулем или полюсом ! (г), имеем: Вез ~«р (х) — ] = «р (а) Вез — = п«р (а), !'(«)1 !' (х) ! (х) 1 = . ! ( ) = где и — порядок ! (г) в точке а, Поэтому иэ основной теоремы о вычетах следует, что если а„ вЂ” нули ~ (г), лежащие внутри С, п«А — кратности их, Ь« — полюсы лежащие внутри С, п« вЂ” кратности их, то —, «.]А «р (г) — «]х =,)', т„«р (ах) —,)'«п«р (5«).
( .«. !'(«) 1 с а ! (х) (3.56') При «р (г) = 1 эта формула обращается в (3.56). Вычисление вычета относительно краткого полюса. Пусть а есть и-кратный полюс для ! (г). Тогда в окрест- 1 17) вычвты ности точки а имеем А „ А /(г) =:"+ ...+ -+<р(г) (в — а)п '' в — а ]где ср (г) аналитична в окрестности точки а]; отсюда (г — а)") (г) = А „+... +А а (г — а) ' + + (г — а)" ср (г) в окрестности точки а. Дифференцируя это равенство и .— 1 раз; получаем: ](г — а)"1 (г)]( -а) = (п — 1)! А а + ](г — а)" ~Р (г)](о-а). Но для последнего слагаемого точка а является нулем, так, как для (г — а)" ~р (г) точка а является нулем кратности ' не ниже п (прн каждом дифференцировании кратность нуля понижается на единицу), следовательно, в пределе при г-» а получим.' 1пп Кг — а)"7' (г)](" ') = (и — 1) ! А н откуда А в = — )1]ж](г — а)п/(г)]( Таким образом, если а есть а-кратный полюс для 7' (г), то Кейр(г) = —,1пп](г — а)"7(г)]~ ".
(3.57) Из этой формулы при л = 1 легко получить выведенную ранее формулу (3.55) для вычисления вычета относительно простого полюса. Пример. 1 1 ~ (в 1)и 1("-1) 'е (вв + 1) (" 1)( Й ].(вв + 1)" ] ( — 1)" а л (и + 1)... (2п — 2) — 1!ш (и — 1)( с 1 1)⻠— 1 [3.57Г) ( — 1)" ап(п+1)... (2п — 2) 1 (2п — 2)! ( — 1)! (21) " ' 2" аКп — 1)(Р 7 П.Н. Романовский англитичвскнв ч инкции Првлошение вычетов к вычислена ю несобственных интегралов.
Пусть ~ (г) — функция, имеющая выше действительнойосилишьконечноечислоособых точек а, Ь, ..., й (ряс. 45) и не имеющая особых точек на действительной оси. При В, достаточно большом, точки а, 5, ..., й будут лежать внутри верхнего полукруга радиуса В с центром О. Имеем (С обоаначает контур полукруга): ф/(г)ах =2яь(Кев~(г)+ Кев~(г)+...+ Кев~(г)); (358) с « ь и но ~(г)дг = ~~(х)Их+ ~ 1(г)дг, -и чв где уя — верхняя полуокружность радиуса В с центром О. Если при. г-» оо (в верхней полуплоскости) ~ (г) стремится к нулю быстрее, чем С '; 1/г, т. е. если' ~(г) = —, а (ч) где и (г) -» О при г-» со (в верхней полуплоскости), то Кш ~ ~(г)Ыг =.О. ««ч чя Рис. 45 В самом деле, для всякого в найдется такое А ) О, что при -)г( «.А, у „,«О (г = х + гу) имеем )а (г) ~ < в.
Тогда ~~ ~(г)Аг~ = ~~ — '* — 'Аг~( — „' яВ =яв, что и требовалось доказать. Следовательно, ив (3.58') в пределе при В'-» + ос по- +В Я лучим ~понимая ) как Кш ~ ): «« в «ь . 3 ~(х)ь(х = 2яь (Кев~(г)+... + Кев~ (г)). (3.58) « а ь $ 17) вычнты ИтаК, если у (в) аналитична в верхней пелуплоскости у вО, аа исключениемконечного числа особых точек, лежак(их выше действительной оси, и если при в -ч- оо (в верхней полу ловкости) у (в) стремится к нулю быстрее, чем 1/г, то ) 1(х)бх существует и равен произведению 2я( ОО на сумму вычетов 1' (з) относительно особых точек, лежащих в верхней полуплоскости.
В частности, если у (з) имеет в оо нуль кратности в 2, не имеет особых точек на действительной оси н имеет только конечное число особых точек выше действительной оси, то формула (3.58) применима. В частности, (3.58) применима, если 1 (з) есть рациональная дробь, в которой знаменатель не имеет действительных корней и степень знаменателя превышает степень числителя более чем на единицу.
+и ох ПРммеР х. Найти ~ х4+4 .Кориизнаменатвлясуть~1~ ь М Следовательно, +и ах / 1 — = 2я1 (Кев — + Кев —,, хч+4 ~1+1 хв+4 +1 х'+4 ) Оп [(4з') = +(4~) /1+1 — 1+11 я ~ — 16 + — 16 / 4 +а зх Пример и. Найти „. Корни знаменателя суть ~ 1 (кратности и), следовательно, учитывая (3.37'), получаем: +( хх 1 = 2л1 Квз (Хз+Цп 1 (зв+1)х 1 3...(2п — 3) (2п — 2)) 21п-з((п 1)))з 2.4... (2п — 2) !гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
