1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Поэтому иэ предыдущей теоремы и реэультатов 1 6 непосредственно вытекает Т е о р е м а. Длг того чтобы отображение и = ~ (г) было кон(борггнмм 1-во рода (2-го рода) в-данией точке,' 21О лнллитичкскив Функции необходимо и .достаточно, чтобы у (г) (у (г)) была д ренцируама е этой точке ы имела е ней производную, личную от мулл. Пусть | (г) дифференцируема в данной точке г и в этой точке у' (г) + О, тогда отображение ю = у (з) будет конформным х-го рода в точке з, причем р = у' А'+ С' = ( А (- гС ( = (~' (г) (; Таким образом, выявляются: 1) геометрический смысл модуля производной: Если в данной точке у' (г) + О, то ()' (г) ( есть коэффициент искажения масштаба в этой точке отображения ю=((г); 2) геометрический та проиаводной: Если в данной точке у' (г) + О, то Агп у' (з) есть, угол, на который поворачиваютсн все «направленияз, "выходящие из этой точки при отображении ю = у (г). В дальнейшем конформное отображение х-го рода будем просто нааывать конформвым.
смысл аргумен- П р и м е ч а н и е. Если рассматривать отображение и = = ((з) области 1) полной плоскости комплексного переменного в волную плоскость .комплексного переменного, переводящее точку ге в точку кю то дзяное ранее определение конформности отображения з точке з, теряет смысл, если хотя бы одна вз точек з„ыз есть со. Если г„конечно, мс = со, то отображение и = ( (з) называется 1 конформным в точке г, когда отображение и = — конформпо о ( (з) в точке з . Если зз = со, то отображение ы = 7(з) называется кон- ( 1 ) формпым в точке сз, когда отображение и= (~ — )конформно в точке О. Пользуясь отображением и = —, можно говорить о зпаг празленняхз, выходящих пз точки з = со при номощи соответствующях апапрзвл пий», выходящих вз точки з»= О. Заметам еще, что с помощью стереографической проекции (см. $16) точку о можно сделать равноправной с конечными точками.
з 203 ' конФОРмнын отовгажиния овллстий 2И' б 20. Коиформные отображения областей Общие замечания о 'действиях иад отобра>кенпямн, Пусть Б — отображение множества А в множество В, Т вЂ” отображение множества В в множество С,(природа элементов всех этих множеств безразлична). Тогда произведение ТЗ отображений 3 и Т определяется нак такое отображение множества А в мноясество С, которое является результатом последовательного выполнения Я и Т.
Это значит, что (ТБ) (а) = Т [Я (а)) для всякого а из А. Произведение отображений обладает сочетательным свойством У (ТБ) = (УТ) 3. Если Я вЂ” взаимно однозначное отображение множества А на множество В (зто значит, что каждый элемент из В имеет ровно один прообраз в А), то можно говорить об обратном отображении Я ' множества В на множество А (если каждому элементу из В отнести его прообраз в А). Если каждому элементу иэ А отнести этот же элемент, то получим тоя<дественное отображение Е множества А на себя. Очевидно, Я ' Я = Е.
Аналогично, ЗЯ ' = Е (здесь Š— тождественное отображение В на себя). Если Я и Я, — взаимно однозначные отображения А на В, Т вЂ” взаимно однозначное отображение В на С, то из ТЗ = ТБ, следует Я = Я,. В самом деле, последовательно находим: Т-' (ТБ) = Т ' (ТЗ>), (Т->Т) Я-= (Т->Т) Б„ ЕЯ = ЕЯ„ Аналогично из ТЗ = Т,Я найдем Т = Т>. Однолистные функции. Функция ~ (з), определенная в некоторой области, называется унизалентной на.некотором множестве (входя>цем в область определения), если разным точкам этого множества отвечают разные значения функции.
Мероморфная (в частности, аналитическая) функция ~ (з) в некоторой области 0 называется однолися>ной в Р, если она унивалентна на Р, 212 Аналитичкскин Функции и'л. Пг Если мероморфная функция / (з) однолистна в области Ю, то в каждой регулярной точке этой области производная отлична от нуля. В самом деле, если в некоторой точке г /(гз) = а, /' (гг) = О, то г будет а-точкой кратности выше первой, а тогда в силу одного иа следствий ие теоремы Руше (см. г 18) при Ь, достаточно близких к а, / (г) более одного раза принимает значение Ь, что противоречит унивалептности.
Однолистная функция / (г) в области Р может иметь пе более одного полюса, причем этот полюс может быть только простым. В самом деле, если г — полюс для / (з), то гз — нуль для 1// (г), а так как 1// (г) тоже однолистна, то по доказанному г, — простой нуль для 1// (г) и, следовательно, простой полюс для / (г). Всякая аналитическая функция / (г) однолистна в достаточно малой окрестности каждой точки, в которой производная отлична от нуля. В самом деле, пусть /' (гз) + О, тогда если бы ни в какой окрестности гг/(г) не была однолистна, то нашлись бы такие последовательности точек а„и Ь„, что а„- зю Ь„-~- -+ гю а„+ Ь„, / (а„) / (Ь„).
Пусть тогда у — окружность с центром га и радиусом р, где р таково, что / (г) + / (гг) при О ( ( г — г ( ~ р. Очевидно, / (г) — / (г,) имеет внутри у только один нуль (с учетом кратности) и не имеет нулей на у. Но /(г) — /(а„) -~./(г) — /(ге) равномерно на у, следовательно,— по теореме Гурвица — при п, достаточно большом, / (г) — / (а„) имеет внутри у тоже лишь один нуль (с учетом кратности), и мы получаем противоречие, ибо при достаточно большом я эта функция имеет внутри у нули а„ и Ь„. Всякая мероморфная функция однолистна в достаточно малой окрестности каждого простого полюса. В самом деле; если г, — простой полюс для / (г), то г, — простой нуль для 1//(г).
По доказанному 1//(з) однолистна в некоторой окрестности точки г„следовательно, / (г) однолнстна в этой же окрестности. 3 а и е ч а н и е 1. Если /(з) мероморфна в полной плоскости, то / (г) есть рациональная функция. В самом деле, пусть г„..., з„— полюсы / (г) (числе их, ° О и, конечно, среди них может быть сс). Вычитая иа / (г) сумму главных частей / (г) в полюсах г„..., г„, получим функцию, аналитическую в полной плоскости, но конФОРмныв Отовгажнния овласткй 213 таковая в силу теоремы Лиувилля является постоянной. Следовательно, ~ (з) равна сумме постоянной и своих главных частей в полюсах г„..., з„. Таким обрааом, ~ (з) рациональна. 3 а м е ч а н н е 2. Если / (г) мероморфнаи однолнстна в полной плоскости, то ~ (г) есть линейная функция (т. е.
В самом деле, ~ (з) может иметь не более одного полюса и таковой моя~ет быть лишь простым. Как мы видели в предыдущем замечании, ~ (з) равна сумме постоянной и главных частей ~ (з) в ее полюсах; следовательно, в раей сматриваемом случае ~ (з) может лишь иметь вид с +— (если есть конечный полюс а), с + йз (если со есть полюс), Случай отсутствия полюсов не может представиться, нбо в этом случае ~ (з) была бы постоянной. Итак, ~ (з) линейна.
Заметим, что значениями ~ (з) будут.все точки полной плоскости. Отметим еще один факт, относящийся к однолистным функциям. Если ~ (г) однолистна в области, полученной выбрасыванием иэ Р некоторого множества точек, не имеющего предельной точки внутри Р, то после надлежащего доопределення в точках этого множества ~ (з) станет однолистной в области Р. Действительно," точки упомянутого множества являются изолированными особыми для ~ (г).
Учитывая однолистность ~-(з) и теорему Сохоцкого, легко заметить, что эти особые точки не могут быть существенно особыми, следовательно, в них ~ (з) естественным образом доопределяется и становится мероморфной в Р. Если бы она в двух точках Р принимала одинаковое значеяие а, то в любой близости к этим точкам она принимала бы любые, достаточно близкие к а значения, что противоречит однолнстности ~ (з) в ее первоначальной области определения. Конформное отображение области на область.
О и р е д е л е н и е. Вааимно однозначное отображение и = ((г) области Р на область Л, конформное в каждой точке области Р, называется конформным отображением области Р на область Ь (речь идет об областях на полной плоскости). лмллитячвсква фтпкцип- 1гл.
ш Всякая мероморфная (в частности, аналитическая) однолистная функция ~ (э) в области Р дает конформное отображение ю = ~(з) области Р на соответствующую еи область значений функции ~ (г). Это следует иэ того, что проиэводная однолистной функции в каждой регулярной точке отлична от нуля (и воамоясный полюс — простой), и иэ того, что отображение конформно в точке, если выполняющая отображение функция имеет в атой точке отличную от нуля проиэводную (или простой полюс). ..Для. практического построения .конформных отображений областей полезна Те о р е м а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
