1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 33
Текст из файла (страница 33)
58), (<Рс 6 (Ф(7е+ 6. (г-+: В, Этим докааано, что и (з, + гела) -«/(~рс) при ~,р, ' ° (р р. Таким образом, покавано, что если на окружности )в — зе ( =. В проиавольно ладана непрерывная функ- ЗАДАЧА ДИРИХЛИ ДЛЯ КРУГА. 231; $ 21) дня ф (з), то существует единственная действительная непрерывнаяфункцияи (г) на круге ( г — яо ( ( В, гармоническая при ) я — яо ( ( Л и равная ф (з) при ( я — я (= = Л. Эта функция определяется формулой (3.78), еслнположить | (а) = ф (х, + Веы). Следовательно, задача Дирихле для круга разрешима. Свойегва гармонических фушщий.
Отметим предварительно некоторые неравенства. При 0 (г< Л и всяком ф Л вЂ” г Лз — гт Лз — гз Л + г Л" — 2 Лг + гз Лз — 2Лг соз~р + г* Лз — г' Л+ г ~ Л вЂ” 2Л. + г~ — ' (3'70) но леван часть при увеличении г уменьшается, а правая увеличивается, следовательно, Л р — П И Л+ р ' Лз — 2Лгозагр+ гз < Л р 0(гн:,р(Л. (3.7Я') Из сказанного в конце $20 следует, щ+лг что если А есть замкнутая область, ограниченная простым замкнутым конту- рзгг ром Г (на плоскости комплексного пере- з менного з), К вЂ” круг ) ь) ~~ 1, С— окружность ( Ь ( = 1 (ва плоскости Л -зз' комплексного переменного Ь), то существует такое взанмно однозначное и Рис. 53.
взаимно непрерывное соответствие ~ = Ь (з) между точками Ь и К, при котором Г отображается на С (тогда обратное соответствие з = з (ь) отобразвт С на Г) н ~ (з) являетсн аналитической функцией внутри Ь. Пусть ф (з)— произвольная непрерывная действительная функция на Г, тогда ф (з (Ь)) будет непрерывной действительной функцией на С. Согласно изложенному существует непрерывная действительная функция и (Ь) ва К, гармоническая внутри К и совпадающая сф (з (Ь)) на С. Тогда и (з) = и (~ (з)) будет непрерывной действвтельной функцией ка а, гармонической внутри Ь н совпадающей с ф (з) на Г (заметим, что гармоническая функция от аналвтической функции гармонична потому, что суперпозиция аналуггическвх функций аиалвтична н потому, что гармоническая функция есть действительная таста аналитической функции).
Таким образом, задача Дкрихле разрешается для в с я ко й заик; нугой области, огранвченяой простым замкнутым контуром. 1гл, гн 232 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Напомним (см..з 13), что последовательность функций в некоторой области Р называется равномерно сходящейся в н у т р и Р, если она сходится равномерно на каждом ограниченном замкнутом множестве, содержащемся в Р (для этого достаточно равномерная сходимость на каждом круге К, лежащем в Р). Т е о р е м а.
Если последовательность функций и„(х), гармонических в некоторой области Р, равно ерно сходится внутри Р, то предельная функция и (г) гармонична в области Р. Доказательство. Пусть К вЂ” круг с центром гв и радиусом В лежит в .Р. Применим к и„(з) формулу (3.77). Так как на окружности круга К и„(г) — г.
и (г) равномерно, то предельный переход показывает, что и (э) представима внутри К интегралом Пуассона (3.78) с 7 (а) = = и (з, + Ве"), следовательно, и (з) гармонична внутри К, но К вЂ” любой круг, лежащий в Р, следовательно, и (г) гармонична в области Р. С л е д с т в и е. Если ряд с членами, гармоническими в области Р равномерно сходится в и у т р и.Р, то его сумма гармонична в области Р. Теорема Гарнака. Пусть у„(з) — положительньы гармонические функции в некоторой области Р. ~г Если ряд ~о„(з) сходится хотя бм в одной точке об- 1 ласти Р, то он равномерно сходится внутри Р.
Доказательство. Пусть К вЂ” круг с центром з, и радиусом В, лежащий в Р. Умножая неравенство Л' — г1 Л+г У вЂ” 2Дг сов (а — ) + гг ~~ Д— на — „о„(зв+ Вег") и интегрируя по и в пределах от' — и 1 до и, получим, учитывая (3.77) и (3.77'); о„(гв + ге'") ( — оч (го). Л+г откуда следует, что если в точке зв ряд „г,о„сходится, 1 то он сходится в каждой точке внутри К.
Пусть К„ К„..., КФ вЂ” цепочка кругов, лежащих в Р и таких, 1 211 ЗАДАЧА Д ИРИХЛВ ДЛЯ КРУГА 233 что точка сходимости гь есть центр круга. К;, центр каждого К, (1 ( у ~ т) лежит внутри К; „2 лежит внутри К„, где Š— произвольно выбранная точка в В. В точ- СО ке Х в силу изложенного ряд,'5', о„оказываетсясходя- 1 щимся, но 2 — любая точка в .О, следовательно, ряд 'Я о„сходится в области Р. Пусть К вЂ” п р о и з в о л ь- 1 н ы й круг с центром х, н радиусом р, лежащий в П, К— концентрический круг большего радиуса Л, также лежащий в П.
Умножая неравенство Я2 — гь В+р д1 г е(„)+,(д, ГДе 0(г1 Р на — о„(21+ г1е'") и интегрируя по а в пределахот — я до я, получим Ро (г1 + ГЕЬг) ( — Ро (Х,) Прн 0 ( Г ( р, В+о - о „о Ог следовательно, ряд ~ о„(х) мажорируется на круге 1 СО К числовым сходящимся рядом ~ч ~, — о„(г ) и, следо- я+о и 1 вательно, равномерно сходится а К, но К вЂ” любой круг в )г, следовательно, ряд ,х',о„(х) равномерно сходится 1 внутри .Р.
С л е д с т в и е; Если возрастающая или убывающая последовательность гармонических функций в некоторой области Аг сходится по край ей мере в одной точке этой области, то она равномерно сходится внутри В. Т е о р е м а Л и у в и л л я. Положительная гармоническая на всей ловкости функция есть постоянное. Доказательство, Пусть о(г))0 гармонична на всей плоскости.
Возьмем какое-либо число х = ге1'. Умножая неравенства Н вЂ” г и „* д+г Н-~- ~ ~~ 2Ч1 — 2яг сов(а — ~р) + гэ йг' Анллитичаскив юункпки [гл, гн на — о(Веы) и интегрируя по а в пределах от — и до я, получим В+' о(0)(о(з)( — +" о(0), откуда. в пределе при  —,» + оо о (0) г ц (г) ( о (0), следовательно, о (г) = о (О) на всей плоскости. С л е д с т в ив.
Если функция гармоническая на всей плоскости ограничена снизу или сверху, то она есть пос'- тоянное. В самом деле, пусть и гармонична на всей плоскости; если и )с, то и — с ~0, и — с = сопа1, и = сопа1; если и ч с, то — и ) — с, — и = сопз1, и = сопаФ. Т е о р е м а (об устранимой особой точке). Если и (з) гармонична в области В, га исключением точки зо, лежа- и1ей в Э, и и (з) ограничена вблизи г, то и (г) можно так доопределить в яичке г, что и (з) станет гармонической но всей области В. Докааательство.
Пусть К вЂ” круг с центром з, и радиусом В, лежащий в П. Пусть г, — точка, ле- жащая внутри К и отличная от г,. Рассмотрим функцию В И = 'е1п —, где г = ( г — з, (, а — положительное число. Легко видеть, что У гармонична на всей плоскости, кро- ме точки гм и равна нулю при ~ г — зо ~ = В. Пусть функ- ция о (з) непрерывна при ( з — г 1(В, гармонична прн ( з — г, 1 ( В и совпадает с и (г) при 1 г — з, 1 = В (та- кая функция существует, ибо задача Дирихле для круга разрешима). Так как и (з).
ограничена вблизи з„то ю = = и — о ограничена при 0( 1 з — з ( ( В, и пусть ! ьс ! ( ( 'М лри этих г. Пусть р выбрано,так, что 0 ~ р < ) г,—  — зо1, а(п — »'М. На кольце р == 1з — зг 1 в- В функция юнепрерывва, внутрикольца гармонична,при1з.— зо) =В В ю = О, нри (з — з .( р (ю1(М(а1п — . Таким обрааом, на границе кольца 1ю 1 ( О, следовательно, )ю (г,) 1 «» У (г,) = е 1и —, где г, = 1 г, — з, 1. При е -» О В 3'1 получим в пределе ю(з,) = О, и (з ) *= о(зг). Пп з,— $211 ЗАДАЧА ДИРИХЛИ ДЛЯ КРУГА любая точка внутри К, отличная от ге, следовательно, и (г) = и(г) при 0(12 — г, ) < В. Таким образом, полагая и (г,) = и (г,), мм сделаем и гармонической в Р.
Докаэаяяая выше теорема о достяжеиии крайних эиачеяий ва границе и теорема единственности остаются в силе, если вместо гармоничяости и (г) внутри Ь требовалось лишь выполнение формулы (3.77') для всякой окружности, лежащей вместе со всей внутреняостью внутри Ь. Пусть П вЂ” проиэвольяая область, и (г) — такая действительвая кепрермвкая функция ва В, что для каждой окружкости С, лежащей вместе со своей ввугревкостью в В, выполкяется формула (3.77'). Пусть К вЂ” круг, лежащий в П, о (г) — вепрерыввая функция ка К, гармояическая внутри К и совпадающая с и (г) ка окружности этого круга. В силу теоремы единственности и = — о ка К, следователько, и гармонична внутри К, йо К вЂ” любой круг в Р, следовательно и гармояичяа й.П. Такам образом, локаэяка .
Т е о р е и а. чтобм. двйствителькал Яункцил на кроиввольнвй области В била гармонической, необходимо и достаточно, инэум она била нелреривна в В и чтоби ее гначение е центре каждого круга, лежащего в ге, раенклось среднему вначени1о ее на окружности втоео круга. Гармояическая фуякция в некоторой области одиоэкачко определяется своими значениями в какой-либо подобласти, т. е. справедлива Т е о р ем а.
Коли на данной области имеем две гармонические вдуннции, соекадаю1цие на некоторой иодобласти, то вти сдункции совладают на всей данной области. Д о к а э а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что гармоническая функция в некоторой области В, равная нулю внутри кекоторого круга К, лежащего и П, .равна пулю в области В. Пусть Я вЂ” проиавольяая точка в В, б — одкосвяэиая подобласть, содержащая К и Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
