1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 36
Текст из файла (страница 36)
(4.32) 4 в Р(л,г) найдем, что система коэффициентов 1„(х) этого ряда будет искомой системой Я. Формулы для коэффициентов ряда Лорана (см. гл. 111, $15) позволяют выразить функции 1„(х) рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной екруя«ности С (комплексное параметрическое уравнение которой есть г = во«, — я «= «р ( я) в простой интеграл, нолучнзгг интвгэальнов'пэвдстлвлении'' Проиаводящая функция системы бесселевых.функвий с целыми индексами. Покажем, что для системы бесселевых функций 1-го рода с целыми индексами У„(х) (и = О, ~ $, -(- 2, ...) пронаводящая функция есть) а 1 Р(х,х) =ее (* 4.
Имеем: ( — хЛз) ( ~ч~ (ех(2) х е $ откуда после почленного перемножения 'этих равенств (умножаем абсолютно сходящиеся ряды, стоящие в правой части, и соединяем в одну группу члены, содержащие одинаковые степени х) найдем: ;,*( --',) 2 ~ — ц" (*Ф"" ~-' ~~у д ~ ( 1) (х/2) + ~ а у ( 1) (х(2)~+~а х ~ — ало ре я~-ФО е (так как в предпоследней внутренней сумме и и ( были свяэаны аависимостью е — Й = п, то мы могли положить ( = = л -)- Й, получив суммирование по одному индексу Й). В последней внутренней сумме суммирование проиэводится (л ~ 0 по всем тем целым Й, для которых ~ „следовательно, +6Ф при и ~ О это будет ~~~~~, при л = — т(0 это будет а-ю +ЮО Таким обраэом, во всех случаях внутренняя сумма есть Х„(х) в силу формул (4.20') и (4.20"').
Итак, м 1 +" ее ( * ) =,~~ ~у„(х) х", 00 256 о нвкотогых спзпихльных эвикциях [гл. гч х~ 1) — Ь- — ) но зто и доказывает, что вз 1 *1 есть производящая функция для системы Х„(х). Выведем некоторые следствия из формулы (4.33). Полагая з ней в = е1х, получим: +ах е'"мах =,Я Х„(х) е'"х, — х откуда после разделения действительной и мнимой части (учитывая, что Х (х) = ( — 1)"Х„(х)) + аю сов (*зш ф) =,'Я Х„(х) сов пф = +~а хх Хв (х) + ~'~ (Хх (х) + Х х (хЦ сов пф = х,"1 +ОЭ =Хе(х)+2 ~ Х, (х)сов2в1ф; (4.33') т 1 +СО +СО з1й(хв1й ф) ~ ~ ~Хх (х) 81йпф = ~ !Хх(з) — Х-и(х)1 81йпфхх ~о 11=1 +6Ю =2,Ц~ Хв +1(х)в1й(2гп+1)ф; .(4.33") Заменни в (4.33') и (4.33") ф на — —.ф, найдем: сов(хсов ф) = Хв(х) + 2,Я ( — 1)" Х, (х) сов 2лгф; ' (4.33"') ~х 1 + 0 в1й(хсовф) = 2,~~ ( — 1) Х, +1(х) сов(2т+1) ф.
(4.33'") Интегральное представление Т„(ж). Так как, по доказанному,при1„(х) = Х„(х) имеем Р(х,з) =е' ~ *), то по формуле (4.32) получаем (используя в преобразованиях 25Т РЯДЫ ФРРЬК вЂ” БВССЕЛЯ формулы Эйлера) о 1$ <,<о-;<о> е' е-1 «<(ф = — ( е<оо<'о'-< 'Яр = 2я,1 ец «<а < й1<(ф =* — ~ сов(ха(п<р — к<р) <(ф -(- 2я 1 Г з1п(хзшф — яф) <(ф = — ~сов(хе(п<р — иф)<йр, о а (Х) 1 = — 1 1 у„(х) = — „1соз(х в<и <р — пф) с<ф. 1 <' о (4.34) Формула (4.34) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра х. Эта формула называется икя<еералькмл< - иредся<ааоекиело Бесселя для «„(х), правая часть формулы называется иктеералол< Бесселя.
В частности, при п = 0 найдем: .То(х) = — ~сов(хв(пф)<(ф. 1Г о (4.34') й 6. Ряды Фурье — Бесселя Рассмотрим на каком-либо интервале Х (конечиом или бесконечном) два дифференциальных уравнения у" + Р (х) у = О, з" + () (х) з = О, (4.35) где Р 'и <',) — ' непрерывные функции на 1. Пусть у и з— ненулевые решения этих уравнений. 'Умнов<ение на з н на у и последующее вычитание дают у"з — уз" = (у'з — уг')' = (Ч вЂ” Р) уз.
9 .П. Н. Романо«окка где принято во внимание, что сов (х вш ф — пф) есть четная функция от ф, в1п (х ип ф — иф) есть нечетная функция от ф. Итак, доказано, чтодлялюбого целого числа и®О) ' 258 о нккотогых спкциальных эвикциях цл. тт Пусть а и р принадлежат 1 и у (а) = у (р) = О, тогда после интегрирования в пределах от а до р получим э у' ((3) з (~)) — у' (а) г (а) ° ) (ч — Р) уг с(х. (4.36) Если а и р — соседние нули решения у (х), то между а и р у (х) сохраняет постоянный знак, пусть, например, у (х) ) 0 на (а, р) (в противном случае следует заменить у на — у), тогда у' (а) ) О, у' (р) (О (равенство нулю исключено, так как у — ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка).
Если на 1 Р (х) ( (() (х), то г должна по крайней мере раз обращаться в нуль между а и р, так как иначе з сохранит постоянный знак на (а, р). Пусть, например, з (х) ) 0 на (а, р) (в противном случае заменяем з на — з), и тогда иа (4.36) получим противоречие, ибо левая часть (О, а правая ) О. Таким образом доказана теорема сравнения Ш т у р м а: если Р (х) ( (1 (х) на расом триваемом интервале 1 и если у и г — ненулевые решения уравнений (4.35), то между каждыми двумя соседними нулями у (х) находится но край ей мере один нуль г (х). Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия.
Если Р (х) ( 0 на 1, то каждое ненулевое решение уравнения у" + Р (х) у = 0 может иметь на 1 не более одного нуля (это легко видеть, если положить ч (х) = 0 и ваять г = 1). Если Р (х) ( Мг на 1 (где М ) ) 0), то для всяких двух соседних нулей а и р (а ( р) каждого ненулевого решения уравнения у" + Р (х) у = 0 имеем р — а ) я/М (это легко видеть, если положить () (х) = Мг, взять з = з(в М (х — с) и заметить, что нулями г будуттолько числа видас+ —, й целое). Если кя (~ (х) ) т' на 1 (где т ) 0), то для всяких двух соседних нулей каждого ненулевого решения уравнения з" + + 9 (х) г = 0 имеем 3 — а ( и (это легко видеть, если положить Р (х) = т' и взять у = юп т (х — с)).
Из сказанного следует, что если т' ( Р (х) ( М' на 1, то для всяких двух соседних нулей а и р (а ( р) каждого ненулевого решения уравнения у" + Р (х) у = О имеем — (~) — а ( ( —. 259 в в1 РЯДЫ ФУРЬЕ БЕССЕЛЯ Изложенное показывает, что если Р (х) непрерывна на (а, + со) и превышает некоторое положительное число~ вблизи + со, то каждое ненулевое решение у (х) уравне-~ ния р" + Р (х) у = О имеет на (а, + со) бесконечно много нулей. Если еще у (х) вблизи а не обращается в нуль, то, эти нули образуют бесконечную возрастающую последовательность Л„, имеющую пределом +ос, а если, кроме того, 11ш Р (х) = с', где с > О, то -э1. Ла+1 Ла Х +00 я/в Рассмотрим уравнение Бесселя х'у» + ху' + (х' — тв) у = О на интервале (О, + оо). Подстановка у = х Чг приводит к уравнению г'+ 1 — г = О.
Очевидно, р иг имеют одни и те же нули. Так как Х„(х) = = х"б„(х), где 6, — целая функция, то 1, (х) не имеет нулей на (О, е) при достаточно малом е ) О, и так как 1' Ув —— 1 — — -э1 при х-а + со, то при каждом т нули 4 Х„(х) на (О, + оо) образуют бесконечную возрастающую последовательность Лир )Мз~ ° ~ Люа~ ' ° ° Лаа+1 Лча причем + -а 1.
Если Л > О, то Х„(Лх) удовлетворяет уравнению х'у" + ху' + (Лвх' — тв) у =- О на интервале (О, + со). Подстановка у = х чг приводит к уравнению г+ Лв —, г =О и, следовательно, г' х Х„(Лх) удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных а и 260 о нвкотогых спвциальных эвикциях ~гл. гт () имеем 4 й+ аз —, )и=О, где и= у'ху„(ах), 4 й+ 'рз —, /о= О, где и = у' ху„9х), откуда й'о — ии" = (и'и — ий)' = (~)з — а') ии, с ледовательно, 1 (и'и — ий) ~, '= (рэ — аз)) из ох, где 0(е(1.
(4.37) с и' (1) о(1) — и(1) й (1) = (3з — а*) )игах, о т. е 1 (3з — аз) ')хХ„(ах) У„((3х) Нх =' аХ„(а) Х„(~3) — ()Х„(8) Х„(а), о (4,38) откуда видно, что если а и р являются разными нулями фуинции Х„(х), то 1 ) ху„(ах) Х„(3х) ох = О, о Этим доказано, что при т ) — 1 система функций Х„(Х„,х), Х„(Х х), ..., Х„(1,„х), ... (4.38') на. интервале (О, 1) является ортогональной относительно веса р (х) = х. Пусть теперь т ) — 1. Разложение ио по степеням х начинается с члена, содержащего х*"+~, разложение и'и— — ий по степеням х начинается с члена, содержащего х'" ', так как коэффициент при х'" равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (4.20). Следовательно, нз (4.37) при е -~ 0 получим 261 в в) РЯДЫ '1 УРЬŠ— БЕССЕЛЯ Переходя к пределу при р -~ а в соотношении СО 1(х)-Ха Х,( х) П 1 (4.40) коэффициенты которого определяются формулами а„= —, '1 1 (х) Х, ()(„х) х в(х.
(4.40') „. ц, 1 Можно докаэать, что система функций Х„(Х, х) на (О, 1), ортогональная относительно веса х, эамкнутая и, следовательно, к ней применимо скаванное в $14. В частности, если ряд Фурье — Бесселя (4.40) равномерно сходится, то сходится к порождающей его непрерывной фужции ~ (х). 1 Можно покаэать, что если т ) — —.
и ~ (х) непрерывная на (О, 1) и кусочно-гладкая на (О, 1) функция, то ряд Фурье — Бесселя этой функции сходится к ней при 0 С ( х ( 1. 1 .( у ( ) у 3х) а " 1ч(") м (3) — Н, (3) .( ) в и испольэуя правило Лопиталя,'получим при всяком вв ) 0 а (У„(аЦ1 — У„(а) 1„(а) — аХ„(а) У„(а) х (У„(ах))'в(х — " " " " ", (4.39) в следовательно, если а является нулем функции Х„(х), то 1 ~ х (,)„(ах) 1) дх = — [У„(а)]~. (4 39 ) в Таким обрааом, при каждом т ) — 1 всякой непрерывной функции ~ (х) на (О, 1), удовлетворяющей требованию 1 ) (1(х))вхв(х(+ оо, в поставлен в соответствие ряд Фурье — Бесселя 262 о нвкотогых спвпиальных етнкпиях (гл.
1т б 7. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексок для больших значений аргумента Пусть ер (х) — положительная функция и 7' (х) — какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений х. Запись 7' (х) = О (~р (х)) при х -в. + оо означает, что найдутся такие числа х, и М, что при х ) ) х, имеем ( У (х) ! ( Мер (х). Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если Ф (() — положительная функция и Р (() — какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений 1, то запись Р (8) = 0 (Ф (()) прн ( -~- О означает, что найдутся такие числа з и М, что ( Р (() ( ( ( МФ (1) на (О,:).
Вспомогательная лемма. Если )' (1) деаасди непрерывно ди(ду)ерепцируема иа (О, Ц, то деа удупиции Р() = — '~ — ')(1) до имеет место асимптотиоеспое иредставеепие (.—;-) Р (а) = — 1(() + О ~ ) при л -в+ оо. е /11 Докажем эту лемму. Замеаяя ка ( — д получки: 1 е'" 1 ) (( — 1) — ) (() о рср е 7) АСИИПТОТИЧПСКОИ ПРИДСТАВЛИНИН 263 Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
