1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 38
Текст из файла (страница 38)
На рис. 64 и 65 иэображены графики интегрального синуса и интегрального косинуса при нормировках э1 (+ оо) = = О; с1 (+ со) = О. В случае нормировки э~ О = О иэображенный на рис. 64 график интегрального синуса следует сдвинуть вверх на л/2. ГЛАВА Ч ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА $ 1. Вспомогательные сведения об внтегралах, зависящих от параметра Замечания о несобственных явтегралах.
Если / (1)— комплексноэначная функция, непрерывная на сегменте 1а, Ы, эа исключением точки а (в которой она может быть не определена и вблизи которой может быть не ограниче- Ь ь на), то по определению ~~(1)аг = 11пь '(1(1)Ю, если этот ° ~0 а асс предел существует и конечен. Аналогично, если ~ (1) непрерывна на (а, Ь), за исключением точки Ь, то по опредеь Ь-с лению ~~ (8) й = 1ип ~ ~ Я ИФ, если этот предел сущестс.аа д а а вует и конечен. Если ~ (1) непрерывна на (а, Ь), эа исключением ь точек а и Ь, то по определению ~1(1) й = $~ (1) М+ ~~(1) й, а а с где а ( с ( Ь, если оба слагаемых в правой части имеют смысл (очевидно, это определение не зависит от выбора числа с).
Если ~ (1) непрерывна на [а, Ь], эа исключением конечного числа точек с„с„..., сю гдеа ( с, ( сь ( ." ( ср(. ь с1 сс ь ( Ь, то по определению ~1(1)~11 = ~+ ~+... + ~, если а а с, ср все слагаемые правой части имеют смысл. ч и инткггллы, здвисящив от плглмнтгл 275 Пусть теперь 1 (!) непрерывна на (о, + оо), за исключением, быть может, иаолированных точек и). Тогда по +ее ! определению ~1(!)еИ = Иш ~1(!)Ж, если все интегралы ! +ее а а а , где!) а,существуютиесли Вш ~существует и коне+ ее д а а Ф чен.
В этом случае несобственный интеграл ~ 1(8) Ф а называется сходящимся. Если интеграл ~ !1(е)!!е! сходится, то несобственный а +ее интеграл ~ 1 (!) еее называется абсолютно сходлщ!ьисл. а Абсолютно сходящийся несобственный интеграл всегда +ОО сходится. Очевидно, ~ 1(!)!(! абсолютно сходится, если а ! 1 (г) ! ( !р (г) (при е ~ а, за исключением, быть может, изолированных точек), где ер (!) — такая действительная +а неотрицательная функция, что ~ !р(!)е(!сходится. В этом а случае говорят, что несобственный интеграл ~ 1(!)й а леажорируется несобственным интегралом ~ <р (!) е(е.
а Пусть 1 (е, р) при каждом значении параметра р в некоторой области Р является непрерывной функцией от ! на (а, + оо), за исключением, быть может, изолирован- а) Мы говорим, что некоторый факт имеет место ка некотором давкам ккториило, еа иенаючением, бить лежеиы иеоаиреиенних точек, осли ка каждом согмовте, лежащем ка давкам интервала, может находиться яо более конечного числа точек, э которых рассматркиаомый факт ко кмеот моста. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И'Л. У ных точек. Если при каждом значении р в Р интеграл +»а ! )(1, р)с)а сходится и ~/(с, р)с)с при )-«+со стремится а а к своему пределу равномерно относительно р в Р, то +»ю несобственный интеграл ~ Т(с, р)сье, зависящий от парае метра р, называется равномерно сходящимся в области Р.
Достаточным условием равномерной сходпмости интеграла, зависящего от параметра, является мажорируемость его сдодящвмся интегралом от некоторой неотрицательной функции. Если Р— область на плоскости +а» комплексного переменного р, то ~ ((с, р)Ф будем назые вать равномерно сходящимся внутри области Р, если он равномерно сходится на каждой ограниченной замкнутой области сь, лежащей в Р (см. гл. Ш, $13).
Апаавтпчеевая аавпевмеечь от параметра. Л е и ы а. Пусть У (б р) — ненрсривная комнлексноакачная функция двух нервменних С» р: действительного нсременноео С на сава»ентв (а, Ь) и комнлексноео неременноео р е области В. Пусть ата функция нри каждом аначении С на (а, Ь) является аналитической функцией от р е области П. Товда а (С, р) обладает такими ясе свойствами и функция ь Р(р) $((с, р) йс а будет аналитической функцией от р е Р, нричем ь Р'(р)-$('(ю,р) ба а Д о к а е а т е л ь с т в о, Тот факт„что 1р (б Р) есть ЯепРерыввая фупкцпя от с, р, проверяетая тап: прп с„- с внаем((с„,р) - ) (с, р) равномерно внутри Э (пбо ) (с, р) равномерно непрерывна прв с па [а, Ь) и р ва А, где А — какая-либо ограниченная запкпутая область в В), следовательно, в силу теоремы ь (3 главы Ш пиесы ар (СЯ, Р) - )р (б Р) Раанеиауиа ВНУТРИ Р, ЕтПУДа ВИДНО, Чта ПРП (,.-, будем выеть »р (ан» РЯ) ет»ер (Ф» Р) ннтнгулпы, влписящнк от плулмптул 277 «-1 .Далее, имеем Р (р) !!ш ~~~~ ~1(с„, р) йс» при псах Ьс» О »-о (рис.
66), причем сходвмость — равномерная ввутри области С). Действительно, «-с '»+с «-з Р (Р) — ,~~ 1 (с», Р) Ос» - ~~~~ ~ 1 (с Р) йз— »-о »ос» с '»+с «-1 '»+1 1(с» Р) ус= ~ ~ (1(с Р) — 1(с»,Р)).ссс. 1» ьоТ» (а,»)ир нал,гдел но1(с, р) равномерно непрерывна при с на какая-либо ограниченная замк- нутая область в В, постону для всякого (е ) О найдется такое з) ) О, что если (ЛС»( < з), то (1(с, р) — 1 (с», р) (< е при а с с»< !<с„+ лс», р не Ь, ( ь' Рис. 66, следовательно, при псах Ас» < с) и любом р на Ь будем иметы ~ Р (р) — 'Я 1 (с», р) Лс» ~ < е (» — а), » е что и доказывает равномерную сходимость ~ 1(С», р) ЬС» к Р (р) » е внутри области Ю. Наконец, в силу теоремы ) 13 главы !Н р (р) будет аналитической функцией от р в области !), причем «-1 р (Р) )йп С ~,Я 1(ею Р) Лс» ~ =' !йп '.ус 1' (с»,р)лс» $1' (с, р)йс, »-е а чго и требовалось доказать.
Т е о р е и а. сурета 1 (с, р) — ненрернвнаа компвененозначнак уннцик двук неременннк С, р: дейетвитеаьного неремекнозо С на а, + оо), кроме, дить мелеет, изовированннз точек, и комкввкенозо переменного р е области Р, Пусть, кроме тово, зта Сдункцик при (гл.
и ПРИОВРАЗОВАНИИ ЛАПЛАСА каждом уяомянутом вначении Г будет анавитической от р в области +ге Р. Предноложим еще, чшо несобственний интеграл ~ /(Г, р) дс на а каждой ограниченной сомкнутой области А, лежащей в Р, маясорируется нгкоторим сходящимся интегралом ош действительной Ьы неотрииательной Ссу нивки.
Тогда у (р) = )» (Г, р) бт будеш аналитической Яункцией ош р в области Р, яричем у'(р) = ) /„(г р) бг а Док а э ательство. Если сегмент[с,д),лежащийна [а,+со), не содержит упоминавшихся в тексте теоремы нволированных точек,то в силу леммы ) / (г, р) бг будет аналитической функцией от р с в Р, проиаводная которой равна) /,(ц р) дд Если с (илн Н) атрее матея к одной из наэванных иэолированных точек сг (или дг), то а ае в силу условий теоремы ~/(г, р) дг - ) /(г, р) дг ( или к ) ) равно. с се с мерно внутри Р, поэтому в силу теоремм 1 13 главы 111 проиэводо Ог а ае наЯ от ) / (Г, Р) бт ( или ~ ) бУдет Равна ~ /р (Г, Р) бь ( или ~ ) . После са с се с этого эаключаем, что при любом 1) а производная от )/(Г, р) бт ! будет равна ~ » (Г,р) дс.
а г +ее Наконец, в силу условий теоремы ~/(г, р) дг - ~ /П Р) дг а а равномерно внутри Р, следовательно, в силу теоремы 1 13 главы +ее +ее 1П пРоиавоДкаЯ от ) /(Ф,Р)бт бУДет Равна ~ /р(Г,Р)дс, что а а и требовалось доканать. 279 пгвовглэовлник лАплАсА б 2. Преобразование Лапласа Пусть ~(г) — комплексноэначная функция, непрерывная на [О, + оо), эа исключением, быть может, иэолированных точек. Если действительное число г обладает тем +аа свойством, что несобственный интеграл ~ [ ~ (г) [е " аг о сходится, то числа, большие г, также им обладают.
Отсюда следует (рассуждая, как в $3 главы 1П при введении понятия радиуса сходимости степенного ряда), что либо найдется такое действительное число го, что при г) го упомянутый несобственный интеграл сходится, а при г( го расходится [число го наэовем понагатагаи роста функции ~ (о)), либо для всех действительных г упомянутый несобственный интеграл сходится (тогда покаэатель роста функции у (г) считаем равным — оо), либо для всех действительных г он расходится [тогда показатель роста функции у (г) считаем равным + оо)). Если покаэатель роста ~ (г) меньше + оо [будем говорить в этом случае, что 7' (г) имеет ограниченный рост), то 7' (г) абсолютно интегрируема на каждом сегменте [0, а)„ где а)0.
В качестве примера отметим, что если ~ (г) на [О, + оо) удовлетворяет неравенству [1 (г) [ (Ме", то 7' ($) имеет ограниченный рост и кокаэатель роста (г. В самом де ле, тогда интеграл ~ [~(г)[е~о'ис[г при всяком е) 0 о сходится, ибо он мажорируется сходящимся интегралом Ме ыйг = —. М в Если 7' (г) имеет ограниченный рост, то ОЭ Р (р) = ~ 1(г) е" й о является аналитической функцией комплексного переменного р в полуплоскости Вар ) г„где г — показатель Роста 7' (г) (число го наэывают еЩе абсуиссой абсолютной 250 [гл.
ч ПРЕОБРАЗОВАНИн ЛАППАСА Р(р) = ~ ~(1)е "'о(г, о иаэывается преобравоеанием Лапласа. При этом пишут: У(е) = Г(р). (5.2) Употребляется еще обозначение (5.1) ФО Ь ц(1) ) =~ ~(1) е гей о (5.3) (л — внак преобраэования Лапласа). Мы дали эдесь более узкое определение оригинала, чем это принято в' общей теории првобраэования Лапласа, чтобы в дальнейших выкладках иметь дело лишь с такими понятиями интеграла, которые даются в элементарных общих курсах математического аналиэа; Такие оригиналы достаточны для практических надобностей. сходимости интеврала Лапласа ~ ~(о) е "о й).
В самом о деле, упомянутый интеграл равномерно сходится в каж- дой полуплоскости Ке р > в„где в, > во, ибо на ней он +а мажорируется сходящимся интегралом ~ ~ / (с) ~ е-" <Й; о значит, рассматриваемый интеграл подавно равномерно сходится внутри области Вв р ) в и, следовательно, по теореме т 1 является аналитической функцией в этой об- ласти. О и р е д е л е н и е. Комплексноэначную функцию ~ Р), непрерывную на (О, + оо), эа исключением, быть мо- жет, иэолнрованных точек, и имеющую ограниченный рост, наэовем оривиналом. Аналитическую функцию Р (р) комплексного переменного р = в + оа, определенную фар+ сю мулой с' (р) = ~ ~(в)е с'сИ при Ве р ) в, где в,— о покаэатель роста 1 (1), назовем ивобралсением оригинала у (с). Преобраэование, относящее оригиналу ~ (в) его иэо- бражение Р (р), 281 пгвовгазованнв лАплАсА Замечания. Если встречается надобность нродолжить оригинал / (1) иа отрицательные значения г, то полагают 1' (Г) = 0 при Г «с.
О. Если 11ш 1 (1) существует и конечен, то обозначим его ! +9 1 (+ 0), если Иш ~ (1) существует и конечен, то обозначим 1-~+со его ~ (+ ос). Если / (г) — оригинал, то, очевидно, ~ ~ (1) ~ будет оригиналом с тем же показателем роста. Линейная комбинация оригиналов, очевидно, есть оригинал. Если ~ (1) — оригинал, то, очевидно, ~ (аг) (а — положительное число), Г~ (1), 1 (г — т) (т — действительное число), ем ~ (О (Х вЂ” комплексное число) тоже будут оригиналами. Покажем еще, что если ~ (м) — оригинал, то ср(О = = ~1(и)йи будет непрерывным на 10, + оо) оригиналом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
