1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 42
Текст из файла (страница 42)
-о / (+ оо), если р ) 0 и р -о- О. Сперва заметим, что показатель роста ф (~), и подавно показатель роста ~ (г), не более нуля и потому Р (р) имеет смысл при всех р) О. Пусть 0 < р < е, где е ) О. Тогда +~«+« рР(р) = р $ ~Яе Р'со = $ ~( — )е ~оИр 1 (Р) ! (Р) (о) +«« +00 ф( — )е о8= е ~ ф(8) е '~до сходится; кроме того, о о р( — )е -«~(+ оо)е при р«0 равномерно на каждом Уо~ сегменте [а, [о[, где 0(а([~(+ оо.
Следовательно, в в в! огнгиналы с иэовван!нииями силу докааанной теоремы рР (р) = ~ 1( — ) е ~ с!! - ~ 1 (+ оо) е ~ а! = 1(+ оо), что и требовалось доказать. Целые функции экспоненциального типа, О и р е д е л е н и е. Целая функциями (г) комплексного переменного г называется целой функцией экспоненциального типа, если можно найти такие положительные чие ла С, о, что для всех комплексных вначений э выполняется неравенство ! 1 (г) ! ( Се и! .
+ Л е м м а. Д'лл того чтобы степенной рлд,"!А„в изображая целую функцию экспоненциального типа, необходимо и достаточно, чтобы длл некоторых положительных чисел С, Ю выполнялись неравенства ~ Ак ~ с. С вЂ”, (й = О, 1, 2,...). необходимости Д о к а з а т е л ь с т в о +ю :Пусть ~ (в) =,~~Акг" — целая функция зкспоненциальь ного типа. Тогда ~~ (в) ( ( Се'П! при всех г, где С и ив некоторые положительные числа.
В силу неравенства (3.48) для модулей коэффициентов ряда Тейлора (гл. 111, 5 14) находим при всех В ) О ) Ак )( — „(й = О, 1, 2,...). Беря'Л = й/о (й = 1, 2, ...), получим.' С поэтому, полагая Ю = еа, будем нметкл ~ Ак!(С вЂ” „, (й = Ою 1, 2 ° ° ) !!ь 308 ~гл. и пгвовглзовлник лАплАсА Д о к а з а т в л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и. »В Пусть ! Аь ) (С вЂ”,, где С и б — некоторые положительные числа. Тогда, очевидно, степенной ряд ~А ьгг сходится для всех з и изображает целую функцию / (г), причем для всех г имеем: +а» ~~(г))( ~ ~ Аг() з~" (,'5~ С-~ — ~~'-( — = Сеет, о 6 что и требовалось доказать. Заметим, что операции линейного комбинирования, умножения на независимое переменное, умножения на показательную функцию, линейного преобразования независимого переменного, дифференцирования и интегрирования, примененные к целым функциям зкспоненциального типа, приводят снова к целым функциям экспоненциального типа.
Необходимое и достаточное условие регулярностиизображекия в бесконечности. Т е о р е м а. Д'ля того чтобы изображение было регулярным е бесконечно удаленной точке, необходимо и достаточно, чтобы оригинал яелялея целой функцией зкепоненциального типа. Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с ти. Пусть оригинал ~ (г) есть целая 'функция экспоненциального типа (точнее, ~ (г), заданная на (О, + оо), продолжаема до целой функции экспоненциального типа).
Тогда, в частности при г ь О, будем иметь: +С» »г 1Я =,Я А„8"; (Аг)(С вЂ” (С)0; Я)0). з Очевидно, при г» О, Ве р = з ) Я имеем: ф~Аггз е '~~-.,Я ~А„Р" е "(,Я С ~, ° е "=Се" ч~ о о о +с» ч интегРал ~ Се о анде = —, сходитсн;,,'~~Акт" е '"-» з з вв! огнгиналы о изОВРАжкниямн 309 Ь [,,'~',Авв"~-~Ь[~(в)) прн Кар) 8, но 3! А„ АДА„г"1 = ~~~',АвЬ(в") ~,— „„" ! О 0 в Р следовательно, й! А, Х Ц(В)) =,~~ — „.
в . нри Ке р' > 3, в причем ряд в правой части сходится при ~ р ~ ) 8 и изобра-', жает аналитическую функцию в окрестности бесконечно ' удаленной точки. Это доказывает, что изображение Р (р) после аналитического продолжения на окрестность бес- ' конечно удаленной точки становится регулярным в ней и ' а! А. г (р) =,Я вЂ” „," прн )р~)Я. в=в Р Таким образом, если / (г) —.целая функция экспоненциального типа и если ее разложение в ряд Тейлора есть ОР ~~А„в", то изображение ~ (в) определяется формулой в ИА„ Р(р)= Х вЂ” „„". в=о " (5.27) Д о к а з а те л ь с т в о н е о б х од и но от и.
Пусть изображение г" (р) оригинала / (г) после аналитического продолжения оказалось регулярным в бесконечно + у (в) с а' равномерно на каждом (О, а), где а ) О. Сле- ' довательно, на основании теоремы о предельном переходе, под знаком несобственного интеграла ! +а а +в ~,,'~~ Авт" е ~ оВ- ') ~(В) е Р'М в о в зю ПРКОВРАЭОВАНИИ ЛАПЛАСА игл. 7 удаленной точке.
Лорановское раэложение г' (р) в окрестности оо !учитывается, что' Р (р)-~ О при Нер-О. + Оо) имеет вид '" Вв р~»= Х вЂ”,' в=1 Р Пусть положительное число Я лежит в области сходимости Вв этого ряда. Тогда ряд ~ч~~ — „сходится; следовательно, схоВв„~ Ваы В„„~ дится и ряд ~1 — ~ибо — Я вЂ” ), поэтому его чле- Л.1 ОВ ( О В Л 1+1 )' ВО+1 ны ограничены, т. е. ~ — в~(С, где С вЂ” некоторое полоВвн ! Вв жительное число, откуда ~ — „, ~ ( С вЂ” „; следовательно, д — Π— целая функция экспоненциального типа.
По доч1 ВО+1 в и О казанному +" Вв„в +" Вв„+" Вв Х вЂ”," "= Х -Е = Х вЂ”," = р(р): О О Р 1 отсюда (так как оригинал вполне определяется своим изо- ОВ бражением) эаключаем, что ~(~) = ~~ —,1, чтоитребова,Ввн „ О лось доказать. Заметим, что всякая регулярная в бесконечности аналитическая функция, равная нулю в бесконечности, являетсн иэображением некоторой целой функции экспоненциального типа. Таким образом, с помощью преобраэования Лапласа устанавливается взаимно одноэначное соответствие между всеми целыми функциями экспоненциального типа и всеми аналитическими функциями, регулярными в бесконечно удаленной точке и равпыми в ней нулю.
Нахождение оригинала по его изображению (когда оно регулярно в бесконечности). Предыдущие выкладки показывают, что если г" (р) — какая-нибудь аналитическая функция, регулярная в бесконечно удаленной точке и 1 В) ОРИГИНАЛЫ С ИЭОВРАЖЕНИЯМИ ЗИ равная в ней нулю, и если ее лорановское раэложение в окрестности со есть '" Вй р(р) = Х вЂ” „", й гР то (5.28) будет оригиналом, имеющим иэображение г" (р). Иэображения бесселевых функций.
При т > 0 (см. гл. 1У, $2, формулу (4.20)) функция — =Х -4» ~„~1) ~ (1(2)'й 1 ~4 ( ) ИГ(У+а+1) будет целой функцаей экспоненциального типа. В самом деле, модуль коэффициента при (ы в правой части равен 2ЫИ Г (т + й + 1) ' 2ЫИ (т + й) (т + й — 1)... (т + 1) Г (т + Ц 1 1 Г (т + 1) 2 й (й(р ' но 2'~ (к))а ь (2й)! (Это неравенство проверяется методом индукции: при и = 0 оно верно; если оно верно для некоторого к, то переход к й + 1 сводится к умножению левой и правой частей соответственно на 4 (Ь + $)а и (2к + 1) х х (2к + 2), но 4 (к + $)' ) (24 + 1) (2Ь + 2), следовательно, неравенство будет верно и для й + 1.) Таким обраэом, при всех комплексных г ! й! Г(т+ й-(-1) ( Г(т+ 1) ~~ (2й)( ~ Г(м+ 1) и, следовательно, Х„(1)/1" — целая функция экспоненци- ального типа.
312 (гл, ч, ПРЕОВРАЗОВАННИ ЛАПЛАСА В силу (5.27) 1„~р> (2А)1 — =' С> (- $) 2а"а(Г(ч+ а+1) рж,~ ~ (5.29) где т — любое действительное неотрицательное число. При т = 0 отсюда находим: но биномиальное разложение покааывает, что Г ~~ / р 1 ~ Р / ~'" 2а" ф)~рж 1+— Р3 следовательно, ~'о (1) ° 1 1 1 Р 1 Г" т+1 1+— рз (5.30) Покажем методом индукции, что .7„(1), ( р + р) (и = О, 1, 2,...). (5.31) Р'р +1 У„(1) = У (1) — 2Х„, (1) . ' . (г'р'+4 — р) ' р'+ 1 2р (~р'-~- ~ — РT ' ( ~р'+ 1 — р)" При п = 0 зто следует из (5.30). Далее, в силу свойства 423 У (1) = — Х (1) — — + 1 = р+1 р+1 и, следовательно, при и = 1 доказываемая формула также верна. Пусть теперь зта формула верна для всех неотри.цательных целых индексов, меньших л (где л > 2); тогда (см.
гл. 1Ч, 2 3, формулу (4.27)), учитывая, что У„, (0) = О, находим: Таким образом, формула (5.31) доказана. Рассмотрим теперь функцию Р(р) = —, з-~Фа (л = О, 1, 2,...). Р ' Эта функция регулярна в бесконечно удаленной точке и Р (со) = О, следовательно, она является иаображением некоторой целой функции экспоненциального типа 1 ((). Так как +а з +а +г ы В ы и+ты то в силу (5.28) ( — О ~ (() = 'Е а)'( + а)( " " но (см. гл. 1Ч, 1 2, формулу (4.20')) следовательно, 1(Г) очи (2 ~ () Таким образом, ('гЧ„(2~~) —.' — „, е ~' Р"" (л = О, 1, 2, ...) (5.32) и, в частности, при и = 0 '~о (2 г г) .— ' — с гж. Р (5.33) $ 9.
Изображения некоторых специальных функций 1. Изображения логарифма и интегрального логариф.- ма. Очевидно, 1пг есть оригинал с нулевым показателем роста. Пусть 1л( — Р (р); тогда (принимая во анимание свойства 6 и 4 $3 и учитывая, что (1в( — (-+ 0 з э)' изовглжания нвкотогых спвцивльных етнкцнн 313 В 314 1гл.
ч ПРИОВРАЗОВАНИН ЛАПЛАСА при 1-е- О) Ю 1п1 м — Р'(р); Ф 1п | — 1. ' — Р' (р) — —; (11п1 — $): ' РР (Р) ° Р но (11п 1 — 1)' = 1и, следовательно, - рр'(р) - — = р(р) Р рр'(р) + р(р) = -— Р !РР(р)1 = — —, С+ р)г (р) = — 1 п р, 1.ар С р(р) = — — — —. Р Р Полагая р = 1, найдем; +С С = — )г(1) = — ~ 1пг е-'й = 0,577., е Это число иазываетси постоянной Эйлера. Можно пока- зать, что С = Иш (1 + — +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
