1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 43
Текст из файла (страница 43)
+ — — (п и). 1 1 В->+ оо 2 ''' в Итак, 1пг —. 1ар С Р Р (5.34) е где С вЂ” постоянная Эйлера. Рассмотрим теперь 11е' (см. гл. 1Ч, 4 8). Имеем: ! е' " е' — 1 е 1 й е' = ~ — ' й1 = ~: й1 + 1п1 = ~: йи + с + 1п 1, где с — произвольная постоянная. Но (учитывая свойст- во9Н8$3) 1 е' ~=:— р — 1 ) з) изоВРАжвния никотоРых спвциальных ФУнкций 315 и е' — 1,— ' — — —, р — 1 р — г-с~ ( — — — )Но =1пр — ?л(р — 1), 5(~ — т з) см ( Ьз Р Ьй (Р— 1) с" — ди и . Р Р с Следовательно, пользуясь (5.34), получим) Ьар Ьз(р — () с Ьа р С Р Р Р Р Р Ьа (р — 1) С вЂ” с Р Р и при надлежащей нормировке интегрального логарифма будем иметьл 1(е' —. Ьа (р — () Р (5.35) 2.
Изображения фуннпий, связанных е интегралом вероятностей. Положим: ег1(1) = = ~с™с(и; Ег](8) =1 — ег1(г). 2 Г уя 1 Очевидно, ег1 (е) есть непрерывная возрастающая функция на (О, + оо); ег1 (0) = О, ег1 (+ оо) = 1, Ег1 (г) есть непрерывная убывающая функции на (О, + со), Ег1 (0) = 1, Егб(+ оо) = О. Рассмотрим функцию / (Г) = е'ег1 (У' с) (очевидно, зто оригинал), и пусть ~ (г) — ' р (().
учитывая, что (ег1(1)]' = = е-'*, найдем: уя 1'(8) =е' ег1(Р ))+ е'=е-' — = г'я 2 Уу = е'ег1(Уг)+= =1(г) + =; следовательно, после перехода к иэображению (пользуясь свойством 4 1 3 и учитывая, что у (0) = О), получим: рр(р)=р(р)+ — '- — ",'*' = р.(р)+ — '-. и'л~ » нгвовгьзованни лапласа 313 откуда $ О-ОКФ Таким образом, е'ег$ ф г),— ( ~>)~ ' Затем е' Ег( (г'7) = е' — е' ег( (~~ г) ~ Р 1 (р — 1) ур р+ур и, таким образом, в' Ег((~ г).-=~ —, (3.38) г+ г'г откуда по правилу смещения изображений Ы()/г)-.,М ' (5.39) 3.
Иаображения интегрального синуса и - интегрального косинуса. Имеем (на основании свойств 9 и 8 $3)» "$ я!пг -— Ф+т ' в!о Ф Р Ыг я —,-а ~ — = — — агсЩ р; Ф зги+1 2 ~ —" Ии;в — ( —" — агой р); о следовательно (при нормировке з! 0 = О), н агстя р з(Г~ 2р р (5.40) откуда по правилу смещения изображения (свойство И 5 3) ~~Уа (5.37) г Кр+$' 1 э) иэовгажвния нвкотогых спвпкальных Фгнкпнн 317 Далее (учитывая свойства 9 и 8 5 3), сов г — $ г р Р'+ 1 соэ(о ' — ,' Р 3 О3 ссэ 1 Р ( ~ 1 ) Г Э + 1 ~ Р =Ьп=; г' р(- 1 соо о — 1 Р— ди о — Ьп М г' Ро+1 сЬ1-~~ — а =~~ — (1+1псГ сосо Г соо Π— 1 4 1 3 1 с 1 "— 1 ди+с+)п(, о где с — проиэвольная постояннвц следовательно (крини- мая во внимание (5.34)), Ьпр С Р Р Ьа(ро+1) С вЂ” о э Р Ьа(ро+ 1) о с11~ Ьп р Р 2р + р Ьа(Р + 1) 2р (5.44) 4. Иэображения интегралов Френеля.
Имеем (польэуясь свойствами И н 8 4 3): Г ('/о) г' я . 1 ==1 1 1/7 ' Ожо 1 ои о-Э р'Р уй 21 Уя 1 1 21 (у; р' о поэтому при надлежащей нормировке интегрального ко- .синуса будем иметь: 348 пгиовгьвовании лапласа следовательно, полагая 8(е) = = ~~ =Нсе (синус Френеля), (5.42) получимся у + — ~Гр— Далее (учитывая свойства И и 8 $3), Ут Кг' сове 1 есс+е с' ~й( т 1 с е (5.43) следовательно, полагая С(г) = =,( —" Ыи (косикус Френеля), (5.44) получимс С(1) — ~р' + е р 2 г' 2 р )с' ре -(- 1 (5.45) б $0. Формулы обращения (5.46) Преобрааование Фурье и его обращение. О и р е д е л е н и е. Пусть у (с) — комплекснозначная функция на (- оо, + оо), непрерывная всюду, за исключением, быть может, изолированных точек, и абсолютно интегрируемая на ( — оо, + оо).
Преобраеоеанисм Фурье функции / (г) кааывается функ- ция 319 ФОРмулы ОВРАщвния Преобразование Фурье функции / (с) называют еще спектральной характеристикой функции / (г). Легко видеть, что Р (и) непрерывна на ( — оо, + со) и +а ~Р(и) ~< ~ (У(Х) !ад О Теорема обращения преобрааования Фурье.
Если у (в) удовлетворяет упомянутым в предыдуи)ем определении условиям, то в каждой точке д в которой~ дифференцируема, имеет место формула обращения (обратное преобравование Фурье) (5,47) еде 1э Это непосредственное следствие из формулы (1.46), доказанной в 1 10 главы 1. Преобразование Меллнна и его обращение. Пусть б (х)— комплекснозначная функция, непрерывная на (О, + со) всюду, за исключением, быть может, изолированных то- +09 чек. Если ) хк-г ~ б(х) ~ Ых (здесь г — действительное о число) сходится при г = г, и г = г„то он сходится при всяком г, лежащем между гг и г, (это следует из того, что если г, < г < г„то х' < х' при х < 1, х' ( х' при х ) 1). Отсюда легко заключить,что либо упомянутый интеграл при всех г расходится, либо найдутся такие а н Ь ( — со < а < а= Ь + оо), что при а < г < Ь упомянутый интеграл сходится, а при г < а и при г ) Ь расходится.
В последнем случае (если а < Ь) интеграл Мелли а ) хг ву(х)ах о имеет полосу абсолютной сходнмости а < Кер < Ь, причем в каждой полосе а, < Кер < Ь, (где а < а, < Ь, < Ь) его сходимость — равномерная. Из теоремы 3 1 вытекает„ 320 пРвоВРАаоВАнив лАплАСА [гл. '$' +С «в(р) = ~ хР'у(х) Йх, в (5.48) аналитическая в полосе а ( Вор ( Ь. 3 а и е ч а н и е. Если преобразование Меллина функции у (х) есть С (р), та прн а < с ( Ь преобрааованием Фурье функции е ь«у (е ') будет С (с + «и).
В самом деле, с помощью подстановки х = е ' находим: О(с+ «и) = $ е «с«-«Ю«б(е-«)«Ц $ е ~«б(е «)е «ч««)«. Теорема обращения преобразования Меллима. Если д (х) удовлетворяет отмеченным в предьйу«ием определении условилм, то в каждой точке х, в которой у ди«ру)еренбируема, имеет есто у«ормула обращения (обратное преобравование Меллина) с+«ьв у(х) = «,— ««в(р) х-в««р, ««- с В (5.49) с+«а 1$ш -«в+ ° с причаи с — любое действительное число, удовлек«воряюи«ее неравенствам а ( с ( Ь.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если д (х)дяфференцируема в точке х, то после подстановки х = е-' функция е 'я (е ') будет дифференцируема в соответствующей точке но тогда в силу предыдущего аамечания и теоремы обращения преобрааования Фурье найдем в упомянутой что он изображает аналитическую функцию С (р) комплексного переменного р = в+ «о в полосе а ( Вер ( Ь. О пределе н и е.
Пусть д(х) —. комплексноаначная функция на (О, + со), непрерывная, аа исключением, быть может, иаолированных точек, и такая, что соответствующий интеграл Меллина имеет полосу абсолютной сходимости а ( Вор ( Ь. Преобравованием Меллина функции д (х) называется функция 321 з >о> ФОРМУЛЫ ОВРАЩВНЯЯ точке 8 е-»>б (е->) = — ~ 6 (с + 1и) е'"' Ии, $ »» +»» б(е->) $ с>(с ( >и) ~»»>»»би. 1 ° » следовательно, в рассматриваемой точке х у(х) = —. ~ С(р)х-обр,' »»»»» что и требовалось доказать. Обре>пение преобразования Лапласа. 3 а м е ч а н и е. Если преобразовавиеЛапласафункции ~ (с) есть Р (р), т. е. Р(р)»» ~И) - бс, (5.50) о Р(а+ >и) = $ Я)е-<'~'">'й = $ е-е>у(с) е-'"'сР.
Теорема обращения преобразования Лапласа. Если ~ (с) — оригинал и Р (р) — его изображение, то е каждой точке 1, е которой / дифференцируема, имеет место формула обри>ценил (обратное преобразование Лапласа) И) =,— „~ Р(р)емдр, а-9» (5.51) где ам»» = Иш а-4с к ~»» а — и то преобразованием Фурье функции е е>~ (с) будет ' Р (а+ юи), если а — действительное число, большее по'казателя роста / (8). В самом деле, 322 1гл.,т пгновгязовлнин лАплАсА причем а — любое действительное число, большее показателя роста / (1). Д о к а з а те л ь с та о.
Если ~(8) дифференцируема в точке 8, то е "~ (1) тоже; следовательно, в силу предыдущего замечания и теоремы обращения преобразовании Фурье найдем в рассматриваемой точке г е ат" (1) = — ~ Р (а + 1и) е'а' аи 1 +«о 1«(1) = — ~ Р(а+ $и) е1а«1а1«би, «о а+1«о ~(1) = —, '1 Р(р) тбр а4«а что и требовалось доказать. б И. Достаточное условие для того, чтобы аналитическая функция была иаображением Т е о р е и а. Пусть Р (р) — аналитическая функция е полосе Кер ) га и при всяком а) га« $) ) (Р(а+ 1о)~дс сходится, оо 2) Р(р)- О при Ке р .ьа, ~р)-++ оо.
Тогда Р (р) яеляется изображением, причем оригиналом буде тз а+«оо по=А ~ (и"'~~, а-«а еде а — какое-нибудь дейстеительное число, большее г . Д о к а з а т е л ь с т в о. Сперва заметим, что определение / (1) не зависит от выбора числа а. Действительно, интеграл от Р (р) ео«по прямоугольнику, ограниченному прямыми г = а, г = а„а = ~ Ь« где а и а, больше га, равен нулю по теореме Коши, но интегралы по горизонтальным сторонам стремятся к нулю 1 11) достлточнон исловив изоврая)виня 323 в силу условия 2) при Ь -о со. Следовательно, в пределе найдем, что а+)Ф вл4Ф в-$Ф во-Йо Иа выражения для/ (1) находим: +Ф )У(ю)! ~ив „~1Р(а+1с)! с "' Ф при всяком а) е,; следовательно, ~ (г) есть оригинал с покааателем роста ( ео.
Пусть Неро > е и ео с„а ( Веро. Имеем: +ОО +Ф вмФ Пг) "се= — „,~ е- '«)1 ~ Р(р)е «(р= о о в-ооо +ОО +ОЪ 1 = — ~ е«р )' о)г ~ Р (а + 1с) еоо) Ыс = 2л -оп о Ф +Ф +Ф ~ Р (а + 1с)о(с ~ е(в+1 -)о)) Щ, причем иамененне порядка интегрирования ааконно, так как при — оо ( с С + со, О а Г ( + ао имеем) ~ Р (а,+ (О) Е«в+)о-Ро)) ( )Р (а + ц)) ! Š— 1ВОРО-вк +Ф +ОО а интегралы ~ )Р(а+1с))дс и ~ е1в р ')' о)1 сходятся. о Но е«в+~ -)о)' о(о =* 1 р,— а — «) ' о следовательно, +Ф +ОО в+)Ф 1(1) е-~ай = р (а + )а) 1 Г р (р) ЫС = — 1 — е)р.
2к а ро — а — га 2я),') ро — р о ОО а-)Ф ПРВОВРАЗОВАНИВ ЛАПЛАСА (глот Пусть В) ')ро )и Ся -дуга, окружности (р ( =В, лежащая в полуплоскости Кер в а, а ~ (Ь вЂ” точки пересечения окружности ! р ! = В с прямой Кер = а (рнс. 68). Внутри сегмента, ограниченного дугой С„ и прямои Кер = а, аналитическая функция— Р (Р) Р— Ро имеет только одну особую точку р (простой полюс); следовательно, по теореме о вычетах и 4 .( правилу вычисления вычетов от4 ) носительно простого полюса (см.
Р ,: гл. ш, $ $7) находим: У вЂ” — бр= Кее — = $ Р(Р) Р(Р) -(6 2каф Р— Ро Р— Ро Уо = р(ро). Рис. 68 где С вЂ” контур сегмента. Левая часть равна сумме интеграла вдоль хорды и интеграла вдоль дуги окружности. Первое слагаемое равно а-ЬЬ а+В а-ОЬ и при В-о + оа будет стремиться к аоооо осо Р(Р)аР $ о(() Р,с,р 2~0 ~ Ро — Р а- оо о Покажем, что второе слагаемое (Р при Р— Ро В -«-+ оо будет стремиться к нулю. В самом деле, пусть М (В) — максимум модуля и" (р) на Са, тогда св при В -ь- + оа, ибо по условию теоремы М (В) ~- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
