1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 41
Текст из файла (страница 41)
1г тобы ступенчатая функ~(ия, порохсденная последовательностью (й„), была оригиналом, необходимо и достаточно, чтобы степенной ряд с когффиуиентами й„имел отличный от нуля радиус сходимости (иначе говоРя, чтобы числа ~~ (Ь„~(п (, 2, 3, ...) были ограничены в совокупности). Пусть / (г) — ступенчатый оригинал, порождаеыый последовательностью(й„); / (г) — Р (р). Формула (5.20) лось казывает, что если степенной ряд,~~5„з" сходится при ь ! з ! ( р, то Р (р) аналитична при Ке р) )п — и тогда 1 +ье а г+1 Р(р) ) у(1) е Н сЫ,'3~ ') 1(1) е Р' ав = ь го% сю г2ь сь ,~~ Лг ) е ~М вЂ” айве ьг.
г-ь г ььь ь Полагая Н(г) = ~ч~~~й„г", Ь,(р) =* ' (это есть изобраь Р жение ступенчатой функции 5, (г), порождаемой последовательностью $, О, О, ...), найдем Р(р) =Ь,(р) Н(е Р). (5.21) Обратно, всякая функция вида Ь, (р) Н (в Р), где Н (г) аналитична в окрестности нуля, является изображением ступенчатого оригинала, порождаемого коэффициентами разложения Н (г) по степеням г. $ и ПРнложкнив к УРАвнвниЯм В конвчных РАзнОстЯх 299 3) Если Ь» а», то ~В Н (о) =~а а ~»»» 1 — ао' о 1 †1 »о †à (р) Р 1 — ае" р(ео — а) 3 а м е ч а н и е. Если вместо ступенчатых функций рассматривать на [О, + оо) функции р' (1) более общего вида, определяемые равенствами )'(1) Ь»ор (1 — п) на (и, и+ 1) (и О, 1, 2, ...), где ~р (1) — какая-нибудь фиксированная функция на! 0,1), которая на этом интервале имеет не более конечного числа точек раэрыва, не исчеэает тождественно и абсолютно интегрнруема (ступенчатые функции получаются при у (г) = 1), то формула (5.20) останется в силе прн Замене 1 на ~ ~ ~р (1) ) е 111, а следовательно останется о в силе вытекающая иэ этой формулы теорема (необходимое и достаточное условие, чтобы у (1) была оригиналом).
Для изображения оригинала/ (1) формула (5.21) остается в силе, 1 если Ь1 (р) вамевить на ~~р(1)е Р~йт. о Опережение функций. Если )' (1) определена на (О,+ос), с РО, то функцию~ (1+ с), рассматриваемую ва (О, + оо), наэовем опережением функции р' (1). Непосредственно видно, что всякое опережение оригинала является оригиналом с тем же показателем роста. Если / (1) — оригинал, /(1) а р(р), с > О, то +с» +» Ь () (1 + с)) = $ ) (1 + е) е Р оЮ = еар $ ) (1) е 1" е(1 =* о с с = е'~)Р(р) — ))(1) е Рой~.
(5.22) о Если / (1) — ступенчатый оригинал, у (1) оа Ь1(р)Н(е-о), где Н (х) аналитична в окрестности нуля, и — число натуральное, то (5.22) дает: » 1 Ц(1+и)) = е"РЬ1(р) Н(е ") — е""~~(1) е оай$ стл, ч ПРВОВРАЗОВАВНН ЛАПЛАСА по и е — »»+г в-1 (((с)е >»с>с =,~', 1(й) ~ е "'>[с = Ь,(р),'~~ с(й)е "~, следовательно Ь(>(с+иП =сА,(р) [е »З(е ") —,Я [(Сс)ею "»1. (5.23) Линейные уравнения в кояечных разностях с постоянными коэффициентами.
Пусть С (С) — какая-либо функция на [О, + со). Положим г»С (С) =С (С + 1) — / (С)' СА"$ (О = ЛЬ" 'С (с) (л = 2, 3, ...). Методом индукции (с использованием соотношения С» + С» ' = Се+,) легко пока- вать, что й"С(С) = ~ч; ( — 1)"-"С„"С(С+ й), а с(с + п) = ~~', С,",с»"~(с) (5.24) (5.25) (где >А'у Д. Рассмотрим две задачи, в которых С (С) обозначает какую нибудь заданную ступенчатую функцию на [О, + со), аю а», бю [1» — какие-нибудь .
ааданные комплексные числа. Задача й. Найти ступенчатую функцию у (с) на [О,+ оо), удовлетворяющую уравнению а,у (с + и) + а,у (с + л — 1) + ...+ а„у (с) = с (с) (ое чс* 0) и начальным условиям у(0) а»,у(1) =а, ...,у(л — 1) =а„, и начальным условиям у(О) - Р„Ду (О) = бы ..., Л"- у (О) = б„,. Задача 9. Найти ступенчатую функцию у (с) иа [О, + со), удовлетворяющую уравнению 5 е»"у (с) + б,й" 'у (с) +...+ 5„у (с) = ~ (с) (5, ~ 0> г т1 ливио»книне к УРАВнвниям в комичных Р»эностях 3О1 Из (5.24) видно, что задача 2 равносильна задаче 1 (с надлежащими а», а»), а из (5.25) видно, что задача 1 равносильна задаче 2 (с надлежащими 6», ])»). Задача 1, очевидно, всегда имеет единственное решение [дело сводится к рекуррентной системе уравнений для определения членов последовательности, порождающих искомую ступенчатую функцию у (с)[, следовательно и задача 2 всегда имеет единственное решение.
Т е о р е м а. Коли / (г) — ступенчатый оригинал, то решение задачи 1 (и, следовательно, решение задачи 2) также будет ступенчатым оригиналом. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть/ (й) = й», у (а) = д», По условию ]Ь» ] ( р" (Ь = 1, 2, ...), где р) О. Не уменьшая общности, положим а, = 1. Пусть А — наибольшее из чисел ]а,], ...,]а„]. Пусть д больше каждого иэ чисел г' ]д» ] (й = 1, ..., и); р; 1; пА+1; тогда ] д»,' ( д» для всех й = 1, 2, 3, ... Действительно, для й и это следует из определения д; для й т (где т ) и) это верно, если это верно для всех й ( т, нбо из уравнения, которому удовлетворяет у (с) находим (беря с = т — и); ]у !(]а,] ]б,]+ ... +]а„]]б„„]+ + ] й „] ((пА + 1) дт-» (д Таким образом, индукция проведена и теорема доказана.
Приложение преобразования Лапласа к решению линейных уравнений в конечных разностях с постоянными воэффициентами. Рассмотрим задачу 1 в случае, когда у (с) есть ступенчатый оригинал. Тогда, по доказанному, решение у (с) также будет ступенчатым оригиналом. Пусть /(с) ~= Ь,(р)Н(е г), у(г) ~ Ь,(р)6(е г); где Н (г) — известная аналитическая функция в окрествоств нуля; 6 (г) — искомая функция в окрестности нуля. Переходя в уравнении задачи 1 к изображениям и учитывая при этом начальные условия и формулу (5.28), получим после сокращения на Л, (р): + а, [еш ""б (е с) — (иге'~и~ + ... -[- а») ег[ -]- + а, х [еэ»' (е ") — а,еэ[ + а„б (е ") = Н [е "), (гл. ч ПРНОВРАЗОВАНИК ЛАПЛАСА откуда б(е Р) = „((а (аоа1 ПР+ ... +а„,)+ аееал+ ...
+ а -(- а,(а,еоз "" -)- ... -)- а ) -(- ... + а„,аа! ее+ Н (е ~)) ИЛН (ПОСЛЕ уМНОНЗЕНИя ЧИСЛнтспя И ЗНаМЕНатЕЛя На Е ов) С(е ") = [ао(аз+ ... +а„за 1 П") + ао+- +а„е "" + а,е "(а, + ... + а„,е 1" ~') + ... + + Н( )) Таким образом, если ~ (1) Лз (р) Н (е Р), то для решения задачи 1 имеем у (1) — ез, (р) зе (е Р), где Н (г) = „(а, (ао + ... + а,г ') + ар+ ... + а„з" +а,г(ао+ ... +а,,г"~)+ ... +о,г 'аз+ г"Н(г)). (5.26) герилзср 1. у (з + 1) — у (з) = (а — 1)ар) ), у(О) =1. Здесь л = 1, а, = 1, а, = — 1, ае = 1; О~ Н(з) = (а — 1) р'а з .зз а — 1 1 — аз о а — 1 + 1 — аз 1 6 (з) = = — = 1 + аз + аззз + 1 — з 1 — аз Функция у (з) порождается лсследовательиостыо 1, а, аз, у (з) = а('). е) (1] обозначает наибольшее целое число, не превишаюшее з.
Нример 2. Здесь я = 2, ао = 1, ао — 1, аз — 1, ао О, пз = 1; П(з) =О, С (з) з — — з -ь зз -(- 2зо + Ззо -(- бзо -) Фуикпияу (з) порождаезся последовательностью О, 1, 1, 2, 3, бо „, Замечание. Если 0 при и+т* (и 0 1.2 ..) 2 при и = т ТО 1(1) Ь,(1 — т), Н(г) =г (т=0,1,2,...). Рт (З -)- т)ит Ю = ,, (, +м 1 Н (и) (а )аз+1 (а + 0; т = О, 1, 2, ...), откуда видно, что если / (1) = (1+ тР ))о('), то Н(г) = ~ (й+О;т=0,1, 2,...). )оаы Учитывая еще, что всякий полипом т-й степени можно разложить по любым полиномам степеней О, 1, ..., т, и что всякую регулярную в нуле рациональную функцию в результате выделения целой части и разложения остаточной правильной дроби на простейшие элементы можно представить в виде линейной комбинации функций вида г, (а+О;т 0,1,2,...), (а з)во+\ о) х( ) обоаиачаетх (х — 1)...
(х — ао -(. 1). 1 т) НРилОжение к РРАВнениЯм В кОнечных РАзнОстЯх 303 [гл. э пэковэьэовлннн ЙАплАсА приходим к предложению: для того, чтобы Н(г), фигури-. рующая в формуле(5.2$), была регулярной в нуле рациональной функцией, необходимо и достаточно, чтобы Д/) являлась линейной комбинацией, функций вида б>(г — т), Ы Лр> (Л+О; т =0,1,2, ...). Из сказанного в начале настоящего замечания легко усмотреть, как, зная такую/ (г), найти выражение соответ- ствующей Н (г) и, обратно, зная рациональную и регулярную в нуле Н (г), найти выра>кение соответствующей/ (>). Формула (5.26) показывает, что если Н(г) рациональна, то С (г) тоже рациональна, поэтому, если правая часть рассмотренного выше уравнения в конечных разностях является линейной комбинацией функций вида б, (/ — т), Ы Л>0 (Л ч> О, т = О, 1, 2, ...), то и решения этого уравнения при любых начальных условиях обладают этим свойством.
й 8. Оригиналы с изображениями, регулярными в бесконечности О предельном переходе под сивком несобственного интеграла. Т е о р е м а. Пусть /„(г) (и =1, 2, ...) — комплекеновначные непрерывные функ>/ии на (О, + оо), причем (1ь (/) ~ < >р (г), где >р (/) — такая действительная неотрицательная непрерывная функ>гия на (О, + оо), +с что ) >р(1)аг сходится. пусть гатем /„(г)-ь /(г) на о (О, + оо), и притом равномерно на каждом сегменте (О, а), где а ь О. Тогда +С +а 1 /. (/) д - 1 /(1) д. о ь Д о к а в а т е л ь с т в о. Иэ условий теоремы видно, что/(г) непрерывна и (/(г) (» ф(г) на!О, + оо).
Пусть г — произвольное положительное число. Так как несоб+» ственный интеграл ) >р(/)д1 сходится, то найдется такое пгиоввааование лапласа игл. ч В самом деле, пусть г — положительное число, белы шее показателя роста ф (г), и пусть р ) ю Тогда +03 ' +О рР(р) = р ~ ~(0 е Р~ог = ~ ~( — )е~ог; о о [/( — )е [<ф( — )е <ф( — )е [ интеграл ~ ф( — )е оИ а ~ ф(1)е оЫ сходится; у (Г/р) е '-о У (+ 0) е~ при р -~ + оораавомерно на каждом сегменте [я, р), где 0 < а < р < + оо.
Следовательно, в силу доказанной теоремы рР(р)= $ ~( — )е 'оо-«$ У(+0)е НГ=~(+0), о о что и требовалось доказать. 3 а м е ч а н и е 2. Пусть Р' (г) непрерывна на (О,+ оо), / (+ оо) существует, [ / (з) [ < ф (г), где ф (г)— неотрицательный, непрерывный, невос раста ющий на (О„+ оо) оригинал. Тогда, если/ (г) .-~ Р (р), то рР(р)-о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
