Главная » Просмотр файлов » 1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb

1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 44

Файл №826603 1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (П.И. Романовский - Ряды Фурье. Теория Поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа) 44 страница1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603) страница 442021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

326 ПРЕОВРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА )гл. ч Пусть сперва а) О. Тогда -а «)й «-а «!й «(й-а е-)Всов«Ц!Р ~ + ~ — ~ е-)Вв)п«Д!Р+ ~ е! Вв!софр о о «)й о с (в первом и втором интегралах правой части <Р заменено соответ- и а огненно на — — )Р и — + !Р). 2 2 Но 2 з)в ср,а — сР, з)п сР ('Р при 0<)Р( ~, следовательно, Рис. 70 всв)п— а «-а +со В е-!всосав(!Р( ( е «с(!Р + ~ е)всс(сР = о о -М« )Вссов)п й а учитывая, что Л агсз)п — = а а В В пгсв)п— Н а 2 ( — а. л Таким образом, при а ) 0 Р(р) еасйр~( — (л+ 2ей ). г(й,а) Если а ( О, то ) е-)В«о«о ссср а' ) , и тогда о о Р (р) еР! др ~ ( — ж. Итак,вовсех случаях, если ~ Р (р) 1( сна Г (В, 'а), то Р (р) еР) с(Ь~ ( ЕА (й, а), (5.52) г!у),а) $ $0 ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИЗОВРАЖБННЛ 327 где в Ђ”(п+2ез ) при а)0, Х(з,а) = з при а(0.

Доказываемая лемма непосредственно вытекает из неравенства (5.52), ибо если Лу„есть максимум ]Р (р) ] на Г„, то в силу (5.52) ~~ зв~.»»~<язв, 1, но Мв -«- О, следовательно, Р(р)ез'аз-»0 при и-в+ со, в что и требовалось доказать. С л е д с т в и е.

Пусть Р (р) — мероморфная функция на всей плоскости комплексного переменного р, обладающая свойствами: $) при Вор ) г она удовлетворяет условиям теоремы данного параграфа; 2) существует система окружностей С„с неограниченно возрастающими радиусами, не проходящих через полюсы и таких, что Р (р) -~. 0 при р на Св, р и- оо. Тогда Р (р) является изображением, причем оригиналом будет: +» "в 4» Щ = Иш,Я Вез ]Р (р) еФ],Я,Я Вез ]Р(р) ем] в-~»»я Р» в»а»»д тм Р» (5.53) (г) о), где р„рю ...— полюсы Р(р), располохсенные в порядке еубывания модулей, ч„— число полюсов, лежащих внутри Св, тв = О. В частности, когда все полюсы простые, имеем~ +» "в 7' (з) = 1]ш ~ еЫ Вез Р (р) = «~,Я ез»' Вез Р (р) в»»»» Р» -»»- .Рн Р» (8 ) 0).

(5.54) тгл; Ф' 328 пгвовгявованин лапласа Доказательство. В силу теоремы, доказан- ной в настоящем параграфе, Р- (р) является иэображением; причем оригиналом будет: ояко 1(О=2— „1 ~ Р(р)ея'г(р (у>0), а еп где а — каков-нибудь число, большее г . Пусть Ä— часть 'окружности С„, пробегающая в полуплоскости Вор'( а, и пусть а ~ Ȅ— концы Г„.

По теореме о вы- четах (гл. 1П, у 17) е+нь М вЂ” Р(Р)еж "Р+,я, Р(Р)еэ'йр = 'Ц Вев [Р(р) ее~[. о.лео Р е,РЗ Если г) О, то при и -е: оо первое слагаемое левой части стремится к у (~); а второе слагаемое в силу леммы Щордака стремится к нулю, следовательно, в пределе по- лучим искомую формулу (5.53). Если полюс рь — простой, то Вев [Р (р) еэ'] = еМ Вев Р (р), Ре Ре поэтому в случае, когда все полюсы рь — простые, фор- мула (5.53) переходит в формулу (5.54), что и требовалось доказать. в $2.

Об одном обобп(ения преобравования Лапласа Если в преобразовании Лапласе +со )г(р) ) 1(з)е г'аз е передать роль целой функции е"" некоторой другой функции л(р), удовлетворяющей подлежащим требованиям, то возникает преобразование вида +Об у(р)- 1 )(е)в(р)аз, о которое мм ниже назовем а-преобразованием фуикцив у (г), употребляя при атом записи +СО ! (е) ~ Р (р); к П (0) - $ ( (з) а (ре) йк о з а) ов одном ововшвнии нгиоввлвовлния ллпллол 329 ,Пусть а (р) — какая-либо отличная от тождественного нуля спалитическая фувкция в полувлоскости Ве р ) О, для которой существует огравичеввая положительвая вевозрастающая функция к (з) ва (О, + со), стремящаяся к нулю при з- + со и удовлетворяющая керавеиству [й (з+ Ш) [ ~я (з) при 0(з(+ со, — со с.

и ч. + со. Легко видеть, что если к (з) существует, то среди и (з), удовлетворяю- щих отмечевиым требованиям, есть ваимеиьшая. Вудсы предпола- гать к (з) ваимеиьшей из возможкых — тогда к (з) одвозвачво определяется по й (р). В случае Л (р) = з " очеввдио, что и (з) = =з Пусть 1(з) — комплексвозиачвая фуякцвя иа (О, + оо) (для простоты будем предполагать ее вепрерыввой). Если положптель+зз иое число з таково, что несобственный пвтеграл ) [1(з) [к(зз]сз о сходится, то числа, большие з, обладают тем же свойством, откуда следует, что либо найдется такое положвтельиое число з, что при з ь з упомяпутый пвтеграл сходится, а при 0 ( з ( зз расходится (зз вазовом ловазатзззл росте функции 1(з)), либо упомявугый. иатеграл сходится при всех з) 0 (тогда положим з = 0), либо упомяиутый ивтеграл расходвтся при всех з ) 0 (тогда положим зз = + оо).

Из т ( следует, что в случае зз ч. + оо +з р(р) = ~ 1Е) л (рз) бз е будет аналитической фувкцвей в полуплоскости Ве р ) зз. Фувк- ' цвю Р (р! назовем й-врзобразозаниззз функции 1 (з), При Вор + со имеем р (р) О. Ото легко обнаруживается с помощью теоремы, докаааивой в начале $8. Рассмотрим кокоторые свойства а-преобразования, () Если 1 (з) р ( р), то ь1 (з) йр (р) (Х вЂ” любое комплекспое число).

В самом деле, +з +со к [)1 (з) [ - ~ л1 (з) а (рз) бз - л ~ 1 (з) к (рз) бз - )е [1 (з)). е е 2) Если 1 (з) р (р), й (з) ., Ф (р), то 1 (з) -[- й (з) ~ р (р) .[ + Ф (р). В самом деле, к [1 (з) + у (з) [ $ [1 (з) + зр (з) [ л (рю) з)з е +зо +Ю = $ 1(з) л(рз)бз+ $ р(з) а(рз) а-к[1(з)[+е[р(з)). е е 1 у21 ОБ Одном ОБОББ(Внии пгноагАЗОВАИЯЯ лАплАсА 331 по Ф (р) - О при Ее р -в -(- со, следовательно, 00 ° ОО С = 1 — бб, б) (Р) - 1 — Яд. Г Р (ч) Г Р (о) т Ирмаее)1 Х. Если х(г) таково, что несобственный интеграл +Ы аох (з)~Ь (а) — 1) сходится, то степенная функция 1о нмеет е нулевой покааатель роста, ибо при любом а» О +60 +а +м /11о бс 1 1сх(г1)бс ~ ~ —,) х(1) — = —,+ ~ 2 х(1)Н1<+ О. о е е Пусть 2о Р (р).

Тап как +ао +о 1 Г С Р(а) ~ 1оа(ас) бг = —, ~ сод(О бс=,, (С вЂ” постоянное), е е то Р (р) = С/ро'"1, ибо обе части равенства апалитичны при Ке р )О п совпадают при положительных вначениях р. Гакам образом, +С С а 1 -~ „е, где С =' ) 1 А(1) с(1 (а) — 1). Р 2Урммер Э. Если х (г) такова, что несобственный интеграл +СЮ и (в) 1п г Ыа сходится, то логарифмическая функция !а 1 имеет 1 нулевой показатель роста, ибо при любом а ) О +о ~ ~)а — ~х(1)— е +09 (1а1(х(Ы) бс = е +00 1 о (1ас — )аг(х(1) 41 ~ — ~(1аг(с(1+ х(0) Г е +О +М 1 Г (1ав( + —, ~ О)1 бг+ —,~ ~ (1)ас<+ 332 (Гл, оу ПРВОВРАВОВАНИП ЛАПЛАСА Пусть 1в с Р(р). Так как +» +со 1 Р(В)»ч ~ )Вой(ВГ) С(Г ~ ((ВС вЂ” 1ВЕ) й(ПбС е о А В)во + — (А,  — постояввме), А ВЬпр то Р (р) — + —, ибо обе части равенства аполитичны при Р Р Ве р) 0 и совпадают при полоясительвых аначениях р.

Таким обрааом, А ВЬвр Р (Р) -"И вЂ” + — с Р Р +СО +аф где А ~ Ъпсй(с)бс, В ~ й(с)бс. е о Условие регулярности й-шобрюкевия на бесконечности сходно с тем, что было в случае преобрааоваввя Лавааса. Соответствующие й-оригиналы обраауют класс целых функций, аависящий от й (Р), который в случае й (р) = в 'Р становится классом целых функций експоневциалвного типа, Наложим на н (в) следующее ограничение: +ос в"и(в)бв(+со прв к=О, 1, йс... е +се Тогда ~ с и(ов)бс(+со прв каждом в) О, ибо о +СО +ОР +Ф и 1(сЧ» М 1 с н(м)бс ~ ~ — ~ и(с) — — „ы ~ г"н(с)бс(+~.

е Введем в рассмотрение числа +» +се м„$ с"ар)бц м„' $ 1"нб)м; о о (счевидяо, что М„) 0). Т е о р ем а. Если все Мн ЧЬ 0 и числа У Мг ! Мн'( ограничены е соеокунности, то встсаа функвик Р(р), рсгуларнаа в бесконечно удаленная точке и равнаа в нев нулю, авлаеосса й-ивобраееением некотероб Чекой Ооункчии у(С). сч Д о к а а а т е л ь с т в о. Пусть р (Р),Я~ —" при ) Р ( ) В » 1 По условию У Ми/) Ми( ( Спрн всех н (С вЂ” постоянвое). ПРВОВРАЗОВАНВВ ЛАПЛАСА !Рл.

ч мажорирует несобственные интегралы +СО +ОО ~У(1)А(р1)бес $ [Н(1)й(рс)Ф (р=э+Еа), е о и а ч1 в+1 и где )и (1) = р~ М 1 (Х вЂ” любое натуральное число), и на кажа дом конечном сегменте [О, т) [, (!) равномерно стремится к [(1) при Л! - оо, поэтому, на основании теоремы, докааанной в начале т 8, +60 +а (1) А(р!) а ~ )(1) А(рт) 81 прн Ве р.) СВ. е о +а +" и а„+ НО ~ (,„(Э)А(р1)(1 = ~ ~ — "" эи ° й(рэ)бэ = в о о е В е +"' л Евтх ( в1 е — г А (рэ) бг =,~~ — "+1 1 что стремится к )г (р) при и о р"+1 ' ' + Ж -и оо, если [р[)я. Этим доказано1 что )г (р) ~ у (1) й (р!) бэ о при Ве р ) Сй, учитывая, что С ) (.

Иэ докаэанной теоремы следует, что если й (р) таково, что все +О п п г н(г) Нес.+со,все М„~ О и числа М„/[ М„[ ограничены о в совокупноств,то каждая система комплексных чисел ав ((в„ив. в + со), с ограниченными в совокупности у~ [си[, порождает целую функцию Я "+" ! с покаэателем роста в., + оо (при о етом Раань1м системам комплексных чисел аи соотеетствУют Равные целые функции). Класс этих функций нааовем А-ллажол целее СЮ С !Эуввеил. Соответствие г, "+1 1 - г — взаимно одноэначно отое Г! Ми бражает й-класс целых функций на класс всех аналитических функций, регулярных в бесконечно удаленной точке и равных нулю в ней.

В случае А (р) = е э иыеем М„= Мв= и! В этом случае й-класс целых функций совпадает с классом целых функций экспоненциального типа, как это усматривается иэ т 8. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ябсжгсса абсолютной сходвмоств интеграла Лапласа 279 Векторная ливня 99 рубна Вмхрь 1Г5 Вычет 189 Гариювпка простая 19 Гредвевт 86 Лкаергевцкя 109 йадача Пкрвхле 228 Иаображенве оригинала 280 Ивдвкатрнса арыценнй 203 — Растяжений 203 Интеграл комплексной фувкцвя дЮ- стзвтельного переменного 180 криволинейный 89 — от вентор-фувкцмп 97 поэерхносппей 1О1 — от вектор-функция 108 — типа Кожи 171 — функция комплексного йеремевнсго 180 Фурье двойной з комплексной форме' 53 — трягожжетрнческой форме 50 — для нечетной фувкцвк 55 — — — четяой фувкцвн 56 — — простой е комплексной 4юрме 52 — — — — тригонометрической форме 50 Интегральный косввус 267 — логаряфм 257 РВ7 КооРдинаты нряэолянейвые 121 Косинус трансформация 55 Коэфбжцяентм Ламе 122 Лемма Жорлэва 325 ~- Римана для бесконечного внтереа.

ла 58 Лемма Римана для конечного вкхеР- зала 15 Шэарн 272 Нуль аналитической фувкцпв 161 Операция 2-го порядка 118 Орвгявал 280 с изображенном регулярным в бесконечностм Вов — рацнональвым изображеввем 289 Ортогоналяаацня смстемы функций 59 Особая точка аналитической функция 185 —, полюс 185 —, существенно особая 185 — — устранимся 185 Отображение двф4юренцкруемое 291 ков4юрмное области на область 213 — — 1-го рода 207 — 2-го рода 207 везырожценное 202 реализуемое линейной функцвей 215 Период функции 9 Поверхность уровня 87 Показатель роста оригинала 279 Поле беэзвхреасе 116 — векторное 96 — потегщпальвсе 98 — скалярное 85 ссленомдэльное 111 — центрврованное 98 Полпномы Лагерра 63 — Лежакара 62 — Чебышева Вх — ррмата 82 Якоби 62 Порядок аналитической функция в точке 187 Поток векторного поля 109 Преобразование Лапласа 230 — — обратное 321 — Ие лина ВВ — — обратное 320 — Фурье 818 — — обратное 319 Привднп аргумента 198 — максимума для уравнения тепло праведности 43 — модуля 200 ззв ПРКДМБТЕЫИ УКАЗАТЕЛЬ праисшяпшя аеккгр-фувкцвв ска.л р ого.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее