1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 37
Текст из файла (страница 37)
слагаемом правой части формулы (4.35). Заменяя хг на ~, найдем: 1 х +се +а е 4 ек 1 еы ( е" ~=бе==~ — бг = ~ =гг — = ~ =бг, ,Ме Р',Уе У, У У* „Мг но, ваменив ° на Р ~учитывая формулу (3.59') гл. 1Щ, получим: +а +ОФ вЂ” 44= 2 е Я бг = Гяе "Яе. Если ф (х) полонгителъпа, убывает и стремятся к нулю при +ю +ОЬ х-+ + оо, то ) ф($)созг ое и ~ ф(Е)еюг Не, а следовательпо, и ) ф(е)е бе суть О(ф (х)) при х — (- со (это вндяо нэ выклах док соответствующего пункта следувяцего параграфа), поэтому +оэ е-С О(=) при х + ) уу Ь.-) откуда /1'1 — )=Не =О( — ) при х- + со.
луг ( ) Итак, получаем асимптотическое представление; -Ы! ~ — бе = ~/ — е ~с+ О~ ) яри х- + о. (4.42) Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагао мом правой части формулы (4.35). Имеем: ... )« — ) — )(() „г „,) „.,-„, — — 1 о е где П(- ) — у(() е 264 и пикотовьтк спицианьньгк этпкпияк (гл.
гч Очевидно ф (О дважды непрерывно дифференциууема на ~0, 1'„но, как легко видеть, существуют )[ш ~р!ф и 1(ш ~р (г), поэтому ~р(с) ьо ' се (после доопределения в точке ~ О) становится непрерывно днфференцируемой на сегменте [О, 1[. Интегрирование по частям дает: 1 1 1 е ьхр (г) р'Г М = — е ~р (г) р'р ~ + — ~ е ш' [ср(г) ~у['а, о о о е -$х где первое слагаемое правой части — ~р(1) есть 0 (1/х) при /х х + со, а интеграл во втором слагаемом несобственный при нвжнем пределе) мажорируется интегралом ~[[и(г) у'р['[ ~, е который сходится, так кан 1 и'(г)с+ — р(г) [ф(г) Ф Е['= -- -0(1/У[) и г (Д рг следовательно, второе слагаемое есть тоже 0 (1/х) при х + оо.' Итак, имеем: г /(1 — И вЂ” /(И е бг 0(1/х) при х - +со.
(4.43) е Иэ (4.41), (4.42), (4.43) получаем искомое асимптотическое представление: , (-=,) я о4Ч:1 — — /($)йг — /(1)+0(1/х) прв х-++со. (4.44) г ях о Ис атой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще г( ) 1г е~', . е — - — /(Г)~/Г = — /(1) +0(1/х) при х- +со. (4.44') е Формулы (4.44), (4А4').верны и для комплеконоэначвык функций / (г) = /г (г' + 1/а (х) [ибо они веРвы длв /г (г) и /а (1)[. 1 7„АСИМПТОТИЧЕСХОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 266 Вывод асимптотической- формувы для.
~Уп (ю). В конце и 1 р 5 мы видели, что уп(з) =2 — ~ е«пз«в' «п" «(ф. Заменяя «р ва я — — «р, получим: 2 и Е «пп)'1 зя -«пп/з à — — ~е ове (созиф+«з)пиф)йр е -«ппл й = — ~ е«зсоз е созиф«(ф и е (учитывая, по е«пгоз" соз иф есть четная функция от ф, а г«гсс'е з!и иф есть нечетная функция от «р). Подстановка соз ф = З дает: 1 1 -«п Гз Г „, соз(иагссозг) з з«ппп (' „.„Тп(1) -1 -1 где тп(1) = соз (и агссоз «) есть, очевидно, полипом л-й степенф (полийом Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что соз лф есть поливом л-й степени относительно соз «р.
Но е и, заменвтвияервевгвв=етшь.интегралов г иа -г, получим« 7„~ — з) т„(«) Так как= и . на (О, 1) имеют производные гсех .г'1'+ 1 У 1+ « порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы — ~е 1 + — ~в е -1 -1 е р т„( — 1) «11 — ) е — «(з + п 2 Р"1 зз 1 2' (Г) 1 Р е тп( — Г) е [' егя Тп («) е 266 о нвкотолых спвциьльных елнкцняи (гл, те (4.44') и (4.44), и мм лолучаем: - ~ - (--И (*--") е е Т„( — 1) е е Т„(1) /1 '1 Рил 72 ~лх 'Т2 2 ио Т( 1) = совал =' ( — 1)" ен; Т(1) = сов0 ° 1, Рис.
62, Рлс. 63. следоаательло, е г1 интвггальныв логлгием, сивке, косинке 267 Итак, имеем искомое асилтиаотичесхое представление бесселевой функции 1-го рода с целым индексом для больших гначений аргумента: У„(х) = ф/ — соэ ~х — (п+ 2 ) — 1+ 0 ( — ) (4.45) при х-«+ оо. Эта формула показывает, что Х„(х) с точностью до слагаемого порядка — является затухающей гармоникой х с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.
В частности, Хе(х) = ас — соэ 1х — — ) + 0 1 †) при х †« + со; « ( ~ * 1 (4.45') Х,(х) = — у — сов(х+ — ~+ 01 — ! при х-«+ оо. пх ~ 4/ ~х/ (4.45") Графики этих функций изображены на рис. 62 и 63. э 8. Интегральный логарифм, внтегральный синус, интегральный косинус Г ах Г е1вх Г сох х Известно, чтоинтегралы~ —, ~ — дх, ~ — дхне выражаются через элементарные функции и являются новымн трансцендентными функциями. Эти функции (определенные пока с точностью до произвольного постоянного слагаемого) обозначаются соответственно знаками 11 х, з( х, с1 х.
Г хх Разложения в ряды. Делая в равенстве 1(х = ~ — под=~ 1ох становку х = е', получим) и 11е =~ — дг = ~~ — +1+ — + — + ... аг = 2! 31 и в 1пг+ С+ г+, „+ +... (1) О), 268 о ннкотогых спкциалзных эвикциях (гл, ст откуда (после возвращения к старому аргументу х) Ьх 1п1пх+С+ !их+.~ — + — +...
(х) 1). (4.46) Далее, сп х = ~ — с(х = ~ ~1 — — + — —...) с(х, откуда после почленного интегрирования находим) ас х' всх= С+ х — — + —, —... 3 3! 5 5! (4.47) Након ец, с(х=~ — -" Ых=~( — ' — —,*, + — „-...)<)х, откуда после почленного интегрирования получаем! ао ас с1х С+1пх- 3 3! + 4 4! —... (х)0).
(4.48) Добавления к технике интегрирования. Подстановка х — а = с даст) л — с(х = е ~ — с(с = е',1! е' е И е" а — а 3 с Интегрирование по частям дает формулу приведения! в л е л ! р е — „с(х * —. + — ~ — с(х.
(а а)л ' (л — !) (а — а) л — 1-е (а а)""с Подстановка х — а с даетс — с!х ~ — с!С = соз а в1 С+ з!и в с! С = ' з(п а (' в!л(с+ а) соваз1(х — а)+ аспас)(х — а); — ссх ~ ~ сов а С соз р+ а) с(С = сов ос! С вЂ” в1п аз! С = х — а с = созе с! (х — а) — з!и а з! (х — а). 1 в) ннткгг»льныв лог»гном, синге, косинке 269 Интегрирование по частям дает формулы приведения вшх 1 ~ совх ах; (» ц (х а)~1 и — 1 ) (х а)»-ь сав х 1 ~ в1ах — дх. Ц (х а)»-ь» — 1,) (х — а) Учитывая, что всякая рациональная функция есть сумма полннома и простейших элементов вида А/(х — а)", заключаем на основании установленных формул, что интегралы вида ') В(х)е*йх, ) В(х)в!пхох, ) В(х)совхдх станут «берущимисяь, если к элементарным функциям добавить интегральный логарифм, интегральный синус н интегральный косинус !если мы хотим оставаться полностью в действительной области, то ограничимся такими рациональными дробями В (х), внаменатели которых имеют только действительные корни).
О сходимости некоторых несобственных интегралов. Пусть 1 (х) — положительная непрерывная убывающая функция при а ( х(+ оо, стремящаяся к нулю при +40 х-ь + со. Тогда несобственные интегралы ) /(х)з)пхдх; а +со у (х) соз х ььх сходятся. а Не нарушая общности доказательства, можем поло- «кить а = О (в случае а ) О можно 1 (х) доопределить на участке О ( х ( а так, что при О ( х < + оо будут вы- полнены все поставленные условия), при Ь ) О имеем; ь «-ыь+1)» ь (х)в1пхох)у(х)в1пхпх+эьх(х)81пхбхр а ьь в» »» где н — наибольшее целое число такое, что ня ( Ь. Оче- видно, н-ь+оо при Ь-~+ оо. Подстановка х 1+ Ья дает: 1ЬЬЬ), » ~(х)в1пхс)х'= (- $)" ~/(1+Ьи)з(п1И1 = ( — т)ьхь, ь» а 270 о никотогых спипиьльных етнкпиях ~гл .
тт где с„=* ) у (с + Йя) в! и с ся' ) О. Из убывания функции ~ (х) следует, что при й ( т. имеем.' ~(8 + йп) ) ~ (~ + )п). Умножая зто неравенство на в1п с и интегрируя от О до я, найдем с„) сь Из того, что ~ (х) -э.О при х-+ + оо следует, что с„-~ О при й-~ оо, ибо с,(~(йя)) вш1 ~М = 2~(хп). Далее, ~г(Ь)( = ~ ~ ~(х)в1пхдх~(2~(пя) и, следовательно, г(Ь) -~. 0 при Ь-+ + оо. Таким обра- зом, ь о-1 $ ~ (х) в!п х пх =,Я~ ( — $) сз + г (Ь), где со ) с~ ) сз ) ...; с„ -~- Ор г (Ь) -~- О.
Принимая во внимание теорему Лейбница о знакочередующихся рядах, заключаем, что ь СО Иш $г'(х) в(охи = „'Я(- $)ссз ь +" о О +Ф и, следовательно, несобственный интеграл ) г(х)в(ахах е сходится, что и требовалось доказать. +Ю Интеграл ) Г(х)совхдх послеподстановки х с+— О приводится к предыдущему. !в! иптигвальиык логавиФм, смите, косиптс 27$ +со +а ~ — *Их и ~ — с(х (а) О) суть сходящиеся интегралы. Поэтому и! х и с! х при х -в -~ + оо стремятся к конечным пределам.
Нормировку в! х и с! х (напомиим, что эти функции определеяы дока с точностью до произвольного постоянного слагаемого) можно, например, определить требованиями з! (+ оо) О! с! (+ оо) = О. Тогда (при а ) 0) х в! х = ~ —, НФ+ С;, с! х = ~ —,с(г+ Св! в!и ! Р сов! з! (+ с ) = ~ — М+ С, = О! а +ОО с((+ ) = ~ — М+Св =0; а +ОО + р в!и ! Р сов! з!х = — ~ — !й; свх = ') св!.
г Укажем еще другую нормировку з! х, определяя ее требованием в! 0 = 0 (для с! х подобная нормировка не имеет смысла, так как с! х — в. оо при х — в 0). Тогда з! х = ~ — Ы8. Г в!и! с с (4.49) Учитывая, что (з! х)' = в(ах/х, найдем, что в! х возрастает на (О, л), убывает на (л, 2л), возрастает на (2л, Зл), убывает иа (Зл, 4л), ... в точках л, 2л, 'Зл, 4л, ... имеет Нормировка интегрального синуса и интегрального косииуса.
Из сказанного следует, что э в) инткггальнык логатифм. ските, косинке 273 +Ю экстремумы. Учитывая, что ~ — ~И = — (см. гл. 1, 4 9), 8!В$ л о эаключаем, что э1 х -+ л/2 при х -~- + со. Кривая р = э1 х имеет гориэонтальную асимптоту р = л!2, при х-~ + оо бесконечно много раэ пересекает эту асимптоту находясь то выше, то ниже ее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
