1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Ь, М в )у, т в н, з так как такое коыформыое отображение единственно, то 3 = Ь. Формулировка теоремы о соответствии грапяц прв коиформыом отображепии. Ислам=1(з) е'ть конфорыное отображение области Р, ограниченной 224 [гл. Нн АнАлитичвскив Функции лростым замкнутым контуром С, на область й, ограниченную кросгкым замкнутым контуром Г, то функоию Г(г) можно так доонределить е точказ контура С, что г' (з) станекь некрерыеной уьункоией в замкнутой области, ограниченной контуром С, и соответствие и = г (з) окажется взаимно однозначным отображением замкнутой области, ограниченной контуром С, на замкнутую область, ограниченную контуром Г.
Доказательство втой теоремы здесь пе првводатск. Таким обрезом, валкое копформпое отображение облестл,огравкчеппой простым замкнутым контуром С, ва область, ограавчевную простым контуром Г, алдудкрует определенное ззавмпо одаозлачлое соответствие между точками самих контуров С в Г. 5 21.
Задача Днрихле для круга и свойства гармонических функций Вывод вспомогательной формулы. Прн 0 <г(1 и любом ср имеем гг гз — +,~~ г"е' з = — — +,~~г"е'"е = — — + 1 „1 „1 1 1 в 1 — ге о 1 2 (1 — геьг) (1 — ге 1") 1 — гсов гр+ сг е1п гр 1 — гг+ 2гг соз ~р 1 — 2г соз ~р + гг 2 (1 — 2г соз гр -(- г') откуда, переходя к действительным частям, получим гг 1 1 — гг — + ~~~ьт,". сол.ир =, . (3.74) 1 Интегральное представление гармонических фузпщий. Пусть и (л) = м (х, у), где х = х + гу,— действительная непрерывная функция на круге (л ((В гармоническая при ( г ( ( гт.
Очевидно,' и (Кеьо) будет непрерывной функцией от гр с периодом 2я. В силу $7 гармоническая функция внутри круга является действительной частью некоторой аналитической функции внутри этого круга, 0 поэтому при (л ((В и (з) = Ке Р (з), где Р(з) =,)'~~А„х" е при ( г ( ~ гг, причем можно предполагать 1ш Р (0) = О. Введем числа а„а„Ь„..., а„, Ь„,..., полагая Ао = 2, А„= ˄— 1Ь„(я,.зО).
эйдлчй дигихлв для кэхга 1 211 Прн 0 ( г ( В и любом ф имеем г'(гесс) = — +,Я(о„— 1Ь„) 1'ме' 1, 1 откуда после выделения действительных частей получим и (ге'о) = — +,~~ г" (а„соз пф + Ь„в1П пф). (3.75) 1 и(ге"1) но +,~~( — 1 (а„р" сов пф + Ь„р" в1ппс)ф. Так как ао, а„р", Ь„р" (п.~ 0) являются коэффициентами Фурье для и (ресо) как функции от 1р, то ОΠ— — — ) и(рЕ") Иа; а„р".=.— ) и(рЕ1а) Савла Иа; о Ь„р" = — ~ и (ре") вш па 2(а (и) 0); следовательно, и(ГЕ'О) = — ~ и(риса)1(а+,'у',( — ') ~ — ~ и(рЕ'") Х 1 — к 1 Х созпасаа совпф+ — ) и(ре' )в1ппа21а в!Ппф) = г ) и(ре™)да+„~~~ — ) — „,') и(ре'")совп(а — ф)12а= -и о со — — +,,'~~ ( — ) СОВ П(а — ф)~ и (рс1а) С(а = 2 р 3 и.
н. Романовский Сходимость этого ряда равномерна относительно 1р при фнксиРованном г, слеДовательно, ао, а„1, Ь„г" (п ) 0) являются коэффициентами Фурье для и (ге1о)' как функ; цян от ф. Берн р между г и Н, перепишем (3.75) в виде ,336 .Аналитичвсннв Функции (гл, гн г ' ( — (Вр)~ г Г~ и(рем) да = ( 2 — соз (а — <р) +— Р (е 1 (' (я >4 2я .) .р~ — 2гр ссе(а — е) + г* Подынтегральное выражение в последнем интеграле является непрерывной функцией от р, а при г ~ р ( В (г, р фиксврованы).
Обозначим ее Ф (р, а). При р-~-В Ф (р, а) -э -+ Ф (В, а) равномерно относительно а (ибо Ф равномерно непрерывна при г, (р ~ В, если г( г, ( В), следовательно,, в 'пределе получим а и (ге«Р)— $ Г Н' — те 2я .) И вЂ” 2яг соз (а — И) + гэ и(Ве' )да. (3.76) Заметюе, что при и — 1 ета формула принимает вид ( ( А~ г~ — а.
Если и (з) = и (х, у), где 'з = х + (у,— действительная непрерывная функция на круге ~ з — з, ( ( В, гармоническая при ( з — зе ) ~ В, то и (ге + з) непрерывна на круге ( з (( В и гармонична при ) з ) ( В, следовательно, на основании (3.76) имеем при О ( г ( В и любом ~р я "(з +".е " 2я 1 )(е — 2лг оз( = р)+ "(за+ Ве )ба' (3.77) что и является искомым интегральным представлением, Отсюда при г = О получим и(з,) = — ', ) и(зе+ Ве'") да = — $ и(г) Ие, (3.77') где С вЂ” окрунппють ) з —, з, ) В и последний интеграл берется по длине дуги. 227 злдлчь днгнхлв для нгугг ггп О достижении крайних значений на гранипе и теорема единственности.
Средним аначением непрерывной функции у на спрямляемой дуге Г длины Ь называется число ) !«г . Еслибы ( р на Г, то ?ь — 7',м О, ~ ()ь — у) г)г = О, ? следовательно, у = )ь на Г. Это замечание далее используется. Т е о р е м а. Если и (г) — дгйствитвльная нвпргрывная функция в ограниченной замкнутой области Л, гармоническая внутри Л, то наиболъиив и наименьшее значения и (г) на Ь достигаются в некоторых точках на границе этой области. Достижение наибольшвго или наименьшего гначгния и (г) внутри Л может иметь место только в случае, когда и (г) есть постоянное.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Наибольшее значение и (г) достигается но крайней мере в одной точке на Л. Если наибольшее значение и (г) на Ь достигалось в точке г, лежащей внутри Л, то оно достигается во всех точках каждого круга, имеющего центр г, и лежащего внутри Л. Это непосредственно следует из (3.77') и сделанного выше замечания. Возьмем теперь произвольную точку Я внутри Ь и рассмотрим цепочку кругов К„Кю..., К„, лежащих внутри Л и таких, что гв есть центр круга К„центр каждого К; (1 ( у (т) лежит на К; „2 принадлежит К (построение аналогичной цепочки кругов рассмотрено при доказательстве леммы в у 14). Наибольшее значение и (г) на Ь достигается во всех точках всех кругов К; н, в частности, в точке Я, но Я вЂ” любая точка внутри Л, следовательно, и (г) постоянна внутри Л, и следовательно, постоянная на Л.
Заменяя и на — и, придем к аналогичным заключениям о точках, где и (г) достигает наименьшего значения. П р и м о ч в з в е. Ив атой теоремы следует, что гслз а з э— везрврызные двйстввтвльзыв функции зв Ь, гармонические внутри Ь, з если вв грвззцв области Ь имеем а ( г, то всюду зв Ь и ~( г (збо назмезьшвв значение э — и достзгввтсз вв гравице Ь, в твы э — и ~.- 0).
Далев, вслз зв границе Ь имеем ) в ) ч, э, то всюду вв Ь ( в ) ~ э (збо зв — э ~ в ~ э вв грввзцв Ь сзвдувт — г ( и ~ э всюду вв Ь). Теорема единственности. Пусть Л— ограниченная замкнутая область. Могквт суи(вствовать 8в (ГЛ. П1 228 АнАлитичнскии Функции не более одной действительной функции, непрериеной на Л, гармонической внутри Л и принимающей еаданнме значения на границе области Л. ,Д о к а э а 'т е л ь с т в о. В самом целе, равность двух таких функций будет непрерывна на Л, гармонична внутри Л и равна нулю на границе Л.
В силу предыдущей теоремы эта равность тождественно равна нулю на Л. Решение аадачи Дирихле длв круга. Задача Дирнхле в общем виде формулируется следующим образом. Пусть Л вЂ” ограниченная замкнутая область, ф — непрерывная действительная функция на границе области Л. Требуется найти непрерывную действительную функцию и на Л, гармоническую внутри Л и совпадающую с ф на границе области Л. .
Иэ теоремы единственности следует, что может существовать не более одной такой и. Пусть / (и) — непрерывная действительная функция с периодом 2я, К вЂ” круг радиуса П с центром з,. Полагая з = зс + ге1", где О < г ( В, определим при ! з — зе ! ( П функцию Г В1 — г1 (ЗП8) Выражение (3.78) называется интегралом Пуассона. Этот интеграл реализует решение аадачи Дирихле для круга. ' Покажем сперва, что и (з) является при ( з — ' з, ( ( Н действительной частью некоторой аналитической функции и, следовательно, будет гармонической функцией.
Имеем при О (г( П, учитывая формулу (3.74), ( — (г/В)1 2 (В1 — 2Вг соз (а — Ф) -(- г1) Г г / г 111 2~( — 2 — соя(а — Ф) + ~ — ) М = — +~~ — ) созп(а — ~р). 2 ~В) 1 Затем, учитывая равномерную относительно а сходимость 229 ЗАДАЧА ДНРНХЛВ ДЛЯ КРУГА встречающегося ниже ряда, получим х(г) = — „~ ~ — + „)Ц вЂ” ) совп(а — 1р))/(а)2(а = — оо и Оо и г ЕГЬи1 — ) /(а)да+,Я~~ — 1 —. ) /(а)совп(а — 1р)ььа = -и оо = — '+,~~ г" (а„сов п~р + Ь„вш пр), 1 где оо = — „~ /(а) 2ьа; — и Ьи = — „~ /(а)в1ппаЫа 1 и ои ии — „) / (а) сов па Ыа; 1 ппи (и)0).
и (зо + Ьеьо) / (~ро) 1 Г Но 2п ~' Но — 2Ни сов(о — 1р) + г' (/( ) /(ро)) ооо 2Ь+Ьи ио+ЬЬ оо ЬЬЬОи =Й 1 = — '1+4 1 =+ ° Оо-ЬЬ Оо-ЬЬ Оо+22 где 0 < б < и/2. Выберем б так, что ! / (1р) — / (1ро) ! < е/2 оо Так как аи ии о (1/Ви), Ьи ии с (1/В"), то ряд ~ АЗ(г — х )", о где А, = о,/2; А„= а„— ЬЬ„(п ) О), сходится при ! г — го! < В и изображает при ! з — го ! < В некоторую аналитическую функцию В (х), причем, очевидно, Ве /г (х) = = и (г).
Теперь покажем, что для каждого оро и (г, + ге'о) -и (г-о.В. -и/(оро) при~ . Этим будет показано, что если доопре- ~1Р Чо делить и (г) на окружности радиуса В с центром хо, поло- жив пРи кажДом 1Р и (г + Ве™) = / (оРЬ), то и (з) станет непрерывной функцией на круге ~ з —, г, ~ < В. Имеем, учитывая формулу (3.76'), Аналитичжскнв Функции <гл. тп при фе — 26 <~ ~р <грс '+ 26 (е' >'О проввволвна- ивло), и рассмотрим функцию Ф(гю ~Р~ к) тл ( ' р) ( гз (/(к) /(тО)1 очевидно, непрерывную и, следовательно, равномерно непрерывную на трехмерном замкнутом интервале О<г<В рс — 6<Ч<Ь+ б Фо+ 26 <и- %о — 26+ 2к нбо при этих значениях.г, ~р, а знаменатель+ О, так как 6 =.
а — ~р < 2я — б; и- следовательно, знаменатель ~ В' — 2Вг сов б + г' = ( — г)'+ 4Вг е1 о' — » О. 2 По причине равномерной непрерывности на упомянутом трехмерном интервале найдется такое ц ) О, что ~Ф(г, <р, а) — Ф(В, ~р, а) ~<е/2 нри  — т(<г<В, <ре — 6«р<~р,+б, <ре+26<а< < р,— 26+2я, но Ф (В, ~р, а) = О, следовательно, .(Ф (г, ~р, а) (.< е/2 при упомянутых г, ~р; и и, следовательно; ~ 1, ~ < е/2 при  —. т) < г < В, [ ~р — <ра ( < б.- Далее при г < В имеем тг~зВ в $ лй г1 е 1 ( е 1~~ 2 2й 6 Н~ — 2Нгсоз(а — е)+ г~ ~ 2 гя ) 2 ' т и следовательно (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
