1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Негоксдествеляое линейное . преобразование с одной неподвижной точкой кааывается параболическим. Т е о р е и а. 77усть Р— одна ие двух областей, на которые акрухсность (е 'широком сивиле) С делит полную плоскость, Р— точка в Р, т снаправлениеьсвыходлщее, ва Р; пусть Ь вЂ” одна ие двух областей, на которые окружность (в широком смысле) Г делшп полную плоскость, ч — точка в й, и — внаправлсниеь', еыходлщее ив Д. Говда существует единственное линейпое преобравованис, перееодлщев область Р в область Ь, точку 'Р в точку ~) снап авлениеь те внаиравлениеь и. о к а в а т е л ь с т в о.
Сперва ааметим, что внутренность или внешность окружности можко линейным преобразованием перевести в некоторую полуплоскость (для этого достаточно веять линейноЕ преобраеоваяие, переводящее три рааяые точки окружности в какие-иибудь три рааиые точки, из которых одна со). Заметим еще, что в частком случае, когда С и Г, упоминаемые в теореме, являются прямыми, найдется линейное преобрааовавие переводящее Р в А и Р в В), ибо легко получить лияеивое лреобраеовакие Р, составленное ие вращения, параллельного переноса и подобия, переводящее Р в полуплоскость у ) 0 и точку Р в точку д и аналогичное М, переводящее й в пслуплоскость у ) 0 и тансу Р в точку д а тогда М '7 переведет Р в Ь и Р в Я.
После етих вамечаяий перейдем к докаеательству теоремы. Пусть Еь (Мт) — лииейкое преобразовакие, переводящее Р (Ь) в векоторую полуплоскость Р, (Аь); око переводит точку Р (Р) и вваправлеяие» т (и) в некоторые точку Р, (Р,) и «яаправлекие» т, (иь). Пусть У вЂ” лияейяое преобразование, переводящее вкутреивкость «20) КОНФОРМНЫП ОТОБРАЖПНИЯ ОВЛАСТПЙ 2л» при иад«)ежащем выборе К, где ««з (()«) — точка, симметричная и (й) относительно С (Г).
В самом деле, «ав„ЬЬ г„, сохРанЯе«точки О и оо, следовательно, имеет вид Ь . Из й«Б,, ЬЬ га ° — — Ьи у»шожением слева на Щ» и умноженией справа иа Ь„„, получим искомое выражение для Ь. В частности, если Г есть единичная окружность и () = О, то ))« = ас; ио Ь, есть тождественное преобразование, следовательно, в рассматриваемом случае Ь = Ьл«, „, при некотором К. Заметим, что тогда при произвольном К зто преобразование переведет а в О и С в некоторую окружность с центром О, По»тому достаточно потребовать,чтобы некоторое з« на С переходило в точку с единичным модулем.
Таким образом, общий вид всех линейных преобразований, переводящих С в единичную окружность и точку а, не лежащую на С, в О, есть где х« — какан-нибудь, фиксированная точка на С. Иначе говоря, общий вид таких преобразований есть Саа ОО «з = К ... где (К) = з. „а (з») ' (зл() единичного круга в некоторую полуплоскость Ь; оно переведет точку О в некоторую точку )). Пусть Ь« (М,) — линейное преобразование, переводящее В» (Ь«) в б и Р, (О«) в ««; оно переведет «направление» о»«(зд), выходящее из Р, (О«), в некоторое«даправленке» (з'), выходящее из )).
Преобразование Ь» — — )У 'Ь«Е~ (Мз —— = «у 'М,М„) переводит )) (Ь) во внутренность единичного круга, Р (О) в его центр, «направление» з«(л) в некоторое направленно т» (в«), выходящее из центра. Пусть à — вращение, переводящее «направление» т» в «направленно» вз; тогда б = М бу«'» будет искомым линейным преобразованием, переводящим О в Л, Р в О, т в и. Остается покавать, что не существует двух таких преобразо закай 8 и 8«.
Пусть )«' — линейное преобразование, переводящее внутренность единичного круга в Р, его центр в Р, «направление» действительной оси в «направление» в». Тогда Д«»К"»КХ переводит внутренность единичного круга в себя, сохраняет центр и направление действительной оси, следовательно, будет тождественным преобразованием К. Но из )«' 'У го"))г = К (умножаем слева на )У, справа на)У ' и, наконец, «левана о») найдем, что К = К«. 3 ам еч а н и е.
Если линейное преобразование Ь переводит окужность (в широком смысле) С в окружность (в широком смысле) и точку а, не лежащую на С, в точку б, то 222 (гл. 1п аиацитичипмии юуииции. Пуьммер л. Найти всевозможные линейные преобразования, переводящие единичную окружность в себя и точку ск в О. Здесь ыо = 17а, следовательно, искомые линейные ыреобразовання будут: з — а э=К=, где )К! =1 аз — 1 (3.7г) 1 1 1 (ибо если а= геьо,то = =' — е'о и можно ваять хе = еьв).
г .Пример и. Найти все линейные преобразования, переводящие действительную ось в единичную окружность и точку а в О. Здесь ыь = аг следовательно, искомые линейные преобразования будут: в — а в=К вЂ”, где )К!=1. е — а (3.73) Ковформиыв отображения односвязнык областей. Формулировка теоремы Римана — КаратеоДО Р и. Вслкал односвквнал область на полной плоскости, кроме полной плоскости и полной плоскости с выколотой точкой, может быть консбормно отображена на внутренность единичноео круса.
Доказательство етой теоремы здесь не приводится. Иа теоремы Римана — Каретеодори следует, что" всякие две одвосвязные области Р и Ь, отличные от полной плоскости и полной плоскости с выколотой точкой, могут быть конформно отобравсены одна на другую. В самом деле, если Я и Т' — конформвые отображения Р и Ь на внутренность единичного круга, то Т ' Я будет конформным отображением Р на б. Вопрос о том, насколько многообразны ковформвые отображения Р на Ь, легко решается, если будет дока- вана Л ем ма Ш в а р ца.
Если 7 (з) внутри едини внове круга аналитична, по модулю не превытаегп1 и имеет нуль в точке О, то (1(г)! ~~," 4~ ! в ! при )з! ( 1, причем либо )7 (з)! ( ! з! кри О ( ! е'! ( 1~ либо в' (з) = кк, еде )с постоянно и ! )с ! = 1. Щ Доказательство. Танкан((О) = О,то — аналитична ! г(з) ! при !в)(1. Прв (з(=г,гдеО(г(1 имеем — ~< —, следовательно, по принципу максимума модуля ~ — ~ ( — прв !з! ( г. в ~ г Переход к пределу при г - 1 показывает, что при )з! ( 1 имеем ! — ~ У (*) ! ! г'(з) ! У(~) е — Если в некоторой точке ее~ — ~ =1, то — = ! зе = совет = й, где, очевидно, ! й! ( 1. В противномслучае (а также'в 1() предыдущем случае, когда ! й ! ( 1) имеем ~ — ~ (1 при ! з ! ( 1. Таким образом, либо 7' (з) = йз, где !й! = 1, либо ! 7 (з) ! ( ! в ! прн О ( ! е ! ( 1, что и требовалось докааать.
1 зс) конюоузгнын ОТОВпл»пиния Оплвстпи .22Д С л е д от в и е. Коифорла«ое отображение онутреннжти единич. ного круга на себя, сокраклккяее к«очку О и нанравлсние действительной оси, есть тождественное креобровование. В самом деле, если «о = 1 (з) есть таков коиформиое отображе. вие, то 1 (з) удовяепюряет условиям леммы Шварца, поэтому ) 1(з) ) ~«, ) з ) при ) з ) ( 1. Но обратвое отображение з=~р (м) также удовлетворяет условиям леммы Шварца, поэтому ) ~р (м) ) ( м при ) м)(1.Полагаяэдесьм=1(з), получим) з) ~() 1(з) )при)з)(1.
Сравнение получепиых неравенств показывает, что ) 1 (з) ) = ) з ) при ) з ) ( 1. Следовательно, по лемме Шварца 1 (з) = йз, где ) й ) = 1. учитывая, что каправлеиие действительиой оси сохраняется, заходим й = 1 и, следовательно, 1 (з) з. Из теоремы Римана — Каратеодори и предыдущего следствия ив леммы Шварца вытекает Т е о р е и а. Пусть Р (Ь) — односеявная область, отличная от кол. ной илоскости и колкой клоскости с еиколотой точкой, Р (О) точка е Р (Ь), т (н) — «нанравление», вияодлщее ив Р (О). Тогда существует единственное конфоряное отображение Р не Ь, квреводящее точку Р е точку О и «наиравление» т с «накравлекие» н.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 3 (Т) — коиформкое отобрав«еппе области Р (Ь) иа внутренность едиыпчыого круга, существующее в силу теоремы.римана — Каратеодори. Тогда точка Р (О) и «ваправлеыие» т (н) перейдут при этом в некоторую точку Рь (О,) п некоторое «направление» т«(н ). Пусть Р— линейное преобразование, переводящее едивичвую окружность в себя„ точку Р, в точку Оз, «направление» т, в «ыапрэзлевиэ» и,. Тогда У Ч3 будет искомым копформыым отображеыпем Р ыа Ь, перевбдящим точку Р в точку О ы «направление» к« в «направление» в. Остается доказать единственность такого отображения. Пусть 3 (Т) — кояформвое отображепие Р (Ь) ка внутренность едиппчпого круга, переводящее точку Р (О) в точку О, выаправлеыиа» т (и). в «направление» дейстюпелькой оси (существовапие отображепвя 3 (Т) доказано).
Если теперь Π— какое-нибудь кокформное отображеыпе Р ва Ь, переводящее Р в О и т в и, то Т03 « будет коыформкым отображеыкем впутреииости едииичпого круга ыа себя, сохракпющим точку О и направление действвтельвой оси. По следствию из леммы Шварца ТО3 « = Е (тождествеппое преобраэовапие), следовательно, О = Т «3, что доказывает едииствепность О. 3 а меча в из. Если области Р и Ь ограничены окружностями (з широком смысле), то всякое коиформыое отображение Р ва Ь будет линейным, В самом деле, пусть 3 — кояформпое отображекио Р ыа Ь. Какая-нибудь точка М областы Р и выходящее пз вес «иаправлеппе» т перейдут з некоторую точку Ьс области Ь и выходящее вз вее «ыаправлепие» а. Но мы видели, что существует пикейное преобраэовапве Р, которое, как п 3, переводит .Р в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
