1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 28
Текст из файла (страница 28)
$ 6): Ьи = АЬх+ ВЬу+ е, (Ьх, Ьу) у Ьха+ Ьу', 1 (3.62) ЬР = СЬх+ РЬу+ за(Ьх, Ьу) )ГЬхэ+ Ьуз, 3 (Ьх-» О, где е, и е, стремятся к нулю прн (Ь О' и где А, В» у» аналитичискин еункпии - ~гл. гп С,  — некоторые действительные числа (эти числа одноди ди дх значно определены, причем А = —, В = —, С =— дх ) Дифференцируемое в точке (х, у) отображение назы- ! АВ~ вается невырохсдающимся в этой точке, если ~ С В ~ +О.
Л е м м а. Если отображение, дифференцируемое и невырохсдаюи~еесл в точке М, переводит точзу М в точку Ф, то точки, достаточно близкие кМ и отличные от М, перейдут в точки, отличные от Ф. Д о к а з а т е л ь с т в о. Правило Крамера показывает, что если $, Ч определить как функции от а, р нз линейной системы А$+ВЧ+а =О, С6+ВЧ+Р =О, то при (~) О' будем иметь зх + Чз -». О, поэтому найдет(!а~ (о, ся такое число о ) О, что при (~ у ~ ( ' выполняется не- равенство зх + Чз ( 1. Выберем теперь 6 ) О так, чтобы при у' йхх +' съух (6 выполнялись неравднства ~ е ~ ( о, ~ ех ) ( о.
Тогда при О ( у йхх + Ьух ( 6 числа йи, йи одновременно не обращаются в нуль. Действительно', в противном случае числа ах ьу Ч= удозлет3~ахч+ йу' у ах'+ ау' воряли бы системе А$ +ВЧ+е, =О( С$+ВЧ+е, =О,) где ~ з, ~ ( о, ~ зх ~ ( о, зх + Ч~ = 1, что противоречит определению числа о. Пусть отображение ю = ~ (е) дифференцируемо и ' яе вырождается в точке з. Тогда в силу леммы найдется та» кое 6 > О, что лри О () йз ~ (6 будем иметь ~ Ью ~ + О. з 1з) дифеввинцивлимьти отовгажнния 203 Положим Лз=гу (г)0; у=а+(р; [у] =1), аю = рА (р ) 0; Х = и + (т", ] Х ] = $).
Из (3.62) следует: р )ь = Ага + Вгр + гет,'[ рт = Сга + Ргр + ге,] (3.63) где з, = е, (га, г[)), е, = е, (га, гр). Возводя в квадрат и складывая, получим: р' = г[(Ао + В[) + зД'+ (Са+ Р]з + з)'], — = у' (Аа + В[) + з,)*+ (Са + Р]з+ з,)з Пусть ь = $ -]- (д; [ ь ] = 1. Тогда ]пп ~ =~(А$+Вт))'+(С$+Рд)'=р(~), (3.64) т причем стремление рог к р (ь) равномерное относительно ь.
Эту непрерывную положительную функцию р (~) от комплексного числа ь с единичным модулем назовем икдикатрисой растяжений рассматриваемого отображения в точке з. Далее, умнов(ая второе из равенств (3.63) на ( и складывая с первым, получим: рХ = г [(А + КС)а + (В + (Р)[) + з1 + (зз[. Отсюда, учитывая (3.64), найдем: ), (А+~С)5+(В+( )ч © РЮ причем стремление Х к д (ь) — равномерное относительно ь. Эту непрерывную функцию д (ь) от комплексного числа Ь с единичным модулем, значения которой суть комплексные числа с единичным модулем, назовем индизотрисой вращений рассматриваемого отображения в точке з. 204 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [гл. и» Пусть Я вЂ” произвольное отображение области Р плоскости комплексного переменного в плоскость комплексного переменного, переводящее точку М в точку Х.
Обоэначим череэ М« переменную точку области Р, отличную от М, и Ю череэ Х, ту точку, в которую пере- ходит М, при отображении Я. « Пусть т — «направление», выхо- 'М дящее иэ точки М. Будем говорить, что отображение Я имеет в точке М Рис. 48. по «направлению» т коэффициент искажения масштаба х, если (рис. 48) ( М,-+М, ЛЖ1 при л. имеем — '-+ к. ~ (ММпт)-»О В частности, если функция, осуществляющая отображение Я, непрерывна в окрестности точки М и если Я имеет в точке М по «направлению» т коэффициент искажения масштаба к, то всякая дуга, выходящая иэ М и касающаяся в этой точке луча т, переходит в некоторую дугу, выходящую иэ )»', причем отношение хорд И)у,!ММ» стремится к х, когда длина хорды ММ» Рас.
49. стремится к нулю(рис. 49). Если Я таково, что при М„достаточно блиэкой к М, точка )У, отлична от точки )«', то будем говорить, что отображение Я переводит «направяение» т, выходящее ив М, в «напрея«ение» п, выходящее ив Х, если (рис. 50) (М, — М, при ~ ~' имеем ()«')«'и и)- О. (((ММГ, ) 0 В частности, если функция, осуществляющая отображение Я, непрерывна в окрестности точки М и если Я переводит «направленне» т, выходящее иэ точки М, «!91 диФФкгвнциггнмыз Отовгажкния 205 в «направление» и, выходящее иа точки !У, то (рис. 5!) всякая дуга, выходящая нз М и касающаяся в этой точке луча т, переходит в некоторую дугу, выходящую из !у и касающуюся в этой точке луча п.
Изложенное выше по- и казывает, что если отображение Я диффервнцируемо и не вырождается в точке Л( М, то Я имеет в точке М э( по каждому «направле- у . б! нию» т положительный коэффициент искажения Рис. 50. масштаба и каждое «направление» т, выходящее из М, переводится в некоторое «направление» и, выходящее иа Л. Именно, по «направлению» т, Ьбразующему с действительной осью угол а, коэффициент искажения масштаба равен р (е") и «направление» т переводится в «направление» п, образующее с двйствиле тельной осью угол Ь, определяемый из равенства е«ь у (е!а) Отобршкение, конформРвс.
б!.. ное в данной точке. Теорема. Чтобы дифференцируемое и нееырождающееся е данной точке отображение имело е этой точке постоянную индикатрису растяжений, необходимо и достаточно, (А=В, (А= — О, "тобы '(В = — С ""'" )(В = С. Доказательство. Если р(Ь) = сопзФ =р, то (А$ + Вц)' + (С$ + Рт!)» = р» = р«Я» + «)«) при Р + ц'= !. Умножая это равенство на любое В,м 0 и полагая Х = В$, У = Вц, получим тождество (АХ + ВУ)' + (СХ +.ВУ)» = р' (Х' + У») (гл; гн аналнтичвскии етшщни или (А'+ С* — р')Х*+ 2(АВ + СР)ХУ+ (В +Рэ — р) 1 =0; следовательно, все коэффициенты этой квадратичной формы доляэны быть равны нулю, откуда А' + Сэ = Вэ + Рэ, АВ + СР = О нли АВ = — СР. Умножая второе равенство на 2~ и складывая с первым, получим; (А + ~В)' = (Р— 1С)', А + ~В = +- (Р— ~С). (А= Р, (А= — Р, Следовательно, либо (В С либо (В С ' Обратно, 1 (А = ~-Р, усть (В С.
' тогда (А$+ Вц)э+ (С$ +Рд)' = (А$~Ст~)'+ (С$ ~ Ац)э = = А'+ С' при Следовательно, р (~) = ~ А' + С' = сопэ1 = р, что и требовалось доказать. 3 а м е ч а н и е. Если индикатриса растяжений пос- тоянна, то индикатриса вращений имеет вид Йь или К (Й постоянно; ~ Й~ = т). Обратно, если индикатриса вра- щений имеет вид ЙЬ" или ЙЬ (Й постоянно), то индикатриса растяжений постоянна. В самом деле, если р (Ь) = соввФ = р, то по предыду- (А=~Р, щей теореме имеем ~ и поэтому ~В=~С, (А + 1С) $ + (В + РР)т~ = (А + гС)$ + Я: С ~ ~А) д = =(А+1С) ($~ й)); А -~- ~С следовательно, д (Ь) = ЙЬ или д Я = ЙЬ, где Й =— Р ) Й ~ = 1.
Обратно, если д Я = Йь или о Я = Йь, где диФФвгвнцнгунмьш отовважвння 267 $ = сонэ» = й, + й„ то, сравнивая действительные н мнимые части в равенстве (А + «С)$ + (В + «й)«) = р (~) (л, +»)сз) Я ~ «»)) и рассматривая получающиеся соотношения как линейную однородную систему относительно $, ц (которые одновременно не обращаются в нуль), заключаем, что ее определитель равен нулю. Это эначит, что Р (р (~)) = О, где Р (р) = ! с — ь,р в ~ ь,р ! и таким обраэом значениями непрерывной функции р (ь) могут быть лишь корни полинома второй степени Г (р); следовательно, р Я тождественно равно одному иэ этих корней. О п р е д е л е н и е. Дифференцируемое и невырождающееся в данной точке отображение нааывается кокформным в данной точке, если в этой точке индикатриса растяжений постоянна (эта постоянная называется коэффициентом искажения масштаба в данной точке).
В силу предыдущего эамечания индикатриса вращения конформного в данной точке отображения либо имеет вид )«ь (тогда отображение наэывается конформным 1-го рода в рассматриваемой точке), либо имеет вид йь (тогда отображение называется конформным 2-го рода в рассматриваемой точке). Остановимся на геометрическом смысле введенных понятий.
Пусть отображение и = ~ (э), конформное в точке М, переводит точку М в точку Х. Тогда (учитывая, что предельный переход в (3.64) равномерен относительно 1) ЖУ, — — рпрнМ,-ьМ(рис. 52), где р — коэффициент иска- ~3 я«ения масштаба в точке М. Пусть т, и т» — какие-нибудь «направления», выходящие из М под углами а, н а» к действительной оси. Им соответствуют «направления» в1 и и», выходящие иэ У под некоторыми углами Ь, и Ь» к действительной оси. В случае д (ь) = кь получаем (полагая Ь = е"): ЕШ вЂ” ЕЦс+ Э е'ь, — 'Ф+ 1 ф«ь;Ь — ««(а;ад ю 208 ьгл, пь АНАлитичкскии Функции поэтому (при надлежащем выборе Ь,) Ь,— Ь,=а,— а, нли (рис. 53) л л (п„п,) = (т„ть). Это покаэывает, что при конформном отображении 1-го рода углы между «направлениями» сохраняют величину и ,Г Рис.
53. Рис. 52, М ~у Ф у Рис. 54. Рис. 55. ориентацию. В случае д (~) = ЬГполучим (полагая й *=е"): Е«Ь' = ЕК д Е'и — Еаь- д ЕКЬ Ьд = ЕК д« Ф 1 поэтому (при надлежащем выборе Ьь) Ь,— Ь1 =аь — а, или (рис. 54) л л (п„п,) = (ть, т,). Это показывает, что при конформном отображении '2-го рода углы между «направлениями» сеиран«иот величину; г $м диФФвгвнцнгувкыв ОтОБРАжания 209 но меняют ориентацию. Наконец (учитывая, что предель- ный переход в (3.65) равномерен относительно ь), находим, что (рис.
55) ( ЖХ„ИУг)- ~(Р М,-+М, прн М,-~М, (М 11 и ММ2) + Ф (верхний энак — для конформного отображения 1-го ро- да, нижний — для конформного отображения 2-го рода). В частности, если ~ (г) непрерывна в некоторой окрестности точки М, то в случае конформного отображения 1-го рода (2-го рода) в точке М две дуги, выходящие иэ М (рис. 56) И Ю и пересекающиеся в этой точке под углом р, переходят в две дуги, выходящие иэ Ф.и 'пересекающиеся в этой точке под углом р ( — ю). Заметим теперь, что условия (В = — С (А = — Р, и (В=С являются условиями Кеши. — Римана,соответственно для (А =~Р, у (г) и ~ (г) и что при ~В ~ С ' условие невырождения отображения состоит в том, чтобы А и С одновременно не обращались в нуль, так как = ЫА'+ С').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
