1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 24
Текст из файла (страница 24)
к 1' (г). Пусть С вЂ” замкнутый контур, лежащий вместе с внутренностью в Р, и г — точка внутри С. Тогда по формуле Коши с Но 1„.(ь)-ь1(ь) равномерно на С, следовательно, (1) / Ф ( — г ~ — г равномерно на С (при фиксированном г); поэтому на основании правила предельного перехода (3.38) 1(г)= — г,и у ~ 1 -х / (ь1 $13) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ-И РЯДЫ $7$. Таким образом, внутри С предельная функция 7' (г) выражается интегралом типа Коши, следовательно, являет ся аналитической.
Но любую точку области .Р можно окружить таким контуром С, следовательно, предельная функция 7 (г) аналитична во всей области Р. Пусть теперь Л вЂ” какая-нибудь ограниченная замкнутая область (рис. 35), лежащая з Р, и С вЂ” замкну- С тый контур длины Р, лежащий вместе с внутрен- Ю постыл в Р н такой, что Ь лежит внутри С. Пусть б — расстояние между С и Л (т. е.
наименьшее из расстояний точек на С от точек в Л). Имеем при г, ле. жащем в Л (в силу формул (3.44) для л = 4): с Но 7'„(~) -+. 7' (~) на С равномерно, следовательно, дли всякого з) О найдется такой номер Х, что при л дг будем иметь у„(~) — 7' (Д( ( е при всех Ь на С. Тогда из последней формулы найдем (по правилу оценки модуля интеграла) ~ -2я Ь' при л ) Ф и любом г на Ь. Этим доказано, что /„(г) -+ 7" (г) равн<йаерно на любой ограниченной замкнутой облаг сти й, лежащей в Р.
3 а меч ание. Мы видим, чтопоследовательностьпроизводных 7'„(г) находится в таких же условиях, как последовательность функций 7"„(г), позтому к ней также применима доказанная теорема. $76 [гл. гп ьнвлитичвскив Фрикции Таким образом, если последовательность аналитических функций ~„(х) в области Р равномерно сходится внутри Р и ~ (з), то последовательность проиаводных любого порядка от ~„ (з) равномерно сходится внутри Р к производной такого же порядка от ~ (г).
Пусть теперь имеем функциональный ряд ХЧ„(з), члены которого суть аналитические рнс 3с функциивобластиР. Издокааанногосле- дует, что если этот ряд равномерно сходится внутри,0, то его сумма аналитична в Р и ряд можно сколько угодно раз почленно дифференцировать, причем все получающиеся ряды равномерно сходятся внутри Р. Аналитичность суммы степенногоряда. Пусть ~~~~~ А„г"— о степенной ряд и  — его радиус сходимости. Пусть Ю < г < В.
Точка г, как лежащая внутри круга сходи- мости (рис. 36), есть точка абсолютной оходимости степенного ряда, т. е. ряд Х )А„г") сходится. По при з) = г имеем )А„з") < !А„г"), поэтому степенной ряд А„х" равномерно сходится на круге )з) < г. Так как любая замкнутая область,' лежащая внутри круга сходи- мости, может быть заключена в круг )х) <г при надлежащем выборе числа г < В, то приходим к следующему заключению: всякий степенной ряд равномерно сходится елувгри круга"сходимости. Н р ни е ч а и не. На внутренности круга схсдвмсств сходвмость может быть неравномерной. Так как члены степенного ряда А„з" являкпся аналитическими функциями, то из доказанной теоремы следует, что сумма степенного ряда есть аналитическая фуйкция внутри круга сходимости и что степенной ряд можно любое число раз почленно дифференцировать внутри круга сходимости.
Следовательно, получающиеся в результате этого степенные ряды имеют не меньший радиус сходи- мости (на самом деле .— тот же радиус сходимости). г ы) Ряд тнилога Аналогично, степенной ряд,,'»,'.4„(г — а)" равномерно с сходится внутри круга с центром в точке а (рис. 37), а его сумма есть аналитическая функция внутри этого круга; Рис. ЗВ. Рис. 37 ряд,~»А„(г — а)", имеющий кольцо сходимости (рис. 38), равномерно сходится внутри кольца и его сумма есть аналитическая функция внутри этого кольца. При этом за» конно почленное дифференцирование любое число раз.
й 14. Ряд Тейлора Пусть 7" (г) — аналитическая функция внутри круга с центром а (радиус которого может быть, в частности, равен + ос — тогда это будет вся плоскость). Пусть г — точка внутри данного круга и С вЂ” концентрическая окруж- „г ность меньшего радиуса такая, что г "и 'лежит внутри нее (рис.
39). Пусть С г = (г — а), р — радиус круга С. По формуле Коши 7(г) = — — аЬ. Рис. 39. ги» ~ 1 — с При ь на С имеем: $ 1 1 1 — с Я вЂ” а) — (с — с) 4 (1 с — а') ' 1 — а/ ~с — а!» и так как ~ — ~ = — ( 1, то последнее выражение (ГЛ. йг АНАЛИТИЧВСКИН ФУНКЦИИ можно рассматривать как сумму убывающей геометрической г — а прогрессии с первым членом — и знаменателем— ь — а ь — а' Таким образом, 1 1 а — а — = — + — + ь — г 4 — а (4 — а)' + Э (г — а)" ~д (г — а)» а)»»1 ' ~ (»» )»аг ' Сходимость этого ряда равномерна по ь на С (при фиксированном г), так как этот ряд мажорируется числовой ч3 г убывающей геометрической прогрессией л.1 — — ы. Умножая предыдущее равенство на 1 (Ь), интегрируя почленно по С и деля на 2я(, получим: 1 А1ДМ +", „1 Х )аа $" — * »л 2ю У (г »а)»ы ( (г) = ,~ ~, А„ (г — а)", где А ' ~~~) "й .
— й $-(~ а)»ы* +Ф /(г) = ~ А„(г — а)", а (3.45) причем Г есть произвольно фиксированная окружность с центром а, лежащая внутри первоначально заданного ируга (замена С на Г законна, так как — анали) (ь) (ь — а)»+~ тична между С и Г, включая их). Итак, доказана следующая теорема.
Те о р е м а. Всякая аналитическая (рункция ( (г) внутри круга с центром а может быть разложена внутри этого круга е степенной ряд Ряд теилОРя огФФициенты которого определяются Формулой А„= — „с ~3 „,с)з (и = О, $, 2, .,), (3,46) где à — какая-нибудь окружность с центром а, лежак(ая внутри данного круга. Этот степенной ряд называется рядом Тейлора для / (з) в рассматриваемом круге, Пусть функция ~ (з) разложена в круге с центром а + в в какой-нибудь степенной ряд,~~ А„(з — а)".
' Пусть с à — концентрическая окружность меньшего радиуса. Тогда яа Г етот ряд равномерно сходится. Умножая равенство ~ (з) = ~ч~~ А,(з — а) па,, интегрируя затем в 1 (в — а)™ ~ $ почлеяпо вдоль Г и умножая еше иа —, получиьп +О~ ~ 4 ((')~' '~~ ф4(з а)в-"тйз —,4„ (в — а)ны зяс у г ь учитывая, что в силу (3.36") 1 (~ гаь (О й+и, Этим доказана единственность равложеяия аиалитической функции в круге с центром а в степеипой ряд по степеням з — а. Л е м и а. Пусть / (в) — аналитичвскалс усункция в адласти Р, равная нулю в некоторой сбласти д, свдврясаиввйся-в Р. Тввда 1 (в) тсясдвстввннв равна нулю в Р.
Сделаем предварительное замечание. Из формулы (ЗАО) видно, что если функция аналитична внутри некоторого круга К и равна нулю в коицевтрическом круге к меиьшего радиуса (рис. 40), то ола равна пулю внутри круга К. В самом деле, евлв Г лежащим внутри меньшего круга к, найдем по формулам (3.46), что все А„= = О, ко тогда по формуле (3.45) г' (в) = 0 внутри К. Рассмотрвм теперь конечную цепочку лежаспвх в Р кругов Км Кв обладающую тем свойством, что центр каждого круга лежит внутри предидущего круга, цевтр первого круга лежит в д, цевтр последнего крута люккг в произвольно вмбраииой точке я области Р, 180 (гл.
гц АнАлитичвскив Функции Такую цепочку кругов можно, например, построить следующим способом (рис. 41). Соединим точку е„принадлежащую области о спрямляемой дугой Г с точкой ю Пусть положительное число с меньше расстояния дуги Г до границы области )). Разобьем Г на конечное число частей с длинами, меньшими 6. Тогда цепочка кругов радиуса 6 с центрами в точках деления удовлетворяет всем нужным требованиям. С помощью сделанного выше замечания найдем последовательно, что ( (е) равна нулю внутри К„внутри Кю ..., внутри К„.
Таким обравом, для любой точки х области 0 получим ) (е) = О. Рис. 41. Рис. 40. Легко видеть, что если Г' (г) — аналитическая функция в области Ю, не равная тождественно нулю, то вокруг всякой точки а области Р можно описать такой круг, лежащий в Х~, что внутри этого круга, кроме, может быть, точки а, функция Г (г) отлична от нуля. В самом деле, опишем около точки а круг, лежащий в Ю.
Согласно лемме в этом круге Г' (г) не может быть тождественно равна нулю. Следовательно, в разложении функции ( (г) в этом круге в ряд по степеням г — а не может случиться, что все коэффициенты равны нулю. +со Пусть в упомянутом разложении Г(г) = ~~'~ А„(г — а)" е первый иэ коэффициентов, отличных от нуля, есть А (и „и 0), тогда Г (г) = А „ (г — а)" + Авы (г — а)"ы + ... = '(г — а)"<Р (г), где <р (г) = А„+ А„„(г — а) +... Функция у (г) непрерывна в точке а и ю (а) = А в + О, следовательно, в достаточно малом концентрическом круге меньшего радиуса у (г) чь О, а поэтому, за исключением, быть может, точки а, имеем в этом круге у (г) р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
