1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Действительная часть всякой аналитической функции есть гармоническая функция. В самом деле, пусть /(г) =и(х, у)+Ь(х, у) есть аналитическая функция в области Р. Будем предполагать, что и (х, у), о (х, у) имеют непрерывные частные производные до второго порядка вкл1очительно в области,9 (заметим, что это предположение не является ограничением, ибо так всегда будет, но из самого определения аналитической функции этого непосредственно не видно).
Дифференцируя уравнения Коши — Римана дз дх дх ду' дх дх ду дх соответственно по х и по у и учитывая независимость част- ных производных от последовательности дифференциро- ваний,, получим: дьв дЪ = — — — =О; дх ду дх ду следовательно, и (х, у) есть гармоническая функция в области Р. Очевидно, о(х, у) будет тоже гармонической, ибо является действительной частью для — ц'(х) = у (х, у)— — Еи (х, у). В случае односвязной области .0 (область называется односвягной, если всякий непрерывный замкнутый путь, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя из области) справедливо обратное предложение.
е а) инткгглл а тнкции комплнксного пковмвнного 159 Вслака гармоническая функция в односвлгной области Э лвллетсл действительной частью некоторой (одновначной) аналитической фунхции. В самом деле, если и (х, у) — гармоническая функция в области .О, то можно найти такую функцию о (х, у), которая связана с и (х, у) уравнениями Коши — Римана дх ди дх ди дх дд ' ду дх ' ди ди если ааметить, что выражения Р = — — и () = — удовдт дх дО др летворяют условию — — — = О так как дх ду Следовательно, и (х, у) + й~ (х, у) есть аналитическая функция комплексного переменного г = х + еу в области Ю.
Гармоническая функция о (х, у) называется соирлэеенной для гармонической функции и (х,"'у). Мы видим, что ди если и (х, у) — гармоническая, то выражение — — ах+ ди + — йу является полным дифференциалами задача отысдх канна сопряженной гармонической функции есть задача интегрирования этого полного дифференциала. Сопряженная гармоническая функция определена с 'точностью до произвольного постоянного слагаемого. $8. Интеграл функции комплексного переменного Простой интеграл от комплексной функции действительного переменного. Пусть ~ (г) = ~р (О + йр (Г) — непрерывная комплексная функция действительного переменного г на сегменте Г„«г < Т (рис.
28). Разбив этот сегмент на части с помощью точек деления ~г (4„< г, « ... е„< е;„, « ... Гг г) и ваяв на каждой части какую-нибудь точку т„, составим сумму х-1 Х 1(т,)М, г-о где йе„= г„„е„. 1бО ~гл. гн аналитнчвскив эвикции Тогда предел атой суммы при стремлении к нулю наибольшей из разностей Ькк есть по определению интеграл ((г) ~й. Из равенства е Х1(тк) Ык = = Хт(тк) й~к+ кХф(т ) аг к к к (, г, ф кки кк, Рис. 28.
т т т в пределе получим формулу ~~(~) Й = ~Ф(~ А~+ к ~ф(~)Ж ь ь ь ((з) дз. АВ (3.33) Легко выразить этот интеграл через обыкновенные криволинейные интегралы (отсюда будет вытекать и факт существования интеграла (3.33), если существование криволинейных интегралов .считать известным). Определение интеграла функпии комплексного переменного; его выражение через криволинейные интегралы и простейшие свойства. Пусть ~ (з) — непрерывная функция комплексного переменного на некоторой кусочно- гладкой дуге АВ (рис.
29). Разобьем дугу АВ ниГ части; пусть гк комплексные числа, соответ- Хд.! ствующие точкам деления, будут зк. На каждой части возьмем точку, соответствующую тк ~ числу (к (в качестве ~», в част- г, 4к ности, можно взять зк), н обра- с-1 зуем сумму к,' ~ (~к) Ьзк, где и к=с А Ьзк — — зк„к — зк. Предел этой суммы (при стрем- Рис. 29. ленин к нулю длины наибольшей из частных дуг) называется интегралом от ( (з) вдоль дуги АВ и обозначается знаком К З! ИНТЕГРАЛ аУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО абв Полагая р' (г) = и (х, у) + Ра (х, у); гк = хк + 1ук, будем иметь: ~(г) дг = 11ш~~~~~(гк) ага —— в . к = 11шЯ [и (хк, ук) + 1Р (хк, у )1 (сахк + Мук) к =11ш,Я [и(хк, ук) Ьхк — Р(хк, у„) Лук)+ к + 111ш~~~~ [о(хк, Ук) Ьхк+ и(х„,'Ук) ЬУк) = к = Г1 идх — оду+1 ~ Ре[х+ иду. АВ АВ Таким образом, ~ 1(г) Ыг = ~ и дх — о с(у + 1 ~ о е[х + и ду.
(3.34) АВ АВ Хв Из непосредственного определения интеграла (3.33), а также из формулы (3.34) вытекает, что при перемене направления пути интегрирования интеграл заменяется противоположным числом: ) = — ~ ' если путь разбит на ВА АВ части, то интеграл по всему пути равен сумме интегралов по его частям; интеграл по замкнутому пути не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода (в случае простого замкнутого контура можно употреблять обозначения ф и ~, причем ~ = — ф); постоянные множители выносятся за знак интеграла; интеграл суммы равен сумме интегралов. Преобразование интеграла функпии комплексного перенеииого в простои интеграл от комплексной функции действительного переменного. Если х =х(Х), 1 „()' г Г,<1 <1„ суть параметрические уравнения дуги АВ, то г = г (с), где г (1) = х (с) + 1у (1) есть комплексное параметрическое уравнение дуги АВ.
Тогда интеграл от функции комплексного переменного (3.33) может быть преобразован в 6 П. И. Романовский $62 Аналитичискнн еннкции (гл. пг простой интеграл от комплексной функции действитель- ного переменного по формуле ) [(г) с[г = ) ) [г (г)! г' (с) с[в (3.35) АВ ~(г)всг = ') ив(Х вЂ” ВЫУ+ Р ~ ВСсХ+ ив(У = в Лв с, ( и — „* —  — '~ ) сй + р ~ (  — + и — „" ) (Й = св с, ='1 (и+ рл) (дс + 8 дс)с(с =$с (г) а, ссв =~ с [г(в)[г'(г)йс. 1 г с(в Пример.
Найти ~4, а, где С вЂ” круг радиуса и с центс ром а и+ сб. Параметрические уравнения етого круга суть а=а+ В совср,[О», »а, у= б+ В в(пср,) следовательно, коьсплексное параметрическое уравнение будет в = и + Сб+ В (сов ср + с в!п ср) нли в = а+ Ве'е. Повтому ва вв Ф- =~-.. Ив с"- (Вес")' асср (З.ЗО) е Если делов число и ~ — 1, то (с — а)е аг = ~ (Ве е)" (Вес")' Нр в ,с и ~ В~~в а(~в)~енр Ва+сс ~ = О. (а+ 1)( (з.эу) [предполагаем г (с) непрерывно дифференцируемой функцией от с[. Формулу (3.35) можно вывести непосредственно, а также получить ее нз аналогичного правила для обыкновенных криволинейных интегралов следующим образоьа г 8) интеГРАл Функции комплекснОГО ЦИРеменного 183 Таким обраасъц цри целом и Я к+ — 1, ф (в — а)" вв = ~ С (З.Зб") Оценка модуля интеграла.
Если на кусочно-гладкой дуге АВ, имеющей длину7, имеем!7' (г)! ( М, где ~ (г)— непрерывная функция комплексного переменного на дуге АВ, то ~,Я~(г„)Ьгз~(,Я(~(г„) !! Ьгз!(М Я!Ьгз~. 7(г) с(г~ ~(ЛХА.. АВ (3.37) Таким обраэом, модуль интезрала от непрерывной функции комплексного переменного вдоль кусочно-гладкой дуги не превосходит произведения длины дуги на максимум модуля подынтегралъной функции на этой дуге. Предельный переход под знаком интеграла. Пусть есть последовательность непрерывных функций комплексного переменного г на кусочно-гладкой дуге АВ (длины Ь), Равномерно сходящаяся к 7 (г) на этой дуге (это значит, что для всякого е ) О найдется такой номер )ч', что при и) 7у для всех гнаАВ будемиметь (~„(г) — 7 (г) ! ч е). Функция ~ (г) будет непрерывна на АВ (это доказывается так же, как в случае действительного переменнако).
Тогда (3.38) Но ! Лг ! есть расстояние между точками г„и гьн и, следовательно,,Я~ ! Авъ ! есть длина ломаной линии, вписанной в дугу АВ, поэтому,Я~!Евв!~(Х" и Следовательно, ~ ,'~~~~(в ) йв„~ ~ Мг., откуда в пределе 164 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ «гл. Цн В самом деле, взяв е ) О, найдемтакоеЛ«, что нри и ) >«У будет(~„(з) — / (з) ( ч- а для всех з на АВ. Тогда по (3.37) получим: ~ ) )„ (г) ««з — ) 1(з) «)г ~ = ~ ) Ц„ (е) — ) (г)) ««з ~ ( еЬ лв лв лв прн и ~«'ч', что и доказывает (3.38). 9 9.
Основная теорема Коши Пусть функция «о = ~ (з) = и (х, у) + «о (х, у) аналитична в односвязной области Р. Предположим, что частные производные первого порядка от и (х, у), о (х, у), существование которых вытекает из аналитичности ~ (з), непрерывны в области Р (ааметим, что это предположение не является ограничением, ибо так всегда будет, но иа определения аналитической функции этого непосредственно не видно).
Пусть С вЂ” какой-нибудь кусочно-гладкий замкнутый путь, лежащий в Р; тогда в силу (3.34) ~) (з) «Ь = ~ и««х — и««у+ « ~ оах+ и««у; с с с ф /(е)«Ь = О. с (3.39) но в силу условий Коши — Римана имеем — = —; д( — в) ди дх ду да дв — = —; следовательно, выражения и «)х — у«)у, о «(х + дх ду + и««у являются полными дифференциалами в односвязной области Р, поэтому интегралы по замкнутому контуру С от них равны нулю и, следовательно, ~ ~ (з) ««з = О.
Таким с образом, справедлива следующая теорема. О с н о в н а я т е о р е м а К о ш и. Если функция) (з) аналитична в односвяаной области Р, то интеграл от атой функции вдоль всякого кусочно-гладкого замкнутого контура, лежащего в области Р, равен нулю. В частности, если С вЂ” простой аамкнутый контур и у (г) аналиаична внутри него и на нем, то ОснОВнАя тковемА коши ф~(г)йг= ф1(х)аг+ф/(з)йг+...+ ф~(з)йх. (3.39') с с, сэ В самом деле, пусть, например, внутри контура Д (рис. 30) лежат два контура С' и С" и у (з) аналитична между контуром С н контурамн С', С", а также на всех этих контурах. Проведя простые гладкие дуги И,тп, ро, соединяющие С и С', С' н С", С" н С, получим в силу основной теоремы Коши: У и р и ((з) аг = О, ивгь птрд ~(з)аг = О.
зьирььтпг Рас. 30. Складывая эти равенства почленно и замечая, что по кагкдой из дуг И, тп, ро интегрирование происходит два раза в различных направлениях, получим: 4!кг*-~У!(*)г.<-1!ын -0 с с ф ) (з) аг = ф1 (г) йг + ф ~ (х) ах, с с' с" В частности, если ~ (з) аналитична в окрестности точки а кроме самой точки а, то интегралы по всем достаточно малым простым замкнутым контурам, окружающим а (взятым в одинаковом направлении, например положительном), равны между собой.
В самом деле, пусть С, и Сз (рис. 31) — достаточно малые контуры, окружающие а. и Сг — контур, окружаюший а и лежащий одновременно Теорема Коши для сложного контура. Пусть С вЂ” простой замкнутый контур и С» Сз, ..., ф— простые замкнутые контуры, лежащие внутри С и ене друз друга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
