1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 20
Текст из файла (страница 20)
е((деве) = е"+д"( = е'* ! следовательно, соз г, з(а г (как выражающиеся через е") имеют также период 2 я. Периодичность. Показательная функция е* имеет период 2яд. В самом деле, е*ееед = е'езм = е* (соз 2я+ д в(п 2я) = е*. Отсюда следует, что сЬ г, вЬ г (как выражающиеся через е) имеют также период 2яд.
Далее, функция е" имеет период 2я, так как б б1 нвкотогыи многозначнын ФУнкции 147 5 5. Некоторые многозначные функции комплексного переменного Логарифмы комплексных чисел. Число ю называется логарифмом комплексного числа х (по основанию е), если е" = х. Всякое значение логарифма числа х обозначим знаком Ьп х. Пусть хчьО (нуль, очевидно, не имеет логарифма, так как показательная функция в нуль'не обращается).
Пользуясь показательной формой данного числа х, х =. = ге" (г.— модуль, ~р — аргумент) и алгебраической формой искомого числа и, и = и + бг, получим требование е"' ' = геб' нли е"е" = ге", откуда е = г, и = <р + 2йя (й — целое число) и, следо- вательно, и = 1пг+ 1Ор + 2 йн). Обратно, прн всяком целом й последнее выражение, как непосредственно видно, есть значение логарифма числа х. Таким образом, Ьп х, где х+О, имеет бесконечно много значений, причем'все они получаются по формуле 1пх = 1п г+ 1(~р+ 2йя) (3.21) (й — произвольное целое число) или Ьпх = 1п ~г ! + 1 Агах. (3.21') Отсюда видно, что все значения Ьп х получаются иэ какого-нибудь одного (Ьп х), по формуле Ьпх = (1пх), + 2йяб (й — произвольное целое число). Легко видеть, что обычные правила логарифмирования остаются в силе.
Степени с комплексными основаниями и номплексными показателями. Пусть А и  — любые комплексные числа (где А чб* О). Полагают по определению А  — евьее Отсюда видно, что эта степень, вообще говоря, имеет бесконечно много значений (так как ЬпА имеет бесконечно много значений). В случае, когда В есть действительное целое число, значения показателя В Ьп А правой части 148 енелитичвскив егнкции игл. гн отличаются между собой на кратные от 2 п~, и, следовательно, Ав имеет в этом случае одно значение. ггрммер.
~ьо' ' ь~( +ы") ( +ы") П1 е е е (Ь вЂ” любое целое). Обратные тригонометрические функции. Пусть х— какое-нибудь комплексное число. По определению Агсэ1п г есть любое комплексное число и такое, что э(п и = г. Следовательно, приходим к уравнению е1~ — е 2$ или еоь' — 2гге'"' — 1 = О, решая которое, получим: е"" = 1х+ у'1 — г'; ю = —.Т,п(1г+ у' 1 — гг). Многозначность этой функции происходит от двух причин: двузначности квадратного корня„ бесконечнозначности логарифма. Выражение (3.22) имеет смысл для всех значений г, ибо выражение, стоящее под знаком логарифма, всегда отлично от нуля.
Далее, Агссоэ г есть любое комплексное число в такое, что соз в = г, следовательно, получаем уравнение е'~+ е г или емо — 2геьо+1 =О, откуда есе =х+ Уг* — 1; в = — Ва(г+ Уг~ — 1). Таким образом, все значения арксинуса даются формулой Агсзгаг = —,1п((г+ у' 1 — г'). (3.22) 1 51 никотогыи многознлчныи Функции 149 Многозначность этой функции происходит от двух причин: двузначности квадратного корня и бесконечнозначности логарифма. Выражение (3.23) имееет смысл для всех значений г, так как выражение, стоящее под знаком логарифма, имеет смысл для всех значений з и так как это выражение всегда отлично от нуля.
Рассмотрим еще Агсзя з, определяемый как любое такое число ее, что 1И ее = з. Имеем: ев -ев =г ; (еев +;ев) или е~~ — 1 — = ег' ее~~+1 следовательно, емв = —. 1+Ег 5 — е 1 — 55 5+е ' Таким образом, 5 — е е» = — 1л —. 25 5+е ' 1 5 — е Агс1яг = —. 1л —. 25 5+е ' (3,24) Многозначность этой функции происходит от многозначности логарифма. Выражение (3.24) теряет смысл при г = ~- 5.
Обратные гиперболические функции. По определению АгзЬ г есть любое такое комплексное число и, что зЬ ю = = г. Имеем; Ев — е в или егв — 2гев — 1 = О, откуда ев = г + у' ге + 1; ы = Еп (г + )/ г' + 1). Таким образом, АгзЬг = Еп(з+ ~егг+ 1). (3.25) Таким образом, все значения арккосинуса даются формулой. Агссоз г = —, (л (г + у' г' — 1). (3.23) (гл.
ьи Далее, АгсЬ з есть любое такое гп, что сЬ ю = з. Тогда ем+с и 2 евк — 2зем+ 1 = 0; е = 1,п (з+ ~ зэ:1), е" = в+ )/з* — 1;. следовательно, АюЬ з = 1,п (з + у' зэ — 1). (3.26) ш, что 1 Затем, Аг1Ь з есть по определению любое такое 1Ью = з. Тогда еам — 1 ем — е м ем ) е-м =г; е'и = —; и = — Ьп —. 1 ~-з 1 1+э 1 — э' 2 1 — э' Следовательно, (3.27) Аг(Ьз = — 1п —. 1 1+э 2 1 — э' Это выражение теряет смысл при з = ~ 1. В теории аналитических функций многоэначнме функции целесообраэно рассматривать как одноэиачкые на некоторых многолистных поверхностях (так нааываемых римановмх поверхностях).
Не имея воэможности привести эдесь какое бы то ни было общее определение этих поверхностей, ограничимся примерами наглядного построения этих поверхностей для простейших многовначных функе ций г'э, 1л э. Рассмотрим а экэеьшляров плоскости комплексного переменного в (которые эанумеруем числами 1, 2, ..., в), равреванных по положительной части действительной оси, и склеим их следующим обраэом. нижний край разреза первого экземпляра склеивается с верхним краем равреэа второго экэемпляра, нижний край раэреаа второго экземпляра — с верхним краем раэреаа.третьего вквемпляра к т.
д., нижний край разреза (в — 1)-го экземпляра — с верхним краем равреэа и-го эквемпляра, наконец, нижний край раэрева в-го экэемпляра — с верхнем краем раэрева первого экэемпляра (последнее склеивание невозможна сделать беэ пересечений). В ревультате получится и-листная поверхность, с точкой раэветвления над О. Описмвая простой аамкнутый контур, охватывающий. точку О, мы после каждого обхода будем попадать на следующий лист и после и обходов придем в первоначальное положение. и-эначную функцию и г' э ка обычной плоскости комплексного переменного можно рассмат- з з1 производная ривать как одиоэкачпую па построеплой л-листиой поверхиости. Ото будет римапова поверхность для г"з.
Рассмотрим теперь бесконечное множество экземпляров плоскости комплексного переменного (пропумероваиимх с помощью всох целых чисел = О~ с разрезами по положительиой части дейст< вительпой оси. Для каждого целого п склеим нижний край л-го экземпляра с верхним краем (и+ 1)-го экземпляра. В результате получим бескокечполистпую поверхпость. Обходя замкпугмй коитур, охватывающий точку О, в любом направлении любое число раз, мы будем всякий раэ попадать иа иовме листы и никогда ие вернемся в первоначальное положение. Бескопечиозиачиую фупкцию Агя з ва обычной плоскости комплексного переменного можно рассматривать как одиоапачпую ка построенной бескопечколистпой поверхности. Тогда ла атой же поверхности (.и з можно рассматривать как одкозпачпую функцию (эта поверхвость является римаиовой поверхностью для 1.а з).
й 6.- Производная функции комплексного переменного Производная комплексной функции действительного переменного. Пусть з (() = х (г) + гу (() — комплексная функция действительного переменного г. Эта функция называется непрерывной в точке г', если для всякого з ) О найдетсятакое т() О, что прн (ЬЦ( ( т( имеем ! г (г + ЛΠ— г (~) ! ( е. Для непрерывности г (() в точке г необходима н достаточна непрерывность функций х (() и у (() в точке г. Производная от г (() в точке г есть по определению Иш —, Ьз щ-е ~' если он существует, и обозначается дз/Ю нли х' (~). Из определения следует, что для существования г(з!Ю необходимо и достаточно существование Ых/й и Ну/Ю, причем — — — +(— щ нз бг Определение производной функции комплексного переменного.
Пусть и = 1 (я) — функция комплексного переменного з. Эта функция называется непрерывной в точке х, если для всякого в ) О найдется такое з) ) О, что при ! Лз! ( ц лнялитическив Функции 1гл. 111 (если г + Лг) входит в область определения функции) имеем ) Ли )(е. Производная от 1о = 1 (г) в точке г (функция предполагается определенной в окрестности этой точки) есть по определению аи П 1 (*+ аг) — ) (.) а| 1 а аг о Ье если он существует, и обозначается дв/Иг или )" (г). Для существования производной в точке г необходима непрерывность функции в этой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
