1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если х=х(Ц) 1 <1<8 у=у'(~ — параметрические уравнения Г (пусть возрастанию отвечает обход Г в положительном направлении), то в=х(Х), 1 у=у(г), ) г,(ю<г„ . х = з (й), ) где г (й) = У [х (г), у (х)! будут параметрическими уравнениями С. д) д~ Полагая — = р, — = о и используя правило предх ' дв образования криволинейного интеграла в простой интеграл, можем написать: ~Р[х+Е [у+я [х=~(Рф+а — ",У, +яф),[Г = с ь = ~Рф+ дф+Л(рф+д — "")~ [г- 1 =Ц~Р+РЛ) —",*, +Я+ЧЛ) лу,'йГ= ~ (Р + РЛ) с[х + Я + от) оу, (2.45') причем в последнем интеграле Р, О, Л следует понимать как Р [х, у, ~ (х, у)), О [х, у, ~ (л, у)), В [х, у, 1 (л, р)), т. е.
как функции двух переменных х, у. Формула Грина, преобразовывающая криволинейный интеграл по замкнутому контуру в двойной интеграл по И4 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ !гл. и области, ограниченной этим контуром дает; (Р + РЛ) йх+ (() + ОЛ) йу = = ~~ ((() + 'дЛ), — (Р + рй)„) йхйу, (2.45") но (испольауем формулу полной проиэводной и полагаем дх дх Р У~ дх дх Р)' д() дУ где дл +~ )" ду + дх х+ +~ ~ду дх х)' дР дР /дВ дп откуда И+дЛ) — (Р+рЛ) = ( дх ) Р ( дх дх ) хх+( дх — ф).(2.45 ') Иэ равенств (2.45'), (2.45"), (2.45 ) и формулы (2.36) (см.
конец $7) получаем искомую формулу Стокса; ~ Рйх+ Чйу+Лйг = с ~(дВ ~х~) „, (~Р и~) + ( — — — ) йх йу, (2.45) где направление обхода контура С берется положительным для выбранной стороны поверхности. Но эта формула докаэана пока лишь для куска поверхности специального вида. Меняя роли переменных, получим формулу (2.45) также для поверхностей 8, иэобрааимых уравнением вида х = ~(у, г) или уравнением вида у = ~ (г, х). В общем случае разобьем Ю на конечное число частей, каждая нз кхоторых иэобраэима либо уравнением вида х = ~ (у, г), либо уравнением вида у = ~ (г, х), либо уравнением вада в = ~ (х, у) (мы ограяичнеаемся поверхностями 8, которые э а(1 ВвктОРНАЯ 3Апись ФОРмУлы стоксА 115 могут быть разбиты таким образом).
Применяя к каждой части формулу (2.45) и складывая полученные равенства (при этом интегралы по перегородкам взаимно уничтожатся), докажем справедливость формулы (2.45) для рассматриваемого куска поверхности. Теперь формула Стокса (2.45) доказана в общем виде. 4 и. Векторная запись формулы Стокса.
Вихрь векторного поля Пусть а (М) — векторное поле, Я вЂ” кусок поверхности, С вЂ” контур, ограничивающий его. Имеем в силу (2.26) и (2.45): Из (2.46') и (2.46") находим~ 4 (а(а~-Я а а . с (2.46) ~(з(М)(аз' = ~а (ах+а„((у+ а,(1з с с ~~~(д да) У +(д д ) + з / да„да„~ + ( —" — — *) ((х((у1. (2.46') ~да ду) Определение. Вихреаа векторного полна(М) вточке и, у, з называется вектор ( да даа ) ( да„ да ) ( да да„ ) обозначаемый знаком гоз а (а также символом сиг1 а). Иэ формулы (2.39) находим:.
) д(д д ) У +(д д ) + / даа да„'1 а-( а." — — *)а*аа-$( а (,ааа.а-( ь (,а а*+ -(-( а ).а*ар=() ~ а . (2.а'( 118 ~гл. и ОснОВы ткогии поля / д (<ра) д (ео)у ~ го$ (~ра) = 4 ( — —" ~ + ... = ду дх + ~4~д о~ д оу) + ~ агота+ (Дгай~ра Многоточия всюду обозначают, что следует выписать второе и третье слагаемые, получающиеся из первого круговой перестановкой по схеме с) д $12. Операции второго порядка Рассмотренные вылив три операции первого порядка йтай ~р, йрт а, гоФ а, гов йгай <р = О, ййу гоФ и = О.
Введем ещв операцию второго порядка, называемую ояератором Лап ыса, для скалярного поля у и векторного поля а) М= — + — + —; дар дар дар дах ду~ дп ' д~о д~а дза Ьа= — + — +— дИ ду~ дп (Ь~р есть скаляр, аа — вектор). Очевидно, (2.51) Ла = 4Ьа„+ доа„+ Ййа,. переводящие соответственно скаляр в вектор, вектор в скаляр, вектор в вектор, порождают пять операций второго порядка~ йрт йгай <р, тот йгай <р, атай й1т а, й1т гоФ а, гоФ гос а, из которых две тождественно нулевые (см. формулы (2.47) и (2.48)1: симВОликА гАмильтонА $1М Имеем~ йп стай <Р = — (Ягай ~Р)х+ — (бтай <Р)»+ — (огай <Р), = д д д Следовательно, Имеем: (2.52) й1»~ й р= Д,у.
2~ай й»а = д — (й1»а)+ ( — (а» га) -) (а — (й' д д д ( даа„д~а„Уа гоСгоСа = $~ — (гоСа),— — (гоСа)»1+ ... = гд д ( даа„даа даа„дйа„1 ~д*ду + дхд. ду д. ( = ( — '' '" '' ' ' — — ') д'а„д'а„даа, д'а„д'а„даа„~ дхх + даду + дхда дха дуа дха / + "' ./ д = Ъ вЂ” й1» а — (Са 1+ ... = йгай й» а — йа. ~ дх х( Многоточия всюду обозначают, что следует вписать второе и третье слагаемые, получающиеся из первого круговой передвижкой по схеме, показанной в конце 3 И.
Следовательно, гоС гоС а = атай й1» а — йа. (2.54) $13. Символика Гамильтона Введем символический вектор (набла) » д — +у — +(а —, д д д дх ду дх ' и при выполнении действий по правилам, установленным [гл. и т20 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ для реальных скал яров и векторов, будем понимать д д д под «проиаведениями» символов —, —, — на скаляр дх ' ду ' да и (х, р, х) соответственно скаляры Тогда (здесь в левой части стоит произведение символического вектора на реальный скаляр); Ча=(бдя+у д +гад )(да +,ааа„+уса,)= д.дд1 да„ да„ да, = — "+ — "+ — ' = йта, дх ду дх (здесь в левой части стоит скалярное произведение симво- лического.вектора на реальный вектор); [Ча[ = ~(4 д +,У д + В ~, ) (Юа, + ааа+ Йа,)~ = (здесь в левой части стоит векторное проиэведение символического вектора на реальный вектор).
Таким образом, три операции первого порядка, ~гад Ч, йт а, го$ а, могут быть единообразно ааписаны с помощью символического вектора набла: ЧЧ = ягабЧ; Ча = йта; [Ча[ = голи. (2.55) Тогда для операций второго порядка получим следующие равенства: ЧЧЧ = йтйгайЧ = Ьр; [ЧЧЧ) = гоьдгайЧ; ЧЧа = бган йч а; Ч [Ча) = йч гоСа; [Ч [ЧПП =гойгоьа. (2.56) ЧЧ=(4 — + 3 — +ус — ) Ч = $ — +у — +ус — =ягайр д д д ~ де де де дх ду да ) дх ду да ВектОРные ОпеРАции $ $4. Векторные операции в криволинейных координатах х = х (и, о, и); у = у (и, о, й); г = г (и, о, в), (2.57) где функции, стоящие в правых частях, одноэначны, а также формулами вида (и=и(х, у, г); у=о(х, у, г),в=в(х,у,г), (2.58) где функции, стоящие в правых частях, также однозначны.
Будем предполагать, что функции, стоящие в правых частях (2.57), непрерывны, имеют непрерывные частные производные первого порядка и якобиан д ' ' не д (и, у, е) д(и, е, ш) обращается в нуль (тогда он сохраняет постояйный энак, будем предполагать его положительным). При этих условиях функции, стоящие в правых частях (2.58), будут обладать такими же свойствами. В случае надобности можно дополнительно потребовать, чтобы функции, стоящне в правых частях (2.57), имели частные пронэводпые порядка выше первого.
Дифференцируя по и тождество и [х (и, и, и~), у (и, о, в), г (и, у, и>)) = и, получиме ди дх ди ду ди дз — — + — — + — — =$ дх ди ду ди де ди (2.5Я) Аналогичные формулы справедливы для о и ю. Если каждой точке некоторой области пространства отнесена система трех чисел (и, о, ю) так, что равным точкам отвечают равные системы (и, о, в), то мы скажем, что в рассматриваемой области пространства введены криволинейные координаты (и, о, ю). Геометрические места точек, где и = сонэ(, или и = сопэ$, или ю = сопэг, назовем координатными поеерхноетлми, пересечения двух координатных поверхностей — координатными линиями. Введем, далее, в рассматриваемой области пространства прямоугольные координаты х, у, г.
Тогда между прямоугольными координатами х, у, г и криволинейными координатами и, Р, и точек рассматриваемой области пространства устанавливается взаимно однозначное соответствие, описываемое формулами вида й22 1гл. и ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Пусть т = дх + ду + йз дт дт дт — — — очевидно ди ' дэ ' дм ' + 01. Длины этих д(х, у, э) (з,,4, й — орты).
Векторы будут ненулевыми ~ ибо векторов называются коэффициентами Ламе; каждый из них является функцией от и, Р, и». Единичные векторы 1 дт е»» = Н ди' дт е = —— Н ди' Ф 1 дт е„= —— Н ди также являются вектор-функциями от и, и, л». Определение. Система криволинейных координат называется ортогональной, если в каждой точке координатные линии попарно ортогональны. Таким образом, ортогональность системы криволинейных координат обозначает, что в каждой точке векторы е„, е„ ее попарно ортогональны или,что равносильно, в каждой точке попарно ортогональны векторы дг д»' дт дз ' дэ' дэ» йгаби = 4 — +д — +й— ди ди де да ду дг направлен по нормали к поверхности и = сопаФ» и поэтому в случае ортогональных криволинейных координат Если криволинейные координаты введены лишь в некоторой части рассматриваемой области пространства, напрнмер в окрестности некоторой точки, то говорят о локальной системе криволинейных координат.
Градиент в ортогональных криволинейных координатах. Пусть»р — скалярное поле. Если ввести криволинейные координаты и, Р, к», то»р станет функцией переменных и» у» к». Введем прямоугольные координаты х, р, з. Известно (см. т 4), что вкктогныи Опкгации ягаб и = Ъ„е„, где й„— некоторый скаляр; затем — =$ — +,/ — +й — Н е. дх дх ду дх ди ди ди ди Скалярное перемножение равенств д — +,У вЂ” +й — =Н е дх ду дх ди ди ди й — + у — + й — = Ь„е„, . ди ди дх дх ду дх и хю дает [если учесть формулу (2.59))р 1= ЬН„, 1 х„ откуда Ь„ = — , следовательно, атаби = †.
Аналогично х х 8 х йгаб у = ~, йгаб в = и Э М Формула градиента сложной функции (2Л7) даетр ягаб~р(и, и, и) = — йгаби+ — атаби+ — йгайж. до до де ди дх дн Изложенное показывает, что градиент скалярного поля в ортогональных криволинейных координатах определяется формулой ягаб~р = г др др до / у ди 'д дн = е„— +е,— +е —. Ю (2.60) Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах.
Пусть а — векторное поле. Если ввести Ш криволинейные координаты и, и, ю, то а станет вектор- функцией переменных и, у, и~. Систему криволинейных координат будем йредполагать ортогональной. Воспользуемся ннвариантностью определения днвергенцни(2.42) в произвольно взятой точке (ию и„ше), беря в качестве замкнутой поверхности Я оболочку криволинейного параллелепипеда /7 (рис. 20), ограниченного $24 [гл. и ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ поверхностями и = ио, У = Уа, ш — шо, и = иа + Оио, У = Уо + ЬУо, ш= ша+ йшо гДе Ьио, ЛУо, Лшо стРемЯтсЯ к нУлю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
