1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 27
Текст из файла (страница 27)
ш АнАлитичнскив Функции Приложения основной теоремы Коши к вычислению несобственных интегралов. Не останавливаясь на общих соображениях, вычислим в качестве примера такого приложения интегралы Френеля ~ эш(хо)дх. ~ соэ(хо)4)х; о о У Рассмотрим целую функцию ее*. По теореме Коши интеграл по всякому спрямляемому замкнутому контуру от этой функции равен нулю; в частности, равен нулю интеграл по контуру сектора АОВ (рис. 46). Следовательно, е44'4(г = ~ + ~ + ~ =О. .О ВО ОА АВ ЙО Имеем Рвс. 46.
~ е444бг = ~ е'"'4(х. ОА о Комплексное параметрическое уравнение дуги АВ есть г = Ве"4, 0 < ~р < я/4; следовательно; и/4 Ы4 е44'4)г = ~ е4В44™(Веоое(ор = 4В ~ е-волово+ха го+оКор,, АВ о о 2 я1 откуда (учитывая неравенство эш О) — „О при О ( 8 ( — ~ оя +а 4В44 1~ е4Яг~< В ~ е-в'44ооойр(В ~ е ' 4(~р = —" АВ о о и поэтому ~ е4*"44г- 0 при В- о . АВ Комплексное параметрическое уравнение отрезка ОВ есть г = ре"4~4, 0(р(В; следовательно, В ОВ е'*'бг = е"м ~ е-о'Ыр, о 197 $!о) пгиндип АггумвнтА откуда (считая известной формулу (4.10) главы 1Ч) ) еоо*дг-оеыя ) е-о'Нр = — о"яо при Л вЂ” э с . р'я ов Иэ скаэанного эаключаем, что, переходя в равенстве ем"~(г =Ок пределу при В-о- со, получим: оаво 1~а ) в~Их =' 2 е"'я = 2 р 2 (1+ (), (3.59) о причем попутно устанавливается сходимость этого несобственного интеграла. Отсюда, переходя к сопряженным величинам, найдемо 7 .
3/у ) е-ь"Их = — Я е 'Яо = — "ф Я (1 — (); (3.59') 2 2 )' 2 о Отделяя действительную и мнимую части в,.(3.59), получим: оаю +е сов(х*)Их = ) вгл(х')дх =, — )l,, (ЗЯО) о о откуда (вследствие 'четности подьпиегральных функций) +СО +со сов(хо)дх= ~( в(в(хо)дх= 1/ —" . (3.60') 1 2 $18. Принцип аргумента Пусть / (г) — мероморфная функция в области, ограниченной простым эамкнутым контуром С, и на нем, не имеющая нулей и полюсов на С. Так как — дг = Еп~ (г), р (г) ( (г) то — дг = (Ьп~(г)]с, у (о) ( (г) !гл.
Уы лнллитичвскив Функции и ]п]~ (г)], как непрерывная однозначная функция, после обхода С возвращается к своему первоначальному значению, позтому ]] и ~ (г)]с = ь]Агя ~ (г)]с и — у — ' дз = — ] Агя )'(г)]с. .г, ( (*) 2п) в,' / (в) 2п С другой стороны, по теореме о логарифмических вычетах — у — [И= А( — Р, -с р (г) . 2в) У )( ) где )ч' — число нулей и Р— число полюсов функции ~ (г), лежащих внутри С (с учетом их кратностей). Таким образом, получается правило, известное под названием принципа ареумента. Если ~ (г) мероморфна в области, ограниченной простым замкнутым контуром С, и на нем и если ~. (г) не имеет на втом контуре нулей и полюсов, то равность между числом нулей и числом полюсов (с учетом их кратностей) функции г (г), лежак(их внутри С, равна полному числу оборотов вокруг нуля, совершаемых вектором то~ни ] (г), когда точка з описывает.
контур С в положительном направлении, т. е. У вЂ” Р = — „(Аг 1(г)]с. 1 (З.б() С помощью принципа аргумента легко доказывается Т е о р е и а Р у ш е. Если )' (з) и ~р (г) — аналитические функции в области, ограниченной контуром С, и на нем и во всех точках контура С выполняется неравенство К (г)] ) ]<р (г)], то ф (г) и'1 (з) + ц (г) иле!от внутри С одинаковое число нулей (считая каждый нуль столько рав, какова его кратность). Д о к а з а т е л ь от в о. Из условии теоремы видно, что ~ (г) я ~ (г) -]- ц (з) ке имеют нулей на С, ибо при з аа где правая часть обозначает приращение, которое получает Ьп/ (г), когда точка г описывает контур С в положительном направлении.
Но 1 и ~ (г) = ]п ]1 (г) ] + зАгя 1 (з) 199 .пгиипип звтумкнтА з «г) имеем [((г)! ) !«р (з)! ~О; [~(г)+ «р(г)! > [~ (гЯ— !«р (г)! ) О. Пусть Ф вЂ” число нулей функции ~ (г), лежащих внут ри С, У вЂ” число нулей функции ~ (г) + «р (г), лежащих внутри С. По принципу аргумента имеем: Ф = —, (Ага Ц(г) + «р (г)!)с = — „~Агф(з) (1 -[- т ('))) ( = — [Аге«(г)[с+ г [АгИ~1+ — д = г [Аг «(г)[с =А«, учитывая, что [Агз[1+ — «) = О, ибо, когда точка г «р («) «« ) («)Пс описывает С, точка 1 + — описывает путь, лежащий р («) ) (г) внутри круга радиуса 1 с центром 1 (рис.
47), так как на С ~ — ~(1, что и требова«р О) ( («) лось доказать. Отметим некоторые следствия из теоремы Руше. Пусть ( (г) — аналитическая функция в области, ограниченной замкнутым контуром С,и на нем, не имеющая нулей на С. Тогда, если ~„(з) (и = 1, 2, 3,...) аналитические функции в области, Рзс ограниченной контуром С, и на нем и у„ (г) -э~ (з) равномерно на С, то -при п, достаточно 'большом, число нулей (с учетом их кратностей) функции ~„(г) внутри С равно числу нулей (с учетом их кратностей) функции ~ (г) внутри С (т е о р е м а Гурвица).
В самом деле, очевидно, т = ш[в ! ~ (з) ! ) О, ибо ~ (г) с не имеет нулей на С, поэтому найдется такой номер А(, что при и ) Х и з на С будем иметь ! 7' (з) — ~ (г) ! ( т, но тогда в разложении ~„(г) = ) (г) -[- [(„(г) — ( (г)1 модуль второго слагаемого правой части будет меньше модуля первого для всех г на С, и, следовательно, по теореме Руше число нулей ~„(г) внутри С будет равно числу нулей «(г) внутри С, что и требовалось доказать.
Пусть а — какое-нибудь комплексное число. а-точками функции ~ (з) называются такие значения г, для которых значение ~ (г) равно а. Инача говоря, а-точкн АнАлитические Функции ГГЛ. 1Ц функции ~ (г) суть нули функции ~ (г) —, а. Так как нули аналитической функции, не равной тождественно нулю, изолированы, то а-точки аналитической функции, не равной тождественно а, изолированы. Говорят еще, что а-точка функции ~ (г) имеет кратность и, если она есть и-кратный нуль для р (г) — а.
Пусть ~ (г) — непостоянная аналитическая функция и го — п-кратная а-точка этой функции. Так как а-точкн изолированы, то на окружности у достаточно малого радиуса с центром го и внутри нее не будет находиться других а-точек. Тогда т = ш1п 11 (г) — а! > О. Если ! Ь— ч , — а! (и, то внутри убудет находиться (с учетом их кратностей) ровно и Ь-точек функции р (г). Действительно„ ~ (г) — Ь = (~ (г) — а)+ (а — Ь), причем на у имеем ) а — Ь ! ( ! р (г) — а ~, следовательно, по теореме Руше число нулей (с учетом их кратностей) функции ~ (г) .— Ь внутри у совпадает с таковым для ~ (г) — а и, следовательно, равно п (внутри у функция ~ (г) — а имеет только' один нуль, г„и его кратность равна п).
Заметим еще, что .если, кроме того, ' радиус р окружности у достаточно мал (чтобы У' (г) + О при О < ~ г — го ! (р), то 7 (г) обращается внутри у ровно п раз в Ь и все эти Ь-точки— простые (однократные). Непостоянная аналитическая функция ~ (г) переводит открытые множества в открытые. В самом деле, если У (г,) = иЪ то в силу вышеизложенного уравнение р (г) мг имеет внутри как угодно малого круга с центром г, решение, если только ш, достаточно близко к йо. Из последнего замечания следует, что если ~ (г) — непостоянная аналитическая функция в некоторой области, то в любой близости к каждой точке г, этой области найдется такая точка г„что ~ р (г,) ~ ) ~ 1 (г,) ~. Отсюда вытекает принцип максимума модуля: если ~ (г) непрерывна в ограниченной замкнутой области и аналитична внутри этой области, то )~(г) ~ достигает своего наибольшего значения на границе области. Иа принципа максимума модуля непосредственно вытекает теорема: если последовательность функций ~„(г), непрерывных в ограниченной замкнутой области н аналитических внутри этой области, равномерно сходится на границе области, то она равномерно сходится на всей 9 191 ДиФФЕРенциРУемые ОтОБРАжениЯ 201 области.
В самом деле, так как сходимость на границе— равномерная, то для всякого е > О найдется такой номер )у, что прн и > )у, р >Обудемиметь| ~„„, (г) — ~„(г) )( < е для всех х на границе области, но тогда по принципу максимума модуля это неравенство справедливо на всей области и, следовательно, в силу критерия Коши последовательность |„ (9) равномерно сходится на всей области. 5 99. Дифференцируемые отображения Соответствие, по которому каждому элементу а множества А относится некоторый элемент Ь множества В (природа элементов множеств А и В безразлична), называется отображением множества А в множество В.
Элемент Ь, соответствующий а, называется образом элемента а (тогда а называют прообразом элемента Ь). Отображение,' диффереицируемое в:, данной точке. 1)99е будем рассматривать отображение области Р плоскости комплексного переменного в плоскость комплексного-переменного. Таков отображение можно записать-формуиой и = ~ (9), где ~ (х) — комплексноэначная функция комплексного переменного з, определенная в области Р. Его можно. также записать формулами- , и = 'и (х, у), Р = у (х, у), .где и (х,.У) и Р (хе У) — действительнаи и мнимаЯ части У (х+ 1У). Определение. Отображение (и и(х У) на- (Р =Р(х,У) зывается дифферениируемым в данной точке рассматриваемой области, если и (х, у) и Р (х, у) дифференцируемы в этой точке. Таким образом, дифференцируемость отображения в точке (х, у) означает возможность представлений (о полном дифференциале функций двух действительных переменных см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
