1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 35
Текст из файла (страница 35)
е. найти все решения вида и = В (г) Ф(Ф) Я(х) (В, Ф, 2 предполагаются дважды непрерывно дифференцируемымн). Пусть и есть решение упомянутого вида. Вставляя его в (4.17), получим: Л' И+ — 'Л Ы+ 1. ЛФ"г+ Л М" = О, откуда (после деления ка ЛФЯ) В" 1 В' 1 Ф" 2" — + —,— -)- — — + — = О. В г В гз Ф Е Записав это в виде В' 1 В' 1 Ф" 2" В г В ~' Ф 2 найдем, что левая часть не зависит от г, правая не аависит от г, Ф; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная а. Отсюда — =а; Я" — аЕ=О; В' 1 В' 1 Ф" В' 1 В' 1 Ф", а; — + — — +а= — — —; В г В Ф 'В г и = у4Ф' г~В'+ гВ'+ аг'В Ф" В последнем равенстве левая часть не зависит от Ф, правая не зависит от г; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная Ь.
Отсюда — — = Ь, Ф" + ЬФ = О; +". +'г =Ь геЛ" + гЛ'+(аг* — Ь)В =О. В ! з 2] Бесселевы Функпии с люБым индексом 245 Таким образом, В, Ф, 8 должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка г'В" + гВ + (ага — Ь) В = О, Ф" + ЬФ = О, Я" — аЯ = О, из которых второе и третье суть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида. Обратно, если В, Ф,л удовлетворяют уравнениям (4.18), то и = ВФЯ есть решение уравнения (4Л7), Б самом деле, вставляя ВФЯ в левую часть (4Л7) и деля затем .
на ВФЯ, получим: я" 1 Л' 1 Ф' г" л' 1 и' ь — +-- — + — — + — = — + — — — — -'-а= Л г И ге Ф Е я г Л ге + г1я" + ггг'+ (аге — Ь) к г~Л вЂ” О. Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (4Л7), которые являются произведением трех функций, каждая иэ которых зависит от одного аргумента, есть и = ВФЯ, где В, Ф, Я суть любые решения уравнений (4.18) при любом выборе чисел а, Ь. Первое из уравнений (4Л8) в случае а = 1, Ь м О называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае Ь = т', обозначая независимое переменное буквой х (вместо г), а неизвестную функцию — буквой у (вместо В), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид злу + ху' + (х' — у') у = О.
(4Л9) Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями. Бесселевы функции 1-го рода. Будем искать решение уравнения Бесселя (4Л9) в виде ряда +ао у= Х аехч+к. 246 о нвкотогых спвцизльных егнкцкях ~гл. гт Тогда +ОР ху'=,~~ ~(т+ й) азх'ОВ; ЬВ +ОО хзуО =,~~~ (т + й) (т + й — 1) азз»ВВ; ЬВ +ОО +ОО (хз — тз) у = ~~~~~ а„х"+"+ — тз ~~~ а„х"+" = В В В=В +ОО +ОО = Х "-*=' — *Х ""'" Ь- » х'у'+ ху'+ (хз — тз) у = +О + = ~а'~~ [(т + й) — тз[ аВХО+В +,Ц~ аз-ВХ"ОВ = В-В В В +ОО +ОО =,5, 'й(2т+ й)а„хО+В+ ~ аз ВхООВ В-В В В Следовательно, приходим к требованию +» (2т+ 1) а,х"+4+ ч~~~~ [й(2т+ й)аз+ аз ~[хО44 = О Ь В или к бесконечной системе уравнений (2т + 1) аг = О, й (2т + й) а„+ аз  — — О (й = 2, 3, 4, ...),) которая распадается на две системы: (2т + 1) а4 = О, 2 (2т '[- 2) а, + аВ = О, 3 (2т + 3) аз + а, = О,, 4 (2т + 4) а4 + аз = О, 5 (2т + 5) аз + а, =* О, 6 (2т + 6) аВ + а4 = О, Первая из них удовлетворится, если взять а, = О„а, = О, а, = О, ...
Во второй системе аз можно взять произвольно; тогда а„а4, аВ, ... однозначно определяются (если е ке является целым отрицательным числом). Взяв аз 7»г( + О 1 ы ввссвлввы фтнкпии с лювым индвисом 247 найдем последовательно: 4(О+1) 2'~4(т+1) Г(т+ 1) 2+41! Р(т+ 2) ' 64 4 2(т+2) 2ОО~! (т-(-2) Г(т + 2] 24+42! Г (т ( 3) ' 4 3 (т + 3) 2"+43)(т + 3) Г (т + 3) 2"+43! Г (т + 4) и в качестве решения уравнения (4.19) получим ряд Этот ряд, формально удовлетворяю4ций уравнению (4.19), сходится для всех положительныл апачений х и, следовательно, является решением уравнения (4.19) в области 0 < х < + ао (в случае целого т в области — оо < х < + со).' Функция' +О называется бесселевой функ!)игй 1-го рода с индексом т.
Она является одним из решений уравнения Бесселя (4 19). В случае целого неотрицательного индекса и, учитывая (4.4), получим: —. ( )2)О+44 У.(х) = Х( — 1)" „,*,„ (4.20') и, в частности, +ОО .4 (х),'Я (-1)4 — „,, (*)2)4" (ь!)4 (4.20") 2"Г (у + 1) " 2~41! + +4 1 ХО+4 2"+42! Г (т + 3) (г)2)О+4 2! Г (т + 3) хООО + Г(т+ 2) (х/2)" (г/2)"+4 Г(т+1) И Г(т+2) + — 1" (г)2)О+24 —.. =Х(-1) ь! !.(,+,+„° 248 о нвкотогых спвциАльных эвикциях (гл.
ш Общее решение уравнения Бесселя. В случае незрелого индекса т функции /, (х) и х „(х) являются решениями уравнения (4.19). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени х. Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя (4.1) есть у = С,Х„(х) + С,./ „(х). (4.21) Если ч = — н (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (4.20) (учитывая, что 1/Г(г) равно нулю для г = О, — 1, — 2, ...), принимает вид +»» (х/2) "»хх у-ь(')=Х ( — 1)' ( . э+()= +» х или, после замены индекса суммирования Й на 1+ я, +»» Х- (х) =( — 1)".,~~ ( — 1)', „), (( =( — 1)" Хх(х), (4.22) ~-о откуда видно, что Х „(х) удовлетворяет вместе с Х„(х) уравнению Бесселя х'у" + ту' + (х' — и') у = О.
Но формула (4.21) в случае целого т уже не дает общего решения уравнения (4.19). Полагая ~» (х) соэ тя '/-» (х) У„(х) = ", " * (т — не целое) (4.23) и дополняя это определение для т = п (целое число) формулой У„(х) = 1(ш У„(х), (4.23') получим функцию У„(х), удовлетворяющую уравнению Бесселя (4.19) и во всех случаях линейно независимую от 1 г) еогмтлы пгиввдвния для ввссвлввых етнкцин 249 л„(х) (в случае т = и, где п — целое, этот факт, как и само определение У„, нуждается в обоснованиях, но это мы оставляем в стороне).
Функция У„(х) наэывается бесселевой функцией 2-го рода с индексом т. Общее решение уравнения Бесселя (4 19) можно эаписать во всех случаях в виде у = С,Х„(х) + С,У„(х). (4.24) 2 3. Формулы приведения для бесселевых функци(к . Имеем: +» +» ( 1)к (х/2)»+кк' / (х) 1 у ( — 1)" (х/2)кк ~Л М Г(х.(- К+1) ' х 2 ~~ К( Г (»»-(-К+1) кв к~а У„(х) 1 ( — 1)к (х/2)ы 1 +»» Лх» 2» ~Л'1 (К вЂ” 1)( Г (т+ К+ 1) к-к а У (*) 1 у ( — 1)ьм (х/2)ких +»» Лх х" 2" л.» Л Г(т+Ч+2) 1=в +» ~ъ ( — 1) ю (х/2)ы 2»+1 Л Г (т + 1+ 2) !=о ,7„ (х) »въ Следовательно, Х„ (х) ,7„+ (х) (4.25) » ~+~ Тиким образом, операция — „(состоящая в дифференцировании с последующим умножением на к/х), при/„(х) мененная к — ", повышает в этом выражении индекс т на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию т раз, где кп — любое натуральное число, получаем: 2.
чч ( — 1)" (х/2)~~~~ 2» ~ ( — 1) (х/2) й! Г(о+ й+1) '~~ й! (о+ й)Г(о+й) ' +»ч Л ч ч ( — 1) (х/2)о»+о" 1 — [х»,Г»(х)] = 2»,~~~ к=о +чч чч ( — 1)о(х/2)ич 1)+о" = Х 2»-' ~/ й, Г + — — Х Х -',7» 1(Х). о-о (4.26) Таким образом, операция —, примененная кх»Х„(х), ч) хкх' пони1кает в этом выражении индекс у на единицу. Применяя эту операцию во раа, получаем: ( — ) [х х„(х)] = хч- .Г„(х).
(4.26') Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (4.25), получим: ч ) У»+1 . '/ч 1'У» ч+1 . ' 9 ч/ ч ч ч ч+1 ч ™ = — Хч+1. Отсюда, в частности, следует, что Го = — .Г1. Используя (4.26), получим: (х»,у )' — хч,~„~; х»,7 + ух»-1,у — хч,у„б,у + /„~э у„ Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает; )"ч-1 Гч+1» (4.27) хо — уч = уч-1 + уч»1 х (4.28) Формула (4;28) позволяет выразить все бесселевы функции с целыми индексами через Хо,,уо. Действительно, из 25() О некОтОРых спкпийльных ФУнкциях Следовательно, — [Х»Х„(Х)] = Хч ОУ„ 1(Х).
о' (гл. Го »ы Но 2" й) 1 3 5 ... (2й + 1) = (2й + 1)(, следовательно, ( 1)н нн+н Далее, имеем," Х 1(х)=х и н но в силу (4.6) Г(й 1 ~ 1'3'3' ' '(гн 1) 21 г" следовательно, нн (-1)'( —,*) *' 2' и 1 3 б... (23 — 1) У.й +60 — +.нн 1 ( — 1) х 1 " и 2 и й! 1 3 5... ДН вЂ” 1) )/ и +а~ Х, (х) =,')~' н н~-с Но '2нй! 1 3 5 ... (2й — 1) = (2й)(, поэтому .
С помощьно (4.25') находим.' Х (х) Х н (н) Я но в силу (4.29) Х (н) н а,Г 2 н(ох 252 о налетовых спвпинльпььх етннпилх (тл. нт 253 иптвгРАльыон пгндставленнк следовательно, при целом положительном и Х р (х) = ( — 1)" ~ — х 'Р ( — ) — "*. (4.29') С помощью (4.26') находим~ 1 1 ( — ) [х р7, (х1~ =х ' у, (х), но в силу (4.30) 1 а/ 2 совр х ру р(х)=у я р следовательно, при целом положительном п 1 р -/ 2 "+ — Р Н т" созе .7 1 (х) = у — х р ~ — ~ †.
(4.30') ( ~') — У $5. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом Проиэводящая функция системы функций. Рассмотрим систему Я функций ~„(х) (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел: (Х)1 ~ р (Х)1 ~р (Х)у /р (Х)~ /р (Х)р Составим ряд ~~~~ 1„(х) г", СО где г — комплексное переменное. Предположим, что при каждом х (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность С (т. е. окружность с центром 0 и радиусом 1, рнс. 61). В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексного переменного без точек 0 и оо. 254 о ннкотогых спвцнгльных чтнкциях 1гл.
гт Функция (4.31) (где х лежит в области определения функций системы Я, и кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению х) называется проиаводя«цвй функцией системы Я. Обратно, пусть задана функция ' ' Р (х, г), где х пробегает некоторое . множество, г находится внутри некоторого кольца, зависящего от х, с центром О и содержащего внутри себя единичную окружность (в част- г — внутр ности, эти кольца могут быть полной Р .Ет. плоскостью комплексного переменного без точек О и со). Тогда, если Р (х, г) при каждом х аналитична относительно г внутри соответствующего кольца, то Р (х, г) есть производящая функция некоторой системы Я функций. В самом деле, разложив нри каждом х функцию Р (х, г) в ряд Лорана по степеням г ~„(х) = —,, — '«Ь —, ~ Р'(х, в«т) в-«««е«1«р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
