1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Последнее вытекает иэ следующего легко проверяемого эамечания: если функция $ (л) й раа (й ~ 0) непрерывно дифференцируема на ( — ао, + сс) и равна нулю вне сегмента х+Ь [а, 61, то 1Р1(х) = ) 1[1(1)1[1 при достаточно малом 6 -а будет к + 1 раэ непрерывно днфференцируемой функцией на ( — со, + оо), равной нулю вне сегмента [а — е, 6 + + е1 и удовлетворяющей неравенству [ф, (х) — $ (х)[ч~ ( е на ( — со, +со), где е — проиавольно эаданное поло* жительное число.
Таким обраэом, система собственных функций у1„ на 10, Л аамкнута. Иа э амкнутости системы собственных функций у1'„ следует, что если ряд Фурье по этим функциям равноме)ь' но сходится на [О, Л, то он сходится к порождающей его непрерывной функции. ряды Фугьи и ннтнтрал Фурьн (ТЛ. 1 Можно доказать, что если непрерывная функция 1(х) х', кусочно гладкая на [О, И, то ряд Фурье этой функции по собственным функциям уь„сходится к 1 (х) при О с х ( 1.
й 15. О решении методом Фурье некоторых задач для линейных уравнений с частными производными второго порядка 4 д'и дэи Уравнение колебаний струны д э —— а д э, уравнение теплоди дэи д'и проводности — = а — э, телеграфное уравнение †., = а' + Ьэи и многие другие являются частными случаями уран вида «) д'и о"и ди ди А(х) д э +С(1) дп +Р(х) дх +Е (Г) дт + [Рг(х)+ Рэ(Г)] Будем предполагать, А, Р, Р келрерывными на сегменте С, Е, Рэ непрерывными на интервале 1, где 1 есть либо вся вая прямая, лвбо полупрямая г > ге или г < г„либо сегмен дем предполагать, что 0 принадлежит 1).
Пусть й — совок точек (х, г), где 0 ~ *ч, д 1принадлежвгт 1. Будем сперва искать на Ь ненулевые решения уравнения допускающие непрерывные частные провэводные первого н в орядков по х и по д имеющие специальный вид Х (х) Т (1) будет дважды непрерывно дифференцируемой функцией У), Т будет дважды непрерывно дифференцкруемонфункцие и удовлетворяющие краевым условиям: и(0, г) = и(1, г) = О для всех гна1 А (х)Х" Т+ С (Г) ХТ" + Р '(х)Х'Т+ Е ЯХТ' + + [Р, (х) + Р, ",Ю)) Х Т = О, илн ' [А (х)Х'+ Р (х)Х'+ Рг (х)Х)Т+ [С С)Т" + Е(ОТ'+ +Р,(г)Т)Х= О, откуда (для тех х, где Х чь О, и тех г, где Т ~ 0) ~ А(х)Х'+Р(х)Х'+Р1(х)Х С(Г)Т" +ЕЯТ'+Р ЯТ Х Т е) Подробнее об этих уравнениях см.
И. Г. П от ровса и й, Иекцик об уравнениях с частными прокэвогшыми, (тогда Х (0) Х (1) = 0). Если и = Х Т есть такое решение, то будем иметь дэи — + дхэ пеняй и=О, (1,61) [О, 1); числот (буупность (1.6Ц, торого (тогда на [О, н на1) (1,61') 4 15) впшпнии ыитодоы юувьн ынкотовьсх влдлч 75 и, следовательно, А (л)х" + Р (в)Х' + Рс (л)Х = ЛХ, с (с) т" + к О О' + Р (с) т = — л т, где Л вЂ” некоторая постоянная (ети соотношения справедливы для всех в иэ [О, С] и всех с ив 1, учитывая, что Х ф О, Т ~ 0) или А (*)Х'+ Р (в)Х' + [Рс (х) — Л]Х = О, (1.62) С (с) т" + Е (с) Т' + [Р (с) + Л] т = О.
(1.63) Обратно, если при некотором Л дважды непрерывно дифференцируемая на [О, П функция Х удовлетворяет (1.62) и условиям Х (0) = Х (С) = 0 и дважды непрерывно дифференцируемая на 1 функция Т удовлетворяет (1.63), то и = ХТ будет искомого вида решением уравнения (1.61). 3 а и е ч а н и е. Если А (х) = О, то Х естественно предполагать лишь непрерывно дифференцируемым; если С (с) = О, то Т естественно предполагать лишь непрерывно дифференцируемым; в зтих случаях требования к и ослабляются. Предположим теперь, что А (х) отрицательна и непрерывно х днфференцируема на [О, С], Беря р=ее, получим рР = = (рА)', Умножив (1.62) на — р и положив — рА = р, ррс = т.
мы приведем уравнение (1.62) к виду РХ" + р'Х'+ ( р — ч)Х = 0 (РХ) + (Лр — 1)Х =О. или (1. 62') х (л)т (с) где л — любое натуральное число и Т (с) — любая дважды непро. рывно дифференцируемая на 1 функция, удовлетворяющан уравнению С(с)т'+Е(с)т'+[Р,(с)+Л ]т=о, (1.63') При проведении дальнейших рассмотрений выделим два случая: 1) С (с) + 0 на П П) С (с) ии О на Т, К (с) чь 0 на Х. Очевидно р (л) — непрерывно дифференцируемая положительная функция на [О, С].
Собственные значения ацаачи Штурма — Лиувилля для уравнения (1.62) образуют (как отмечалось в [ 14) возрастающую последовательность Лс, Л„..., Л„, ..., причем Л вЂ” + со. Пусть Хс, Ке, ..., Х„, ... будут соответствующие нормированные собственные функции. Общий вид решений с разделенными переменнысш уравнения (1.61), удовлетворяющих краевым условиям (1.61'), на основании положенного есть РЯДЫ ФУРЬИ И ИНТНГРАЛ ФУРЬИ [ГЛ. 1 1.
Пусть С (г) ф 0 иа Х, Т„и ҄— частные решения уравнения (1 65'), удовлетворяющие условиям Т„(0) = 1, Т„(0) = 0; Т„(0) = О, Т„(0) = 1. Рассмотрим на Ь функции вида вв и(х,о)= ЯХ (х)(А Т ([)+В Тн ([)!, (1.64) где коэффициенты А„и В„таковы, что ряд (1.64) и ряды, полученные ио (1.64) однократным и двукратнмм дифференцированием как [ю х, так и по ц сходятся равномерно при 0 ~ х ~ [ и при [ на л, где л — любой сегмент, лежащий на 1. Пусть Л вЂ” класс таких функций и (х, г).
Их представимость в виде (1.64) единственна, ибо полагая г = 0 в разложениях и и и[, найдем, то [ [ А = $и(х,О]Х (х) р(х) Ах; В„$и[ (х,О) Х„(х)р(х) ох. (1.64') о о Существование такой и вообще не гарантируется, но единственность (в классе Ж) гарантируется, ибо если и (х, [) окаеалось искомым решением, то [ А„~ ~р (х) Х„(х) р (х) Их; о В„= $ф(х) Х„(х) р(х) Лх. (1,65) о Для существования искомой и достаточно, чтобы А„, В„, определяемые формулами (1.65), удовлетворяли требоеаивям, прн которых по 4юрмуле (1.64) получаются функции класса йч.
В самом деле, тогда должно иметь место (1.64', сравнение чего с (1.65) покавывает, что выполняются равенства (1.61"), так как система функций Х„еамкнутая. !Напомним, что в случае еамквутой ортогональной системы ие равенства соответствующих коэффициентов Фурье двух иепрерывнмх функций следует равенство самих функций). Более наглядная информация о классе йр и, следовательно, о тех т (х) и ф (х), при которых поставленная для уравнения (1.61) еадача раерешима, может быть получена при наличии оценок для Х„, Т„, Т„и их производных. На выводе стих оценок мы не останавливаемся. Фуниции ио класса йв, очевидно, удовлетворяют уравнению (1.61) и краевым условиям (1.61').
Зададим теперь иа (О, [) непрерывные функции ф и ф, удовлетворяющие условиям ~р (0) = р ([) = ф (0) = ф ([) = О, и будем искать и,'х, [) из класса Л', удовлетворяющие начальным условиям и (х, 0) = ч (х); и~ (х, 0) ф (х) при 0 ~ х ~ [. (1.61') 1 153 РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ 77 П р и и е ч а н и е 1. Если уравнение (1.61) имеет внд (к которому, в частности, относится уравнение колебаний струны, рассмотренное в $7) д'и дон ди р (х) — .( В (х) и = О, (1.66) где А (х) ч., О, г" (х) ~ 0 и А (х) имеет непрерывную производную на !О, 1!, то все Лн положительны и ряд (1А4) (при замене Воу г' Л„ на Вн) принимает внд ~~ь~ Х„(х) (А„сов~ Л,аг+ В„з1в']/ Лег).
П. Пусть С (1) н— н 0 и В (1) + 0 на 1. Уравнение (1.63', принииает в атом случае вид В (1) Т' + ] То (1) + Л„]Т = О, н пусть Т„(1) — частное решение его, удовлетворяющее условию Т„(0) = 1. Рассмотрим на б функции вида и(х,г) Я А Х„(х) Т„(1), н=1 где числа А „и В„таковы, что: 1) ряд (1. 67) равномерно сходится при 0 ~ х ч; 1 и при 1 на о, где о — любой сегмент, лежащий на 1; 2) ряды, полученные из (1.67) однократным и двукратным дифференцированием по * и однократным дифференцированием по 1, равномерно сходятся на в с я к о и замкнутом прямоугольнике (со сторонами, параллельными координатным осям), лежащем в н у т р и 6.
Пусть Я вЂ” класс таких функций и (х, 1). Их представимость в виде (1.67) единственна, ибо, полагая 1 = 0 в разложении и (х, «), найдем, чгд А„= ] и (х, 0) Х,(х) р(х) дх. (1.67') о Функции из класса Я, очевидно, непрерывны на б, удовлетворяют уравнению (1.61) внутри б и краевым условиям (1.61'). Зададим теперь па (О, 1] непрерывную функцию Ф (х), удовлетворяющую условию 1р (0) = Ф (1) = О, и будем искать и (х, 1) из класса Я, удовлетворяющую начальному условию н (х, 0) = 1р (х) на ]О, 1]. (1.61'") Существование такой и вообще не гарантируется, но единственность (е классе Я) гарантируется, ибо если и оказалось искомым решением, то А„ = ~ ф (х)Х„ (х) р (х) дх.
(1.68) РЯЦЫ ФуРье и интнггал Фурьп (гл. г $ Для существования искомой и достаточно, чтобы А„, определяемые формулой (т.68), удовлетворяли требованиям, при которых по формуле (т.67) получаются функции класса Я. В самом деле, тогда должны выполняться равенства ((.67'), сравнение чего с (1.68) показывает, что должно выполняться равенство (т.61"), тек как система функций Х„аамкнута. П р имена ни е 2. Если уравнение ($.6() имеет внд (к которому„в частности, относится уравнение теплопроводности, рассмотренное в $8) дв дте ди — + А (х) д е + 7)(х) д + (х) где А (х) ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
