kh_verian_mikroekonomika_promezhutochny_ uroven (825836), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Первый заключается в том,чтобы из бюджетного ограничения просто выразить одну переменную через другую, азатем подставить полученное выражение в целевую функцию.Например, для любого заданного значения х{ количество х2, требуемое для того,чтобы удовлетворялось бюджетное ограничение, задано линейной функцией*2(*l)=— - — *iР2Р2(5.7)Теперь подставим в функцию полезности х2(х\) вместо х2 и получим задачу на нахождение безусловного максимумаmax и(хь т/р2 - (pi/ft)*i)-*iЭто задача на нахождение безусловного максимума только по х\, поскольку мыиспользовали функцию х2 (хг) для того, чтобы гарантировать, что значение х2 всегдабудет удовлетворять бюджетному ограничению, каково бы ни было значение XY.ВЫБОР__________________________________________111Задача решается, как обычно, путем взятия производной функции полезности по*! и приравнивания ее к нулю.
В результате получим условие первого порядка в видедх\dxzdx\Первый член этого выражения отражает прямое воздействие возрастания х\ на возрастание полезности. Второй член состоит из двух частей: du/dx2 — скорости возрастания полезности по мере роста х2, умноженной на dx^/dxi — скорость возрастания х2 помере роста х{ в связи с необходимостью удовлетворения уравнению бюджетной линии.Чтобы подсчитать эту последнюю производную, продифференцируем выражение (5.7)<&2„dx\АРгПодстановка полученного результата в (5.8) даст выражениеР2говорящее лишь о том, что предельная норма замещения товаров xl и х2 в точке оптимального выбора ( х* , х2 ) должна быть равна отношению цен.
Это именно то условие, которое мы вывели ранее: наклон кривой безразличия должен равняться наклонубюджетной линии. Разумеется, оптимальный выбор должен удовлетворять и бюджетному ограничению р\ х* + р2 х2 — т, что снова дает нам два уравнения с двумя неизвестными.Второй способ решения таких задач заключается в использовании множителейЛагранжа.
Применение этого метода начинается с составления вспомогательнойфункции, известной как функция Лагранжа:L = u(xlt х2) — K(pixi + Р2Х2 — т)Новая переменная X именуется множителем Лагранжа, так как на нее умножаетсяограничение. Согласно теореме Лагранжа, оптимальный выбор ( х\ , х2) должен удовлетворять трем условиям первого порядкадх\9x2dLТри этих уравнения характеризуются несколькими интересными моментами.
Вопервых, они представляют собой просто приравненные к нулю производные функцииЛагранжа по х{, х2 и X. Последняя производная, по X, есть не что иное, как бюджетное112________________________________________ Глава 5ограничение. Во-вторых, теперь у нас имеются три уравнения с тремя неизвестнымихь х2 и X. Мы надеемся получить их решения для xt и х2, выраженные через р\, р2 и т.Доказательство теоремы Лагранжа можно найти в любом учебнике по дифференциальному исчислению продвинутого уровня. Эта теорема очень широко используетсяв продвинутых курсах экономической теории, для наших же целей требуется знатьлишь формулировку данной теоремы и как ее применять.В нашем конкретном случае стоит обратить внимание на то, что, поделив первоеусловие на второе, получимРгпоказывающее, как и раньше, что MRS должна равняться отношению цен.
Другоеуравнение дано бюджетным ограничением, так что у нас снова оказываются два уравнения с двумя неизвестными.ПРИМЕР: Функции спроса Кобба — ДугласаВ главе 4 мы ввели функцию полезности Кобба — ДугласаПоскольку функции полезности определимы лишь с точностью до монотонногопреобразования, удобно прологарифмировать указанное выражение и работать далее свыражениемIn и(х\, ф) = с In *i + d In *2Найдем функции спроса на Х[ и х2 для функции полезности Кобба — Дугласа.
Задача, которую мы хотим решить, имеет видmax с In *i + d In x^*1. Х2.Апри PIXI + Р2.х2 = т.Существует по меньшей мере три способа решения этой задачи. Один из них —просто записать условие для MRS и бюджетное ограничение. Используя выражениедля MRS, выведенное в гл. 4, получаемСХ2 ^ Р\dx\P2 'Р\*\ + Р2*2 = т.Это два уравнения с двумя неизвестными, решив которые, можно получить оптимальный выбор Xj и х2. Один из путей решения этих уравнений — подстановка второго уравнения в первое, которая даетфя/ р2-х\р}/ Р2) _ Pidx\P2ВЫБОР__________________________________________113Проделав перекрестное умножение, получимс(т —хм) = dpixi.Преобразование данного уравнения даетcm = (с + d) = P\XIилис т1 ~ ——7—c+d pt •ХЭто функция спроса на х{. Чтобы найти функцию спроса на х2, подставим полученное выражение в бюджетное ограничение и получимтр\ с тdmХ2 = ——— — ———— = ————.Pi P2c + d PI c + d p2Второй путь решения — с самого начала подставить бюджетное ограничение в задачу на нахождение максимума.
Если мы сделаем это, задача примет видmax с In х\ + d In (т/р? — x\p\/pi).*1Условие первого порядка для этой задачи имеет видxim-p\x\ PiНемного несложных алгебраических преобразований и мы получаем решение•\г.d^^_т___c+dPl'Подставив это выражение в бюджетное ограничение х2 = т/р2 — х\р\/р2, получим_d тc + d р2'Таковы функции спроса на два товара, к счастью, оказавшиеся теми же самыми,что и выведенные ранее другим методом.Теперь обратимся к методу Лагранжа. Построим функцию ЛагранжаL = с In jq + d In *2 — X (piXi + P2X2 — m)и продифференцируем ее, чтобы получить три условия первого порядка—— = — — X9xi х\OLtдх2иХ2114_____________________________________Глава5зх~ = P\X\ + P2*1— "* = О-Фокус теперь состоит лишь в том, чтобы их решить! Лучше всего сначала найтирешение для X , а затем — для х{ и х2.
Преобразуем первые два уравнения и перекрестно их перемножим, получив в результатеС= Кр\Х\, d= \P2X2-Эти два уравнения так и хочется сложить:с + d = X (р\х\ + faXi) = X т,что даст нам ,с+</тПодставив это выражение обратно в первые два уравнения и выразив из них х\ их2, получим, как и раньше,cmdmДС1-——7—, «--—т—•c+d plc+d p2ГЛАВА 6СПРОСВ предыдущей главе мы показали в основных чертах модель потребительского выбора: каким образом максимизация полезности при данном бюджетном ограничении порождает оптимальный выбор. Мы увидели, что оптимальный выбор потребителя зависит от его дохода и от товарных цен, и рассмотрели ряд примеров, чтобы выяснить, каков оптимальный выбор для некоторых простых типов предпочтений.Функции спроса потребителя представляют оптимальные количества каждого из товаров как функцию цен и дохода, заданных потребителю.
Запишемфункции спроса в виде*1 = *1 (Р\, Р2, т),*2 = *2 (Рь Р2, т).Левая часть каждого уравнения показывает количество (величину) спроса.Правые части —функции, связывающие это количество с ценами и доходом.В данной главе мы исследуем, как изменяется спрос на товар по мереизменения цен и дохода. Изучение реакции потребительского выбора наизменения в экономической среде известно как сравнительная статика,впервые описанная нами в гл.
1. "Сравнительная" означает, что мы хотимсравнить две ситуации: до и после изменений в экономической среде,"статика" — что нас не интересуют никакие процессы установления равновесия, которые могли бы быть связаны с переходом от одного потребительского выбора к другому; мы будем, напротив, исследовать лишь выбор в положении равновесия.116______________________________________Глава 6В случае с потребителем в нашей модели имеются только два фактора,оказывающих воздействие на оптимальный выбор: цены и доход. Поэтомукруг вопросов, относящихся в теории поведения потребителя к сравнительной статике, включает исследование изменений в спросе при изменениях цени дохода.,,-•-..6.1.
Нормальные товарыи товары низшей категорииНачнем с рассмотрения того, как меняется спрос потребителя на товар помере изменения его дохода. Мы будем сравнивать оптимальный выбор приодном уровне дохода с оптимальным выбором при другом уровне дохода. Приэтом будем считать цены постоянными, изучая лишь те изменения в спросе,которые вызываются изменением дохода.Нам известно, каким образом воздействует рост денежного дохода набюджетную линию при постоянных ценах — он вызывает ее параллельныйсдвиг наружу. Как же этот сдвиг отразится на спросе?Нормально было бы полагать, что, как показано на рис.
6.1, спрос на товар с ростом дохода должен увеличиваться. Экономисты, отнюдь не отличаясьбогатым воображением, называют такие товары нормальными. Если товар 1 —нормальный товар, то спрос на него увеличивается с ростом дохода и уменьшается с сокращением дохода. Для нормального товара величина спросавсегда изменяется в том же направлении, что и доход:-А 1 >0А/иЕсли что-либо названо нормальным, то можно быть уверенным, что возможно и существование ненормального.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
