1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Как это могло произойти?Рассмотрим, как произошли эти удары в системе отсчета S ¢ , движущейся со скоростью V , в которой эти заряды после ударов будут покоиться. Во-первых, в этой системе удары произошли не одновременно.Действительно, в лабораторной системе x 1 = 0, x 2 = l 0 , t1 = t2 = 0 , тогда из преобразований Лоренца для времени (18.5), t ¢ = g(t -Vx c 2 ) ,находим, что в движущейся системе эти удары произошли не одновременно: первый заряд с координатой x 2 = l 0 начал движение раньше наDt ¢ = gVl 0/ c 2 . В течение этого времени второй заряд еще покоился влабораторной системе, т.
е. двигался назад в движущейся системе, и дополнительно отстал на расстояние Dl = V Dt ¢ = gV 2l 0/ c 2 . Исходноерасстояние в системе S ¢ между зарядами до ударов было l = l 0/g , а сучетом задержки между ударами оно сталоæ V2 V2öl ¢ = l + Dl = l0/g + gV 2l 0/c 2 = gl 0 ççç1 - 2 + 2 ÷÷÷ = gl 0 ,çècc ÷ø(18.11)это как раз то, что мы и хотели объяснить! Увеличение расстояния происходит из-за того, что в системе S ¢ имеется задержка между ударами.Формулы (18.6) получены в 1904 г.
Х. Лоренцем как преобразования, при которых уравнения электродинамики сохраняют свой вид припереходе от одной инерциальной системы к другой. В 1905 г.А. Эйнштейн вывел их из постулатов о равноправии всех инерциальных систем и существовании максимальной скорости передачи сигналов. Хотя получились те же самые преобразования, но физическое содержание в них было совершено новым.45§ 19. Четырехмерный вектор событияУпорядоченную четвeрку чисел R = (ct, x , y, z ) º R(ct, r) называют4-вектором события. В отличие от обычного вектора, обозначаемогострелкой или жирной буквой, 4-вектор пишут обычным шрифтом.Переход от R(ct, r) к R ¢(ct ¢,r ¢) в матричной формеæct ¢ö÷ æ g -gb 0çç ÷ çççç x ¢ ÷÷ çç-gb g 0÷ççç ÷÷÷ = ççç¢çç y ÷÷ çç 0 0 1çç z ¢ ÷÷ çç 0 0 0èç ÷ø èçгде g = 10ö÷ æçct ö÷÷÷ ç ÷÷0÷÷ ççç x ÷÷÷÷ ⋅ ç ÷÷ или R ¢ = LR ,0÷÷÷ çç y ÷÷÷÷ ç ÷1ø÷÷ èççç z ÷÷ø(19.1)1 -V 2 c 2 , b = V c .
Такая форма записи означает, чтоRi¢ = å Lik Rk .(19.2)kОбычно знак суммирования опускают, подразумевая, что происходит суммирование по повторяющемуся индексу. Аналогично можнозаписать R = L-1R ¢ , где L-1 – матрица обратного преобразования, отличающаяся от L заменой b на -b .Принято называть ct нулевой, x – первой, y – второй, z – третьейкомпонентой4-векторасобытия.ЛюбаячетвeркачиселA = {a 0 , a1, a2 , a 3 } , компоненты которой преобразуются как компоненты 4-вектора события, т.
е.a 0 = g(a 0¢ + ba1¢ ), a1 = g(a1¢ + ba 0¢ ), a2 = a2¢, a 3 = a 3¢ ,(19.3)называется 4-вектором. Зачем они нужны? Дело в том, что, если физический закон записан через 4-х вектора, значит, мы знаем его во всехинерциальных системах отсчета, так как известен закон преобразования входящих в него величин. О других свойствах 4-векторов будетсказано дальше.46§ 20. ИнтервалВ нерелятивистской механике при переходе из одной системы отсчета в другую сохраняющейся величиной является расстояние междудвумя точками l12 =| r2 - r1 | (§ 13).
В релятивистском случае это неверно, так как длины масштабов меняются. Оказывается, однако, чтосуществует комбинация (t2 - t1 ) и l12 , которая остается неизменной.Она называется интервал.Любое событие определяется тремя пространственными координатами и временем. Для наглядности удобно вообразить четырехмерноепространство x , y, z, t , в котором точка совершает движение по некоторой траектории, мировой линии.
Если в первой точкеx 1, y1, z 1, t1 произошла вспышка света и достигла второй точки x 2 , y2 , z 2 , t2 , то очевидно, чтоc 2(t2 - t1 )2 - (x 2 - x 1 )2 - (y2 - y1 )2 - (z 2 - z1 )2 = 0 .(20.1)Для тех же двух событий в системе S ¢c 2 (t2¢ - t1¢)2 - (x 2¢ - x 1¢)2 - (y2¢ - y1¢)2 - (z 2¢ - z 1¢)2 = 0 .(20.2)Назовем для любых двух событий интервалом величинуs = c 2(t2 - t1 )2 - (x 2 - x 1 )2 - (y2 - y1 )2 - (z 2 - z1 )2 .(20.3)С формальной точки зрения интервал можно рассматривать какрасстояние между двумя точками в четырехмерном пространстве сосями X , Y , Z , cT . Имеется, однако, различие с обычной геометрией:член, содержащий время, суммируется с другим знаком. Такую геометрию, в отличие от евклидовой, называют псевдоевклидовой. Онабыла введена в теорию относительности Г.
Минковским, и данное пространство называют пространством МинковскогоВыше мы видим, что если интервал равен нулю в одной системе отсчета, то он равен нулю и в любой другой системе отсчета. А как связаны между собой интервалы s и s ¢ в общем случае? Оказывается,они всегда равны! В этом легко убедиться, выразив в (20.2) x ¢, y ¢, z ¢, t ¢через x , y, z , t и используя преобразования Лоренца. Действительно,47поскольку поперечные координаты сохраняются, y = y ¢ и z = z ¢ , тоостается доказать, чтоc 2 (Dt )2 - (Dx )2 = c 2 (Dt ¢)2 - (Dx ¢)2 .(20.4)Из преобразований Лоренца (18.6) имеемDt ¢ = g(Dt -VDx ),c2Dx ¢ = g(Dx -V Dt ) .(20.5)Подставляя (20.5) в правую часть (20.4), после небольших преобразований находим, что правая часть тождественно равна левой. Таким образом, мы убедились, чтоs 2 = s ¢2 .(20.6)Это замечательный результат! В классической механике, где верныпреобразования Галилея, инвариантом является длина отрезка(x 2 - x 1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z 2 - z 1 )2 = inv.(20.7)Для произвольных скоростей инвариантом является интервалs 2 = c 2 (t2 - t1 )2 - (x 2 - x 1 )2 - (y2 - y1 )2 - (z 2 - z 1 )2 = inv.
(20.8)Инвариантность интервала при релятивистских скоростях можнодоказать формально, не прибегая к преобразованиям Лоренца. Рассмотрим два близких события, имеющие интервалds 2 = c 2dt 2 - dx 2 - dy 2 - dz 2 .(20.9)Выше было показано, что если ds 0 , то и ds 0 . В общем случаедля ds 0 следует ожидатьds 2 = a(V )ds ¢2 ,(20.10)где коэффициент a может зависеть только от абсолютной величиныотносительной скорости. Он не может зависеть от координат и времени, так как тогда различные точки пространства и моменты временибыли бы неравноценны, что противоречит однородности пространстваи времени.
Он не может зависеть также и от направления относительной скорости, так как это противоречило бы изотропии пространства.48Рассмотрим три системы отсчета S , S1 , S2 , и пусть V1 и V2 – скоростидвижения систем S1 и S2 относительно S . Тогда имеем:ds 2 = a(V1 )ds12ds 2 = a(V2 )ds22 .С тем же основанием можно написатьds12 = a(V12 )ds22 ,(20.11)(20.12)где V12 – абсолютная величина скорости движения S1 относительно S2 .Сравнивая друг с другом эти соотношения, найдем, что должно бытьa(V2 )(20.13)= a(V12 ).a(V1 )Но V12 зависит не только от абсолютных величин векторов V1 и V2 ,но и от угла между ними. Между тем угол вообще не входит в левуючасть соотношения. Ясно поэтому, что это соотношение может бытьсправедливым лишь в том случае, если функция a(V ) сводится к постоянной величине, равной, как это следует из того же соотношения,единице.
Таким образом,ds12 = ds22 .(20.14)Из равенства бесконечно малых следует, что иs1 = s2 .(20.15)§ 21. Преобразование Лоренца как вращение в 4-мерномпространствеРанее мы вывели преобразования Лоренца, пользуясь очень наглядной и физической картиной, основанной на постоянстве скоростисвета во всех инерциальных системах отсчета. Теперь рассмотрим другой, менее прозрачный, но более короткий вывод преобразования Лоренца. Преобразование координат и времени при переходе в другуюсистему отсчета должно быть таким, чтобы сохранялась неизменнойвеличина интервала в четырехмерном пространстве.
Такими переходами из одной инерциальной системы в другую являются параллельныепереносы и вращения системы координат. Однако переносы системыкоординат не представляют интереса, так как сводятся к переносу начала отсчета координат и времени. Таким образом, искомое преобразование должно быть связано с поворотом осей координат.49Введем обозначение T = ict , где i = -1 – мнимая единица.
Тогда все 4 координаты становятся равноценными и можно пользоватьсяевклидовой геометрией. Рассмотрим поворот осей в плоскости T, x,при этом y и z не изменяются. Из геометрических соображений нетрудно получить, что при повороте осей на угол j координаты точкипреобразуются следующим образом:T = T ¢ cos j - x ¢ sin jx = x ¢ cos j + T ¢ sin j.(21.1)При таком повороте x 2 + T 2 = x ¢2 + T ¢2 или t 2 - x 2 = t ¢2 - x ¢2 , т.е.интервал сохраняется.
Остаeтся определить угол j , который зависитот скорости V системы S ¢ относительно S . Для этого рассмотримдвижение начала отсчeта системы S ¢ . При x ¢ = 0 формулы (21.1)принимают видX¢Xx = ict ¢ sin j,(21.2)xt = t ¢ cos j,xоткуда находимT¢xVtg j == -i . (21.3)T¢ictcTjПриполучениипоследнегоTравенства мы учли, что x/t – этоРис. 21скоростьИспользуя обычную тригонометрию, находимVcsin j =1 -V 2 c 2-icos j =Vсистемы11 -V 2 c 2.S¢ .(21.4)Пусть вас не удивляет, что tg j – мнимое число, ведь это отношениедвух «катетов», один из которых мнимый.
Подставляя (21.4) в (21.1),получаем снова преобразования Лоренца:x = g(x ¢ + Vt ¢)y = y¢z = z¢50æV öt = g ççt ¢ + 2 x ¢÷÷÷ .çèc ø÷(21.5)§ 22. Преобразование скоростейПусть некоторое тело движется относительно системы отсчeта S ¢со скоростью v ¢ . В свою очередь, S ¢ движется относительно S со скоростью V вдоль оси OX . В кинематике Галилея скорость тела относительно S есть просто векторная сумма переносной скорости V и относительной v ¢ , т. е.v = v¢ + V .(22.1)В релятивистской кинематике это правило сложения скоростей неверно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
